bs期權定價與二叉樹期權定價

1、第三節(jié) Black-Scholes期權定價模型一 與期權定價有關的基本假設:（一）.關于金融市場的基本假設假設一:市場不存在摩擦.這就是說金融市場沒有交易成本(包括傭金費用,買賣價差,稅賦,市場沖擊等),沒有保證金要求,也沒有買空的限制.提出市場無摩擦的假設在于簡化金融資產(chǎn)定價的分析過程,其主要理由有以下兩點:第一,對于大的金融機構來說,這一假設是一個較好的近似,因為他們的交易成本很低,他們在保證金要求和賣空方面受的約束很少,他們能夠以買賣差的中間價進行交易等.由于金融機構是市場價格的制定者,所以從描述性角度出發(fā),上述假設是一個較為現(xiàn)實的假設.第二,對于小的市場參與者來說,他們首先需要了解的是

2、無摩擦條件下金融市場將如何運作.在此基礎上,才能對復雜場合下的市場規(guī)律進行進一步深入分析.因此,從規(guī)范性角度出發(fā),上述假設也是絕對必要的.假設二:市場參與者不承擔對家風險.這就是說,對于市場參與者所涉及的任何一個金融合同交易,合同對家不存在違約的可能.假設三:市場是完全競爭的這就是說,金融市場上任何一位參與者都是價格的承受者,而不是價格的制定者.此假設被現(xiàn)代財務金融學普遍采納,相當于一條標準的公理.任何參與者都可以根據(jù)自己的愿望買入和賣出任何數(shù)量的證券,而不至于影響該證券的市場價格.顯然市場規(guī)模越大,競爭性市場假設就越接近于現(xiàn)實.假設四:市場參與者厭惡風險,而且希望財富越多越好.假設五:市場不

3、存在套利機會.如果市場上存在套利的機會,價格會迅速準確的進行調(diào)整,使得這種套利機會很快消失. （二）.關于股利的假設股利是影響期權價值的一個重要因素.不過,在研究期權定價問題時,股利是一個廣義概念.首先,這一概念包含了通常意義上的股利,即發(fā)行標的股票公司向其股東定期支付的現(xiàn)金股利,我們稱之為離散股利對于標的資產(chǎn)為股票的合同其大小一般用D表示.一般來說,離散股利的支付發(fā)生在期權有效期內(nèi)某些特定的時刻,它們往往是可以預先知道的.例如,公司將在每個季度末或每隔半年發(fā)放一定的股利.另一方面,對于標的資產(chǎn)為貨幣,股票指數(shù),期貨等的非股票期權來講,所謂的的股利是指標的資產(chǎn)所有者在一段時間內(nèi),按一定的收益率

4、所得到的報酬,如利息收入,因此它是一種連續(xù)的支付,我們稱之為連續(xù)股利,其大小通常用股利支付率二 模型假設與概述（一）模型假設Black和Scholes在推導B-S模型時做了以下假設:(1)無風險利率已知,且為一個常數(shù),不隨時間變化.(2)標的資產(chǎn)為股票,其價格的變化為一幾何布朗運動,即 或者說, 服從正態(tài)分布 由(18)式容易得到其中為標準正態(tài)分布N(0,1),且不同時刻的相互獨立.(3)標的股票不支付股利.(4)期權為歐式期權(5)對于股票市場,期權市場和資金借貸市場來說,不存在交易費用,且沒有印花稅.(6)投資者可以自由借入或貸出資金,借入利率與貸出的利率相等,均為無風險利率.而且,所有證

5、券交易可以無限制細分,即投資者可以購買任意數(shù)量的標的股票.(7)對賣空沒有任何限制(如不設保證金),賣空所得資金可由投資者自由使用.（二）模型的概述在上述假設下,若記為定價日標的股票的價格,為看漲期權合同的執(zhí)行價格,是按連續(xù)復利計算的無風險利率,為到期日,為當前定價日,是定價日距到期日的時間(單位為年),是標的股票價格的波動率,則可得到B-S模型如下:(1) 在定價日(),歐式看漲期權的價值為 .(22)式中:.(23) (24)而是標準正態(tài)變量的累積分布函數(shù),即 其中服從.(2) 由看漲期權-看跌期權平價公式:,且注意到的性質(zhì) +,歐式看跌期權在定價日的價值為 .(25)三 模型的推導與推廣

6、（一） Black和Scholes的推導假設期權當前時刻的價值為,顯然是標的股票當前市場價格的函數(shù). Black和Scholes首先構造了如下套期組合:即在當前時刻,以買入標的股票股,同時以賣空一份期權.顯然,該組合的構造成本.當時間變化一個微小區(qū)間(即從到),可近似看成是一個常數(shù),則該組合價值的變動為: (26)注意到,由B-S模型的假設 又由伊藤引理(11)式,期權價值作為的函數(shù),應滿足以下公式 將上述兩式代入(26)式得 (27)在(27)式中隨機項已經(jīng)不存在,這說明在這段時間上,該套期組合價值的變動是確定的,不存在風險.因此,根據(jù)無套利定價原則,不考慮交易成本等因素,在該時間段組合的收

7、益應當是無風險利率,即(28)將(27),(28)結合化簡得: (29)此式就是著名的B-S微分方程,它構成的包括期權在內(nèi)的任何一種衍生工定價模型的基礎.這就是說,B-S方程可以用于任何一種衍生工具的定價,只要該衍生工具的標的資產(chǎn)價格變化服從幾何布朗運動.對于不同類型的衍生工具來說,其價值有不同的邊界條件.給定這些特定的邊界條件,就可以通過求解上述偏微分方程,得到該衍生工具的定價模型. 對于歐式看漲期權來說,其價值在到期日的邊界條件為: 而對于歐式看跌期權來說,其價值根據(jù)上述邊界條件,Black和Scholes得到了B-S方程的解,它們就是B-S期權定價模型。（二）Black-scholes期

8、權定價公式的拓展（1）無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權的定價公式Black-Scholes期權定價模型給出的是無收益資產(chǎn)的歐式看漲期權的定價公式根據(jù)歐式看漲期權和看跌期權之間的評價關系，可以得到無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權的定價公式：.（30）（2）無收益資產(chǎn)的美式期權的定價公式 在標的資產(chǎn)無收益的情況下，由于，所以式（22）也給出了無收益資產(chǎn)的美式看漲期權的價值。 美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，因此美式看跌期權的定價還沒有一個精確的解析公式，但可以用數(shù)值的方法以及解析近似方法求出。（3）有收益資產(chǎn)的期權的定價公式到現(xiàn)在為止，我們一直假設期權的標的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。那么，對于有收益資產(chǎn)，

9、其期權定價公式是什么呢？實際上，如果收益可以準確的預測到，或者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的歐式期權定價并不復雜。在收益已知的情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權有效期內(nèi)已知現(xiàn)金手一點現(xiàn)值部分和一個有風險部分。當期權到期時，這部分現(xiàn)值將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用表示有風險部分的證券價格，表示風險部分遵循隨機過程的波動率，就可以直接套用公式（22）和（30）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權和看跌期權的價值。當標的證券已知收益的現(xiàn)值為時，我們只要用（）代替式（22）和式（30）中的即可求出固定收益證券歐式看漲期權和看跌期權的價格。當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的

10、固定收益率（單位：年）時，我們只要將代替式（22）和式（30）中的就可以求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲期權和看跌期權的價格，在各種期權中，股票指數(shù)期權，外匯期權，和期貨期權的標的資產(chǎn)可以看做是支付連續(xù)紅利率的，因而它們適用于這一定價公式。另外對于有收益資產(chǎn)的美式期權，由于有提前執(zhí)行的可能，我們無法得到精確的解析解，仍然需要用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。（三）Black-Scholes期權定價公式的計算 （1）Black-Scholes期權定價模型的參數(shù)我們已經(jīng)知道，Black-Scholes期權定價模型中的期權價格取決于下列五個參數(shù)：標的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風險利率和標

11、的資產(chǎn)價格波動率（即標的資產(chǎn)收益率的標準差）。在這些參數(shù)當中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值，但是無風險利率和標的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。 估計無風險利率在發(fā)達的金融市場上，很容易獲得無風險利率的估計值，但是在實際應用的時候仍然需要注意幾個問題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來說，在美國，人們大多選擇美國國庫券利率作為無風險利率的估計值。美國國庫券所報出的利率通常為貼現(xiàn)率（即利率占票面價值的比例），因此需要轉化為通常的利率，并且用連續(xù)復利的方式表達出來，才可以在Black-Scholes公式中應用。其次，要小心的選擇國庫券的到期日。如果利率期限結構曲線傾斜嚴重，那么不

12、同的到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權到期日最近的那個國庫券的利率作為無風險利率。我們用一個例子來說明無風險利率的計算。假設一個還有84天到期的國庫券，其買入報價為8.83，賣出報價為8.77。由于短期國庫券市場報價為貼現(xiàn)率，我們可以推算出其中間報價對應的現(xiàn)金價格（面值為100美元）為：100-（8.838.77）/2*(84/360)=97.947(美元)進一步應用連續(xù)復利利率的計算公式得到相應的利率：100/100/97.947 估計標的資產(chǎn)價格的波動率估計標的資產(chǎn)價格的波動率要比估計無風險利率困難的多，也更為重要。正如第十章所述，估計標的資產(chǎn)價格波動率有兩種方法：歷史波動

13、率和隱含波動率。1. 歷史波動率。所謂歷史波動率，就是從標的資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)中計算出價格收益率的標準差。以股票的價格為例，表(1)列出了計算股票價格波動率的一個簡單說明。很顯然，計算波動率的時候，我們運用了統(tǒng)計學中計算樣本均值和標準差的簡單方法。其中，為股票價格百分比收益率，(或者)則為連續(xù)復利收益率（估計方差），就是相應的（估計）標準差（波動率），即Black-Scholes公式計算時所用的參數(shù)。在表(1)中，共有11天的收盤價信息，因此得到10個收益率信息。=表(1) 歷史波動率計算 天數(shù)0100.001101.501.01500.01490.298.000.9655-0.03510.3

14、96.750.9872-0.01280.4100.501.03880.03800.5101.001.00500.00500.6103.251.02230.02200.7105.001.01690.01680.8102.750.9786-0.02170.9103.001.00240.00240.10102.500.9951-0.00490.總計0.02470.樣本均值=0.0247/10=0.00247樣本方差=0./9=0.樣本標準差=0. 在Black-Scholes公式所用的參數(shù)中，有三個參數(shù)與時間有關：到期期限、無風險利率和波動率。值得注意的是，這三個參數(shù)的時間單位必須相同，或者同為天、

15、周、或者同為年。年是經(jīng)常被用到的時間單位，因此我們常常需要將天波動率轉化成年波動率。在考慮年波動率時，有一個問題需要加以重視：一年的天數(shù)究竟按照日歷天數(shù)還是按照交易天數(shù)計算。一般認為，證券價格的波動主要來自交易日。因此，在轉換年波動率時，應該按照一年252個交易日進行計算。這樣，表(1)中的天波動率相應的年波動率 在我們的例子中，我們使用的是10天的歷史數(shù)據(jù)。在實際計算時，這個天數(shù)的選擇往往很不容易。從統(tǒng)計的角度來看，時間越長，數(shù)據(jù)越多，獲得的精確度一般越高。但是，資產(chǎn)價格收益率的波動率卻又常常隨時間的變化，太長的時間段反而可能降低波動率的精確度。因此，計算波動率時，要注意選取距離今天較近的時

16、間，一般的經(jīng)驗法則則是設定度量波動率的時期等于期權的到期期限。因此，如果要為9個月的期權定價，可使用9個月的歷史數(shù)據(jù)。2.隱含波動率從Black-Scholes期權定價模型本身來說，公式中的波動率指的是未來的波動率數(shù)據(jù)，這使得歷史波動率始終存在較大的缺陷。為了回避這一缺陷，一些學者將目光轉向隱含波動率計算。所謂隱含波動率，即根據(jù)Black-Scholes期權定價公式，將公式中除了波動率以外的參數(shù)和市場上的期權報價待入，計算得到的波動率數(shù)據(jù)。顯然，這里計算得到的波動率可以看做是市場對未來波動率的預期。當然，由于Black-Scholes期權定價公式比較復雜，隱含波動率的計算一般需要通過計算機完成

17、。（2）利用Black-Scholes期權定價公式的一個例子為了使廣大讀者進一步理解Black-Scholes期權定價模型，我們下面用一個簡單的例子來說明這一模型的計算過程。例3.1 假設某種不支付紅利股票的市價為20元，無風險利率為6，該股票的年波動率為50，求該股票協(xié)議價格為20元、期限1年的歐式看漲期權和看跌期權的價格。在本題中，可以將相關參數(shù)表達如下：=20 =20 =0.06 =0.5 =1計算過程分為三步：第一步，先算出和。=第二步，計算和=第三步，將上述結果以及已知條件代入公式（22），這樣，歐式看漲期權和看跌期權的價格分別為：（美元）（美元）在本例中，標的資產(chǎn)執(zhí)行價格和市場價格

18、正好相等，但是看漲期權的價格卻與看跌期權的價格相差懸殊。其中的原因在于利率和到期期限對期權價格的影響。在本例中，利率高達12，到期期限長達1年。在這種情況下，執(zhí)行價格的現(xiàn)值將大大的降低。對于歐式看漲期權來說，這意味著內(nèi)在價值的大幅上升，而對于歐式看跌期權來說，卻意味著內(nèi)在價值的大幅降低。因此，在計算了執(zhí)行價格的現(xiàn)值以后，看漲期權是實值期權而看跌期權則是一個虛值期權。事實上，實際中的市場短期利率通常較低，期權到期期限一般不超過9個月，因此如果標的資產(chǎn)市場價格與執(zhí)行價格相等，同樣條件下的看漲期權價格和看跌期權價格一般比較接近。（六）Black-Scholes期權定價公式的應用Black-Schol

19、es期權定價公式除了可以用來估計期權價格，在其他一些方面也有很重要的應用，主要包括評估組合保險成本、可轉換債券定價和為認股權證估值。（1） 評估組合保險成本 證券組合保險是指事先能夠確定最大損失的投資策略，比如在持有相關資產(chǎn)的同時買入看跌期權就是一種組合保險。 假設你掌管著價值1億元的股票投資組合，這個股票投資組合與市場組合十分類似。你擔心類似于1987年10月9日的股災會吞噬你的股票組合，這時購買一份看跌期權也許是合理的。顯然，期權的執(zhí)行價格越低，組合保險的成本越小，不過我們需要一個確切的評估，市場上可能根本就沒有對應的期權，要準確估算成本十分困難，此時Black-Scholes期權定價公式

20、就十分有用。比如10的損失是可以接受的，那么執(zhí)行價格就可以設為9000萬元，然后再將利率、波動率和保值期限的數(shù)據(jù)代入公式，就可以合理估算保值成本了。（2） 給可轉換債券定價可轉換債券是一種可有債券持有者轉換成股票的債券，因此可轉換債券相當于一份普通的公司債券和一份看漲期權的組合，即：其中表示可轉換債券的價值，表示從可轉換債券中剝離出來的債券的價值，代表從可轉換債券中剝離出來的期權的價值。 在實際中的估計是十分復雜的，因為對利率非常敏感，而Black-Scholes期權定價公式假定無風險利率不變，對顯然不適用。其次，可轉換債券中隱含的期權的執(zhí)行與否會因為股票股利和債券利息的問題復雜化。而且，許多

21、可轉換債券的轉換比例會隨時間變化。絕大多數(shù)可轉換債券是可贖回的，可贖回債券的分解更加復雜。對債券持有者而言，它相當于一份普通的公司債券、一份看漲期權多頭（轉換權）和一份看漲期權空頭（贖回權）的組合。可贖回的可轉換債券對股票價格變動很敏感，而對利率也非常敏感。當利率下降的時候，公司可能會選擇贖回債券。當然，利率上升的時候債券價值也會上升。（3） 為認股權證估值認股權證通常是與債券或優(yōu)先股一起發(fā)行的，它的持有人擁有在特定的時間以特定的價格認購一定數(shù)量的普通股，因此認股權證其實是一份看漲期權，不過兩者之間還是存在細微的差別，看漲期權執(zhí)行的時候，發(fā)行股票的公司并不會受影響，而認股權證的執(zhí)行存在解釋效應

22、，在估值的時候必須考慮這一點。參考文獻：期權分析-理論與應用 茅寧著 南京大學出版社數(shù)理統(tǒng)計與概率論王志江 陶靖軒 沈鴻 編 中國計量出版社衍生產(chǎn)品 鄭振龍主編 武漢大學出版社 2005年2月第一版二叉樹期權定價模型（一） 單期二叉樹定價模型（1） 一定數(shù)量的股票多頭頭寸（2） 該股票的看漲期權的空頭頭寸 股票的數(shù)量要使頭寸足以抵御資產(chǎn)價格在到期日的波動風險，即該組合能實現(xiàn)完全套期保值，產(chǎn)生無風險利率。C01rd Cu u1r Cd ud 1+r ud 1+r最初，投資于0.5股股票，需要投資25元；收取6.62元的期權費，尚需借入18.38元。半年后，股價如果股價漲到66.66元，0.5股股

23、票收入33.33元，借款本息18.75（18.35*1.02）看期權的持有人會執(zhí)行期權，期權出售人補足價差14.58（66.66-50），投資人的凈損益0股價如果跌到37.5元，0.5股股票收入18.75元，支付借款本息18.75元，投資人的凈損益為0因此該看漲期權的公平價值就是6.62元。（二） 兩期二叉樹模型把6個月的時間分為兩期，每期3個月?，F(xiàn)在股價50元，看漲期權的執(zhí)行價格52.08元。每期股價有兩種可能：上升22.56%或下降18.4%；無風險利率為每3個月1%。股價：計算Cu的價值：有兩種辦法：1. 復制組合定價H（23.020）（75.1050）0.91713借款（500.91713）1.0145.40元3個月后股票上行的價格是61.28元Cu投資成本購買股票支出借款61.280.9171345.4010.8