132“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)課件

1、第一章 計數(shù)原理 1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù) 的性質(zhì),一、新課引入,二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個？,下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？,楊輝三角,九章算術(shù),楊輝,楊輝三角,詳解九章算法中記載的表,1“楊輝三角”的來歷及規(guī)律,楊輝三角,展開式中的二項式系數(shù)，當(dāng)時，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,第5行 1 5 5 1,第0行1,楊輝三角,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1

2、4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,從第三個數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個數(shù)的

3、和;,這就是著名的斐波那契數(shù)列 。,類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.,二項式系數(shù)的性質(zhì),展開式的二項式系數(shù)依次是：,從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變

4、量的函數(shù) ,其定義域是：,當(dāng) 時，其圖象是右圖中的7個孤立點,二項式系數(shù)的性質(zhì),2二項式系數(shù)的性質(zhì),（1）對稱性,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,這一性質(zhì)可直接由公式 得到,圖象的對稱軸：,二項式系數(shù)的性質(zhì),（2）增減性與最大值,由于：,所以 相對于 的增減情況由 決定,二項式系數(shù)的性質(zhì),（2）增減性與最大值,由：,二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。,可知，當(dāng) 時，,二項式系數(shù)的性質(zhì),（2）增減性與最大值,（3）各二項式系數(shù)的和,二項式系數(shù)的性質(zhì),在二項式定理中，令 ，則：,這就是說， 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：,同時由于 ，上式

5、還可以寫成：,這是組合總數(shù)公式,一般地， 展開式的二項式系數(shù) 有如下性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）當(dāng) 時，,（4）,當(dāng) 時，,例題分析:,例1證明： （1）(a + b)n 的展開式中,各二項式系數(shù) 的和,啟示：在二項式定理中a,b可以取任意實數(shù)，因此我們可以通過對a,b賦予一些特定的值，是解決二項式有關(guān)問題的一種重要方法賦值法。,令a=b=1，則,繼續(xù)思考1: （2）試證明在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.,即證：,證明：在展開式 中 令a=1，b=1得,小結(jié)：賦值法在二項式定理中，常對a,b賦予一些特定的值1，-1等來整體得到所求。,例2 （賦值法

6、）,例2,小結(jié)：求奇次項系數(shù)之和與偶次項系數(shù)的和 可以先賦值，然后解方程組整體求解,1.當(dāng)n10時常用楊輝三角處理二項式系數(shù)問題; 2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值; 3.常用賦值法解決二項式系數(shù)問題.,思考1求證:,略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開后比較xn的系數(shù)得： 再由 得,思考:求證：,證明：,倒序相加法,思考2.在(3x -2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)絕對值最大的項;(3)系數(shù)最大的項;,（3）因為系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設(shè)第2r-1項系數(shù)最大。（以下同2） r=5.,即 3(r+1)2(20-r) 得 2(21-r)3r 所以當(dāng)r=8時，系數(shù)絕對值最大的項為,二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好