湖南省第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改湖南省邵陽市邵東縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）一 選擇題:(本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題所給出的四個選項中,只有項是符合題目要求的。)1.等差數(shù)列中，則數(shù)列的公差為 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：由題已知，則由等差數(shù)列可得；?？键c：等差數(shù)列的性質(zhì)。2.三角形ABC中，則B等于( )A. 60B. 30或150C. 60或120D. 120【答案】C【解析】【分析】由已知利用正弦定理求得的值，利用大邊對大角可求得的范圍，即可求解.【詳解】由題意，已知，所以由正弦定理可得，又因為，可得，所以或

2、，故選C.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用正弦定理，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知命題p：xR，x2-x+10命題q：若a2b2，則ab，下列命題為真命題的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判定命題的真假，再結(jié)合復(fù)合命題的判定方法進行判定.【詳解】命題p：x=0R，使x2-x+10成立 故命題p為真命題； 當(dāng)a=1，b=-2時，a2b2成立，但ab不成立， 故命題q為假命題， 故命題pq，pq，pq均為假命題； 命題pq為真命題， 故選：B【點睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，特稱命題，不

3、等式與不等關(guān)系，難度中檔4.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；（2）若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3） 雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.5.下列命

4、題為真命題的個數(shù)是（ ），是無理數(shù)； 命題“R，”的否定是“xR，13x”；命題“若,則”的逆否命題為真命題； 。A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由中，比如當(dāng)時，就不成立；中，根據(jù)存在性命題與全稱命題的關(guān)系，即可判定；中，根據(jù)四種命題的關(guān)系，即可判定；中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算，即可判定，得到答案.【詳解】對于中，比如當(dāng)時，就不成立，所以不正確；對于中，命題“”的否定是“”，所以正確；中，命題“若，則”為真命題，其逆否命題為真命題，所以正確；對于中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算，可得，所以錯誤；故選B.【點睛】本題主要考查了命題真假的判定，其中解答中熟記全稱命題與存在性命題的關(guān)系，以及四種

5、命題的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.與圓及圓都外切的圓的圓心在（ ）。A. 一個圓上B. 一個橢圓上C. 雙曲線的一支上D. 拋物線上【答案】C【解析】【分析】設(shè)動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與圓及圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為3依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支故選：C【點睛】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，以及雙曲線的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記圓與圓的位置關(guān)系和雙曲線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.在平行六面體A

6、BCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，則x+y+z=（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意，易知，再分別求得的值，然后求得答案即可.【詳解】在平行六面體中， 所以解得所以 故選B【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，屬于較為基礎(chǔ)題.8.已知點P(x，y)的坐標滿足條件那么點P到直線3x4y130的距離的最小值為( )A. 2B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，由點到直線的距離公式求得點到直線的最小值，即可求解【詳解】由約束條件 作出可行域，如圖所示，由圖可知，當(dāng)與重合時，點到直線的距離最小為故選：A【點睛】

7、本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是( )。A. B. C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)，利用韋達定理，結(jié)合的極小值等于，即可求出的值，得到答案【詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，函數(shù)在處取得極小值，即，解得，故選：D【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達定理的運用，著重考查了學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ).10.設(shè)，都為大于零

8、的常數(shù)，則的最小值為（ ）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于，乘以，然后展開由基本不等式求最值，即可求解【詳解】由題意，知，可得，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：B【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中根據(jù)題意給要求的式子乘以是解決問題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔題11.如圖 分別是橢圓 的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得A點坐標，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓

9、的離心率【詳解】由題意知A，把A代入橢圓(ab0)，得，整理，得，0e1，故選D.【點睛】本題考查了橢圓與圓標準方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12.已知函數(shù)，關(guān)于的不等式只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，不等式只有兩個整數(shù)解，即實數(shù)的取值范圍是故選C【考點】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用二.填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.設(shè)曲線 在點處的切線方程_.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線的斜率，由直線方程的點斜式得答案【詳

10、解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點處的切線斜率為，即切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即為，即故答案：【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，其中解答中明確曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量與，則的最小值是_.【答案】【解析】【詳解】,所以，所以，故當(dāng)時，的最小值是.考點：向量的模點評：本題考查向量的模的最值，解題的關(guān)鍵是能準確的表示出模的函數(shù)，再求解最值.15.=_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷枚ǚe分的幾何意義及其計算公式，可得結(jié)論【詳解】由題意，可得.故答案為【點睛】本題主要考查了定積

11、分的計算公式，以及定積分的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記定積分的計算公式，合理使用定積分的幾何意義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.直線與拋物線交于兩點，且經(jīng)過拋物線的焦點，已知，則線段的中點到準線的距離為_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯雀鶕?jù)拋物線方程求得焦點坐標，設(shè)點坐標為，進而可得直線方程，把點代入可求得點坐標，進而根據(jù)拋物線的定義，即可求得答案【詳解】由題意，拋物線知，設(shè)點坐標為，由直線過焦點，所以直線的方程為，把點代入上式得，解得，所以，所以線段中點到準線的距離為，故答案為：.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及拋物線的焦點弦的問題時

12、，常常利用拋物線的定義來解決，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔題.三.解答題（本大題共6小題，共70 分）17.已知數(shù)列滿足,且（1）求及；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由，得到數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，進而可求得和；（2）由（1）知，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可知，且，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 又由，解得，.（2）由（1）知，又由，且，所以數(shù)列是首項為2，公差為-1的等差數(shù)列，所以.【點睛】本題主要考查了等差、等比數(shù)的定義，以及等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前n項

13、和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔題.18.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為且.(1)求角(2)若求角及的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理，求得，即可求得.（2）由正弦定理，求得，得到，再由三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知，即，在中，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，又ba，所以，所以，所以，則.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角

14、時，運用余弦定理求解.19.如圖所示,在三棱柱中,是邊長為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值。【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為是邊長為4的正方形，所以，又，由線面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分別以AC，AB，為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，同理得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則.【點睛】本題考查了直線與平面垂

15、直判定與證明，以及空間角的求解問題，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品13千克.（1）求的值；（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大利潤.【答案】（1）6（2）x=4,46【解析】【分

16、析】（1）由f（5）13代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤每日的銷售量銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應(yīng)的x值【詳解】解：（1）因為x5時，y13，所以1013，故a6，（2）由（）可知，該商品每日的銷售量y所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 從而，f（x）10（x6）2+2（x3）（x6）30（x6）（x4）于是，當(dāng)x變化時，f（x）、f（x）的變化情況如下表： x（3，4）4 （4，6） f（x）+0 f（x） 單調(diào)遞增極大值46 單調(diào)遞

17、減由上表可得，x4是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點所以，當(dāng)x4時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于46答：當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【點睛】本題函數(shù)解析式的建立比較容易，考查的重點是利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，屬于中檔題21.已知橢圓C: 的左,右焦點分別為且橢圓上的點到兩點的距離之和為4(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點,為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求OMN的面積是否為定值，并說明理由【答案】（1）；（2）定值1【解析】【分析】（1）由已知求得，又點在橢圓上，代入求得，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組

18、，求得，又由直線的斜率之積等于，化簡求得，再由弦長公式和面積公式，即可求解.【詳解】（1）由已知，即，又點在橢圓上，所以，所以，故橢圓方程為.（2）設(shè)，由，得，則，即，且，因為直線的斜率之積等于，所以，即，又到直線MN距離為，所以.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.22.設(shè)函數(shù).(1)若為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，當(dāng)時，證明：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】(1)求得的導(dǎo)數(shù)，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解； (2)由，當(dāng)時，只需，故只需證明當(dāng)時，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】(1)由題意，函數(shù)定義域為，則，方程的判別式.()若，即，在的定義域內(nèi)，故單調(diào)遞增()若，則或.若，則，.當(dāng)時，當(dāng)時，所以單調(diào)遞增若，單調(diào)遞增()若 ，即或，則有兩個不同的實根，當(dāng)