福建省長(zhǎng)汀連城一中等六校聯(lián)考2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理含解析

1、福建省長(zhǎng)汀、連城一中等六校聯(lián)考2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，求（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】解出集合、，再利用集合交集運(yùn)算律可求出集合【詳解】解不等式，即，解得，.解不等式，解得，因此，故選b【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，解出不等式得出兩個(gè)集合是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2.已知命題，命題：若中，則，則下列命題正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】舉出反例證明命題為假命題,再對(duì)命題中根據(jù)余弦

2、定理求解再判定即可.【詳解】對(duì)命題,當(dāng)時(shí),故為假命題.對(duì)命題,中,則.因?yàn)?所以.故.故命題為真命題.故正確.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷,同時(shí)也考查了指數(shù)函數(shù)與解三角形與平面向量的應(yīng)用等.屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先根據(jù)求得,再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系方法求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,顯然,故.所以.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系運(yùn)用以及二倍角公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)，若，則的值為（ ）a. 64b. 18c. 12d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)求解,進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)?故.故.所

3、以.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)中的參數(shù)的求解以及指對(duì)數(shù)的運(yùn)算等.屬于基礎(chǔ)題.5.在中，為邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為邊中點(diǎn)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用平面向量的三角形法則求解即可.【詳解】由題, .故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算,需要根據(jù)三角形法則求解,屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求導(dǎo)得,根據(jù)是偶函數(shù)求解,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程即可.【詳解】由題, ,因?yàn)槭桥己瘮?shù)且為關(guān)于的多項(xiàng)式,故其奇次項(xiàng)的系數(shù).故,.又,故

4、曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,即.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)奇偶性求參數(shù)值以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)方程的方法.屬于中檔題.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將此圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)周期,代入最大值求解的解析式,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解析式即可.【詳解】由圖像可知,且周期為,故,故.又可得,又,故.故.所以的解析式為.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解解析式的方法,同時(shí)也考查了三角函數(shù)圖像平移以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

5、a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求解和對(duì)應(yīng)的二次不等式的解集,再根據(jù)是的必要不充分條件確定求得的解集間的關(guān)系,再根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系求解即可.【詳解】由題：,解得.故：或；：或.又是的必要不充分條件,所以.解得.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)充分與必要條件求解參數(shù)范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意確定解集的包含關(guān)系,再根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系求解不等式.屬于中檔題.9.函數(shù)的圖象大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先化簡(jiǎn),再分析函數(shù)的奇偶性與當(dāng)與時(shí)的函數(shù)值判定即可.【詳解】化簡(jiǎn)得.因?yàn)闉榕己瘮?shù),設(shè),則.故為奇函數(shù).故為奇函數(shù).排除a.當(dāng)時(shí), ,故,排除b

6、.當(dāng)時(shí), ,故,排除c.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖像的方法,一般先分析函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)圖像特征分析當(dāng)無(wú)限趨近于0與趨近于正無(wú)窮大時(shí)函數(shù)值的大小進(jìn)行判斷.屬于中檔題.10.已知函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則（ ）a. 0b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)再求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足,故的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng).又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng),故函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為關(guān)于對(duì)稱(chēng).設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng), 關(guān)于對(duì)稱(chēng), 關(guān)于對(duì)稱(chēng)故.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用,若函數(shù)滿(mǎn)足,則關(guān)于對(duì)稱(chēng).屬于中檔題.11.已知是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，若，則的大

7、小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),再分析的單調(diào)性與奇偶性判斷函數(shù)值大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),故為偶函數(shù).又因?yàn)?且,故當(dāng)時(shí), 為減函數(shù).當(dāng)時(shí), 為增函數(shù).綜上,為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)為減函數(shù), 當(dāng)時(shí),為增函數(shù).易得.又因?yàn)?所以故,所以.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)值大小的問(wèn)題,同時(shí)也考查了奇偶性的運(yùn)用等.屬于中檔題.12.設(shè)函數(shù)，其中，若僅存在兩個(gè)正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】令,因?yàn)閮H存在兩個(gè)正整數(shù)使得,即僅有兩個(gè)整數(shù)使得,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值,

8、列出不等式組,轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】令,因?yàn)閮H存在兩個(gè)正整數(shù)使得,即僅有兩個(gè)整數(shù)使得,令,解得 ,且當(dāng),；當(dāng),所以,且,；所以當(dāng)時(shí),所以另一個(gè)滿(mǎn)足條件的整數(shù)為2,所以,代入解得,綜上,的取值范圍為.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的根的分布求解參數(shù)范圍的問(wèn)題,需要將原函數(shù)分成兩個(gè)函數(shù)數(shù)形結(jié)合分析,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性求解的方法.屬于難題.第卷（非選擇題，共90分）二、填空題：（本小題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，若，則實(shí)數(shù)_.【答案】或1.【解析】【分析】根據(jù)垂直的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?故,即.解得或1.故答案為：或1【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直

9、的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.14.中，則角_.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解角,進(jìn)而利用內(nèi)角和為求解即可.【詳解】由正弦定理有.又,故,所以.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi).【答案】.【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求,再根據(jù)單調(diào)性與定義域求解即可.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故,故是定義在上的偶函數(shù),且在上為增函數(shù).解即或,即或,又,故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題,屬于中檔題.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且

10、，在區(qū)間上單調(diào)，則的值為_(kāi).【答案】2或6.【解析】【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),故, 又,故或,-可得或,.解得或,又在區(qū)間上單調(diào),故周期滿(mǎn)足,且,所以故當(dāng)時(shí)有滿(mǎn)足條件.故答案為：2或6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)值的問(wèn)題,需要根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸等的方程求解參數(shù)滿(mǎn)足的表達(dá)式,再根據(jù)周期的范圍判斷即可.屬于難題.三、解答題：（本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域.【

11、答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)化簡(jiǎn)可得,再代入單調(diào)遞增區(qū)間表達(dá)式求解即可.(2)根據(jù)可得,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像分析值域即可.【詳解】（1）令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),所以的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式的運(yùn)用,同時(shí)也考查了求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的定義域求值域的方法,屬于中檔題.18.一家小微企業(yè)生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為1萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件需要再投入2萬(wàn)元，假設(shè)該企業(yè)每個(gè)月可生產(chǎn)該小型產(chǎn)品萬(wàn)件并全部銷(xiāo)售完，每萬(wàn)件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且每生產(chǎn)1萬(wàn)件政府給予補(bǔ)助萬(wàn)元.（1）求該企業(yè)的月利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（

12、2）若月產(chǎn)量萬(wàn)件時(shí)，求企業(yè)在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值（萬(wàn)元）及此時(shí)的月生產(chǎn)量值（萬(wàn)件）.（注：月利潤(rùn)月銷(xiāo)售收入+月政府補(bǔ)助月總成本）【答案】（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，該企業(yè)所獲得的最大月利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】【分析】(1)根據(jù)月利潤(rùn)月銷(xiāo)售收入+月政府補(bǔ)助月總成本列式即可.(2)求導(dǎo)分析利潤(rùn)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得函數(shù)的極值點(diǎn)與最值即可.【詳解】（1）依題意得 （定義域未標(biāo)注的扣一分）（2）當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),當(dāng)月產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí),最大月利潤(rùn)為萬(wàn)元.答：當(dāng)月產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí),該企業(yè)所獲得的最大月利潤(rùn)為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際利潤(rùn)

13、問(wèn)題,需要根據(jù)題意確定利潤(rùn)的關(guān)系式,再求導(dǎo)分析單調(diào)性進(jìn)而求得最值等.屬于中檔題.19.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且.（1）求的值；（2）求面積的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用余弦定理化簡(jiǎn),再用正弦定理與和差角公式求解即可.(2)由(1) 知,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）由余弦定理得：,即由正弦定理可得：,即,根據(jù)正弦定理,又,（2）由（1）知即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用基本不等式求解面積最值的問(wèn)題,屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解

14、集為，求函數(shù)的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，存在，不等式成立，理由見(jiàn)解析.【解析】分析】(1)利用二次不等式解集的性質(zhì)與韋達(dá)定理求解得,再代入了與基本不等式求最值即可.(2)由題可知若存在則,根據(jù)對(duì)數(shù)不等式性質(zhì)可知,再分析二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系求得的最值分析即可.【詳解】（1）依題意得,2和3是方程的兩根由韋達(dá)定理可知：又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,存在,不等式成立時(shí),在成立記,其對(duì)稱(chēng)軸為,當(dāng),即時(shí),由,當(dāng),即時(shí),由,綜上所述

15、,不存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,存在,不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次不等式解集與系數(shù)的關(guān)系,同時(shí)也考查了恒成立問(wèn)題以及分類(lèi)討論求二次函數(shù)的最值問(wèn)題.屬于中檔題.21.已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】(1)構(gòu)造,再求導(dǎo)可得,再對(duì)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo),繼而分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求最小值證明即可.(2) 求導(dǎo)可得,再分,分析函數(shù)的最小值,同時(shí)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷是否有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】（1）設(shè),在上單調(diào)遞增,又時(shí),在上單調(diào)遞增,又時(shí),故當(dāng)時(shí),；（2）,當(dāng)時(shí),易知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),不

16、符合題意；當(dāng)時(shí),在上,單調(diào)遞減；在上,單調(diào)遞增；又,且,且當(dāng)上,恒成立，又不妨取且時(shí),或者考慮：當(dāng)所以函數(shù)在和在上各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),由得或（i）當(dāng)即時(shí),在上,成立,故在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意（ii）當(dāng)即時(shí),在和上,單調(diào)遞增；上,單調(diào)遞減；又,且,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意（iii）當(dāng)即時(shí),在和上,單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；又,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而證明函數(shù)不等式的問(wèn)題.同時(shí)也考查了分類(lèi)討論分析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在

17、第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)c分別交于兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)c的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化求解即可.(2)聯(lián)立直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)c的直角坐標(biāo)方程,設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,再利用參數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】（1）由得：曲線(xiàn)c的直角坐標(biāo)方程為：由消去參數(shù)t得直線(xiàn)l的普通方程為（2）解：當(dāng)時(shí),曲線(xiàn)c的直角坐標(biāo)方程為：將直線(xiàn)l的參數(shù)方程,代入得：設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則有, 【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)與參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化,同時(shí)也考查了直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義的求解.屬于中檔題.選修4-5