小波變換的應(yīng)用簡(jiǎn)介.ppt

1、6小波變換的應(yīng)用簡(jiǎn)介,小波在信號(hào)消噪中的應(yīng)用,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),小波變換在圖像處理中的應(yīng)用,小波變換在電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)中的應(yīng)用,小波在信號(hào)消噪中的應(yīng)用,降噪實(shí)例,降噪原理,閾值的確定,硬閾值和軟閾值去噪,降噪原理,在小波分析中，應(yīng)用最廣泛的無(wú)疑是信號(hào)處理和圖像處 理，而在這兩個(gè)領(lǐng)域中，應(yīng)用最多的就是信號(hào)(圖像)的降噪 和壓縮。由于在正交小波中，正交基的選取璧傳統(tǒng)方法更接 近實(shí)際信號(hào)本身，所以通過(guò)小波變換可以更容易地奮力出噪 聲或其他我們不需要的信息，因此在這類(lèi)應(yīng)用中小波分析有 著傳統(tǒng)方法無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。 降噪和壓縮這兩種應(yīng)用有一個(gè)共同點(diǎn)在于他們都是盡量 把無(wú)用的信息從原始信號(hào)中剔除，

2、所以Matlab提供了一條通 用的命令wdencmp，同時(shí)處理降噪和壓縮。,降噪準(zhǔn)則,光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號(hào)應(yīng)該至少 和原信號(hào)具有同等的光滑性； 相似性：降噪后的信號(hào)和原信號(hào)的方差估計(jì)應(yīng)該是 最壞情況下的方差最小；(Minmax Estimator),降噪過(guò)程,小波分析用于降噪的過(guò)程，可細(xì)分為如下幾段： (1)分解過(guò)程：選定一種小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波 (小波包)分解； (2)作用閾值過(guò)程：對(duì)分解得到的各層系數(shù)選擇一個(gè) 閾值，并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理； (3)重建過(guò)程：對(duì)處理后的系數(shù)通過(guò)小波(小波包)重 建恢復(fù)原始信號(hào)。,降噪原理,基本降噪模型,假設(shè)一個(gè)信號(hào)被噪聲污染后為,小波

3、變換的目的就是通過(guò)抑制,降噪原理,閾值的確定,從原始信號(hào)確定各級(jí)閾值,在小波分析用于降噪的過(guò)程中，和信號(hào)的步驟就是在 系數(shù)上作用閾值。因?yàn)殚撝档倪x取直接影響降噪的質(zhì)量， 所以人們提出了各種理論和經(jīng)驗(yàn)的模型。但沒(méi)有一種模型 時(shí)通用的，他們都有自己的使用范圍。,主要有以下幾個(gè)數(shù)學(xué)模型：,其中n為信號(hào)的長(zhǎng)度，在ddencmp命令中，若使用其降噪 功能，求得的閾值就是用這個(gè)規(guī)則確定的。,缺省的閾值確定模型，閾值由如下的公式給出,閾值的確定,Birge-Massart策略所確定的閾值，閾值通過(guò)如下的 規(guī)則求得：,(1)給定一個(gè)指定的分解層數(shù)j，對(duì)j+1以及更高層所有系數(shù)保留；,降噪情況下取,(2)對(duì)第i

4、層(1ij)，保留絕對(duì)值最大的ni個(gè)系數(shù)，ni由下式確定：,的取值因用途不同而不同，,閾值的確定,壓縮情況下一般取,令t*為使得函數(shù),從原始信號(hào)確定閾值的函數(shù)有ddencmp，wbmpen， wdcbm和wdcbm2，其中自動(dòng)降噪的命令wdencmp在用 于信號(hào)的時(shí)候采用的是默認(rèn)的閾值。,小波包變換中的penalty閾值，閾值由下式給出：,閾值的確定,例1：,利用sym6小波對(duì)信號(hào)noisbump做5層分解。并使用用penalty閾值降噪方法、Birge-Massart閾值降噪方法以及缺省閾值降噪方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪。其結(jié)果見(jiàn)圖6-1。,使用penalty策略確定降噪的閾值 thr1 = 2.7

5、681 使用Birge-Massart策略確定降噪的閾值 thr2 =3.1312 2.6169 4.0443 9.5960 7.0858 nkeep = 1 2 3 5 11 使用缺省閾值確定閾值并用硬閾值對(duì)系數(shù)進(jìn)行處理 thr = 3.7856 sorh = s keepapp = 1,閾值的確定,幾種閾值降噪方法在降噪中的使用,圖6-1,閾值的確定,基于樣本估計(jì)的閾值選擇,通過(guò)例1可以看到，除了Birge-Massart策略確定的閾 值外，其余方法的到的降噪信號(hào)太過(guò)于光滑，失去了原信 號(hào)本身的一些信息，這在以前講述的降噪準(zhǔn)則中，不符合 相似性原則，保留相似性的方法有很多，在數(shù)學(xué)上有一個(gè)

6、常用的標(biāo)準(zhǔn)就是在最壞情況下方差最小的約束下的樣本估 計(jì)。 除了前面講的通過(guò)舍去部分系數(shù)以外，還有一種方法 就是信號(hào)作無(wú)偏似然估計(jì)，然后根據(jù)最壞情況下降噪信號(hào) 與原信號(hào)方差最小的原則確定一個(gè)統(tǒng)一的閾值，然后截去 超過(guò)這個(gè)閾值的系數(shù)。,閾值的確定,最小極大方差閾值(minimaxi)：使得選取的閾值產(chǎn)生最小的極大方 差。 通過(guò)統(tǒng) 計(jì)學(xué)上估計(jì)其的構(gòu)造方法得到。因?yàn)榻翟牒蟮男盘?hào)可 以看成與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，所以這種方法通過(guò)求得未知 回歸函數(shù)與原信號(hào)在最壞情況下的最小值來(lái)獲得閾值。,啟發(fā)式sure閾值(heursure)：前兩種方式的綜合形式，因?yàn)榛趕ure 產(chǎn)生的閾值在高信號(hào)噪聲比的情況下抑

7、制噪聲的效果不明顯，這種 方法利用啟發(fā)函數(shù)自動(dòng)在前兩種閾值選擇中選取一個(gè)；,閾值的確定,基于stein無(wú)偏似然估計(jì)(sure)的軟閾值估計(jì)(rigsure)。對(duì)于給定的 閾值t，得到它的似然估計(jì)，然后將似然函數(shù)最小化，得到所需要 的閾值；,各種閾值的選取,閾值的確定,例2：,產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為1000的隨機(jī)信號(hào)y，,y的SURE閾值為 thr = 2.7316；,y的對(duì)數(shù)長(zhǎng)度閾值為 thr = 3.7169,y的啟發(fā)式SURE閾值為 thr = 3.7169,y的minimaxi閾值為 thr = 2.2163,硬閾值和軟閾值去噪,硬閾值和軟閾值,在求得閾值以后，有兩種在信號(hào)上作用閾值的方法， 一

8、種是令絕對(duì)值小于閾值的信號(hào)點(diǎn)的值為零，成為硬閾 值，這種方法的缺點(diǎn)是在某些點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生間斷。另一種軟 閾值方法是在硬閾值的基礎(chǔ)上將邊界處向不連續(xù)點(diǎn)收縮 到零。這樣可以可以有效的避免間斷，使得重建信號(hào)比 較光滑。,例3：,對(duì)于定義在-1,1上的直線，定義閾值為0.4，分別作用硬閾值和軟閾值，結(jié)果如圖6-2所示,圖6-2,硬閾值和軟閾值的圖形表示,硬閾值和軟閾值去噪,降噪實(shí)例,Matlab中用于降噪的函數(shù),自動(dòng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪，包括wden，wdencmp,對(duì)閾值進(jìn)行處理的命令，包括thselect,wthrmngr,根據(jù)信號(hào)噪聲強(qiáng)度求得閾值，包括ddencmp，wbpen，wdcmb,直接對(duì)分解系數(shù)作

9、用閾值的命令，包括wpthcoef， wthcoef， wthresh,估計(jì)噪聲的命令，包括wnoisest,生成噪聲的命令，包括wnoise,例4：,降噪后的ca信號(hào)在原信號(hào)的能量成分per1 = 0.9302； 降噪后的x2信號(hào)在原信號(hào)的能量成分 per2 = 0.9387； 將ca作為降噪信號(hào)，其與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 err1 = 48.8734； 將x2作為降噪信號(hào)，其與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 err2 = 32.4658。,在一個(gè)光滑的信號(hào)上加入一個(gè)高斯白噪聲，使用db4小波對(duì)其作5層分解，觀察信號(hào)在時(shí)間-頻率域上的成分。再通過(guò)作用閾值抑制噪聲信號(hào)，重建信號(hào)達(dá)到降噪的目的。 在小波分解過(guò)程中，每

10、次分解得到的系數(shù)比以前更光滑，舍去的細(xì)節(jié)信息就存在各層近似系數(shù)中。一個(gè)簡(jiǎn)單的思想就是重建第i層近似系數(shù)達(dá)到降噪的目的。此例中取第5層近似信號(hào)ca作為降噪后的信號(hào)。 但為了保持原信息的相對(duì)完整可以有選擇地抑制各層的細(xì)節(jié)系數(shù)，通過(guò)抑制后的系數(shù)重建信號(hào)x2作為降噪信號(hào)，達(dá)到降噪的目的。見(jiàn)圖6-3。,降噪實(shí)例,通過(guò)抑制細(xì)節(jié)系數(shù)實(shí)現(xiàn)降噪,例4：通過(guò)抑制細(xì)節(jié)系數(shù)實(shí)現(xiàn)降噪,圖6-3,降噪實(shí)例,由此例可看出，使用單純抑制細(xì)節(jié)系數(shù)的方式(因?yàn)榍笾?建近似信號(hào)等于將所有細(xì)節(jié)的系數(shù)抑制到0)，確實(shí)可以實(shí)現(xiàn) 消除信號(hào)噪聲的目的，但這種方式過(guò)于粗略，因?yàn)檫@樣做沒(méi) 有利用到噪聲本身的信息，沒(méi)有通過(guò)噪聲本身來(lái)確定降噪的 方

11、法，所以作為衡量相似性的標(biāo)準(zhǔn)差仍然很大，而且降噪后 的信號(hào)損失了很多原信號(hào)的能量成分(6%左右)，這就說(shuō)明在 降噪的過(guò)程中，不光抑制了噪聲，也抑制了很多有用的信息 成分。,在小波域中的細(xì)節(jié)系數(shù)若映射到Fourier分析中的頻域，則代表高頻系數(shù)，如果只對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)新抑制，同樣可以達(dá)到降噪的效果。,降噪實(shí)例,通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪的具體流程如下：,這個(gè)過(guò)程其實(shí)相當(dāng)于對(duì)原信號(hào)在一定范圍內(nèi)作濾波， 還原到時(shí)域相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行卷積運(yùn)算。,(1)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行Fourier變換，求出其頻譜。 (2)根據(jù)頻譜，對(duì)比我們所關(guān)心的頻譜成分，對(duì)不需要的頻譜 成分進(jìn)行抑制。 (3)對(duì)變換后的頻譜作Fourier逆變

12、換，得到降噪后的信號(hào)。,降噪實(shí)例,例5：,對(duì)信號(hào)noisdopp 作Fourier變換，畫(huà)出其頻譜圖，結(jié)果見(jiàn)圖6-4。 由圖可見(jiàn)，信號(hào)的能量主要集中在低頻部分，在20Hz以后迅速衰減 到零，50Hz以后幾乎就沒(méi)有能量了。,降噪實(shí)例,通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪,從而可以做一個(gè)簡(jiǎn)單的低通濾波。使用寬度分別為10、30和50 的濾波器對(duì)頻譜進(jìn)行濾波，抑制頻譜直接令其為零，然后對(duì)經(jīng)過(guò)濾 波的頻譜做Fourier變換，得到相應(yīng)的降噪信號(hào)xd1、xd2與xd3，其 圖形見(jiàn)圖6-5。,例5：通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪,圖6-4,降噪實(shí)例,例5：通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪,圖6-5,降噪實(shí)例,例5：通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪

13、,降噪信號(hào)xd1、xd2與xd3的能量比例分別為： per1=norm(xd1)/norm(x)=0.8710 per2=norm(xd2)/norm(x)=0.9390 per3=norm(xd3)/norm(x)= 0.9542 各個(gè)降噪信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為： err1=norm(xd1-x)=62.6615 err2=norm(xd2-x)= 43.3881 err3=norm(xd3-x)= 36.8576,在這個(gè)例子中，信號(hào)noisdopp的初始發(fā)展階段的振蕩頻率很高，我們認(rèn)為是系統(tǒng)自身的特性，但對(duì)于低通濾波器，這些成分被過(guò)濾掉了。所以單純對(duì)頻域的濾波有“一刀切”的缺陷，也就是

14、把帶通之外的頻譜不加區(qū)分的濾掉。,降噪實(shí)例,比較例4與例5可以看出，F(xiàn)ourier變換只能在頻域范圍內(nèi) 表述，那么對(duì)系數(shù)進(jìn)行處理的方法也相對(duì)單一，而小波分解 之后可以在各個(gè)層次選擇閾值，對(duì)噪聲成分進(jìn)行抑制，手段 更加靈活。 還有一點(diǎn)值得注意的是，使用小波變換進(jìn)行噪聲抑制時(shí)， 降噪結(jié)果的能量比(93.87%)雖然沒(méi)有使用FFT濾波器的結(jié)果 (95.42%)高，但是保持了更高的與原信號(hào)的相似程度。這一 點(diǎn)從降噪信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差可以看出。小波變換中，對(duì) 細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行抑制后的濾波結(jié)果與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差為32.4685， 比FFT的結(jié)果36.8576還小。而且這種整體縮減抑制細(xì)節(jié)系數(shù) 的方法還不是最好

15、的降噪方法。這個(gè)例子很客觀地說(shuō)明了多 分辨分析在做變換的時(shí)對(duì)時(shí)間和頻率的兼顧，以及它同傳統(tǒng) 頻域方法無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。,降噪實(shí)例,以上兩例討論了在小波域和頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行抑制的方 法，并將兩種方法得到的降噪結(jié)果進(jìn)行了比較。但是嚴(yán)格 地講，這些都不能很好的符合降噪的兩個(gè)基本要求光 滑性和相似性。閾值控制的方法在理論上指出了一種在小 波域?qū)ο禂?shù)進(jìn)行操作，使得降噪信號(hào)最大程度滿足這兩個(gè) 要求的方法，就是所謂的“小波收縮”的方法，其原理就是 根據(jù)方差最小的原則通過(guò)對(duì)系數(shù)的無(wú)偏似然估計(jì)確定閾值 的方法，這也是Matlab小波工具箱中用于信號(hào)降噪的缺省 方法。,降噪實(shí)例,例6：,仍以信號(hào)noisdopp為例，

16、利用基于stein無(wú)偏似然估 計(jì)的方法，通過(guò)工具箱中自動(dòng)獲取對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪的命 令wdencmp來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明小波變換在信號(hào)降噪中的應(yīng)用， 其中閾值的選取可通過(guò)兩種方式：全局閾值和分層閾值。 為了便于和以前的例子對(duì)比，這次選擇與db4相似，且對(duì) 稱性更好的sym4小波對(duì)信號(hào)作4層分解 。,降噪實(shí)例,Matlab缺省的降噪命令,原信號(hào)和降噪后的信號(hào)的圖形見(jiàn)圖6-6。,例6：Matlab缺省的降噪命令,圖6-6,降噪實(shí)例,例6：Matlab缺省的降噪命令,由此可見(jiàn)，全局閾值和分層閾值方法降噪后的信號(hào)都很好的保留了信號(hào)發(fā)展初期的高頻特性，且性能參數(shù)由于以前的抑制細(xì)節(jié)系數(shù)的策略和FFT方法。在這兩者之間

17、，分層閾值雖然損失了部分的性能（與原信號(hào)的相似性），但比全局閾值的結(jié)果光滑很多。而且信號(hào)發(fā)展初期的高頻系數(shù)幾乎不受影響，最大限度地反映了原信號(hào)本身的特性。,降噪信號(hào)的能量成分以及其與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 全局閾值降噪后信號(hào)的能量成分per1=0.9774 分層閾值降噪后信號(hào)的能量成分per2=0.9645 全局閾值降噪后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差err1= 28.0714 分層閾值降噪后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差err2=31.0548,降噪實(shí)例,例7：,由此可見(jiàn)，全局閾值和分層閾值方法降噪后的信號(hào)都很好的保留了信號(hào)發(fā)展初期的高頻特性，且性能參數(shù)優(yōu)于以前的抑制細(xì)節(jié)系數(shù)的策略和FFT方法。在這兩者之間，同

18、全局閾值相比，分層閾值在保留同樣能量成分的情況下，有著更好的相似性。從直觀上解釋，是由于區(qū)分了不同方向的閾值后，可以更精確地刻畫(huà)各個(gè)方向上的噪聲分布情況，所以可以獲得更好的相似性。,利用sym4小波對(duì)二維信號(hào)woman作4層分解，使用全局閾值和分 層閾值降噪方法對(duì)原信號(hào)降噪結(jié)果見(jiàn)圖6-7。并求得降噪后信號(hào)的能量 成分與標(biāo)準(zhǔn)差：,全局閾值降噪后信號(hào)的能量成分per1= 0.9996 分層閾值降噪后信號(hào)的能量成分per2=0.9996 全局閾值降噪后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差err1= 1.4415e+003 分層閾值降噪后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差err2=1.3679e+003,降噪實(shí)例,二維信號(hào)的小波降

19、噪,例7：二維信號(hào)的小波降噪,圖6-7,降噪實(shí)例,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),Lipschitz指數(shù)與正則性,基于小波變換的奇異信號(hào)的檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),奇異點(diǎn)在信號(hào)和圖象處理中稱為邊緣點(diǎn)或突變點(diǎn)，它包 含了信號(hào)的重要特征。如在電力信號(hào)檢測(cè)中，信號(hào)的奇異點(diǎn) 往往包含了重要的事故信息，因此對(duì)奇異點(diǎn)的檢測(cè)在故障分 析中具有重要的意義。,函數(shù)（信號(hào)）在某點(diǎn)處間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，稱函數(shù) 在該點(diǎn)處有奇異性，該點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)。通常情況下，信號(hào)奇異性分為兩種情況：一種是信號(hào)在某一個(gè)時(shí)刻內(nèi)，其幅值發(fā)生突變，引起信號(hào)的非連續(xù)，幅值的突變處是第一種類(lèi)型的間斷點(diǎn)；另一種是信號(hào)外觀上很光滑，幅值沒(méi)有突變

20、，但是信號(hào)的一階微分有突變產(chǎn)生，且一階微分是不連續(xù)的，稱為第二種類(lèi)型的間斷點(diǎn)。,利用小波變換具有時(shí)頻局部化的性能，可以對(duì)函數(shù)(信號(hào))的奇異性進(jìn)行分析， 并確定奇異點(diǎn)的位置與奇異性的大小。,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),函數(shù)在某點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)刻畫(huà)了函數(shù)在該點(diǎn)的正則性：,Lipschitz指數(shù)越大, 函數(shù)越光滑，奇異性越??；反之，該點(diǎn)的奇異 性越大，該點(diǎn)的光滑度就越小。,如果函數(shù)在某點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)小于1, 則稱函數(shù)在該點(diǎn)是奇異的。,函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可微或函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，而導(dǎo)數(shù)有界但不連續(xù)， 則在該點(diǎn)的 Lipschitz指數(shù)為1。,函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)

21、但有界,則函數(shù)在該點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)為0。,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),定義:,一個(gè)光滑函數(shù)可以看成是低通濾波器的沖激響應(yīng)，,其中,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),定理：,注：,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),基于小波變換的奇異信號(hào)的檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),例1.,間斷點(diǎn)是指在正常信號(hào)情況下的信號(hào)突變。在動(dòng)態(tài)系 統(tǒng)中, 信號(hào)突變是非?？斓?。信號(hào)突變的主要特征是信號(hào) 在時(shí)間和空間上存在著局部的變化。根據(jù)信號(hào)變化的速度 快慢, 選擇合適的分解尺度, 小波分析良好的局部分析功能 就能充分發(fā)揮, 從而方便地解決信號(hào)突變點(diǎn)檢測(cè)的問(wèn)題。信

22、號(hào)突變點(diǎn)的檢測(cè)內(nèi)容包括: 突變點(diǎn)的時(shí)機(jī)、突變點(diǎn)的類(lèi)型和 振幅的改變。,以某工作系統(tǒng)的測(cè)試信號(hào)為例, 其正常工作的信號(hào)為一定頻率的的蠕變信號(hào), 當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)故障時(shí), 其信號(hào)的頻率發(fā)生了變化, 如圖6-8 中的信號(hào)s所示。,第一類(lèi)間斷點(diǎn)的檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),該信號(hào)的不連續(xù)性是由于低頻特征的信號(hào)在后半部分中 突然有中高頻特征的信號(hào)加入。以下通過(guò)采用db3小波變換 來(lái)分析來(lái)檢測(cè)信號(hào)幅值變化的準(zhǔn)確時(shí)間，即間斷點(diǎn)的準(zhǔn)確位 置，從而將中高頻特征的信號(hào)的加入時(shí)間點(diǎn)檢測(cè)出來(lái)。從圖1 小波分解的第一層系數(shù)d1中可以明顯低看出在t=500開(kāi)始直到 t=1000的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)工作出現(xiàn)了異常情況。顯然，小波

23、變換 通過(guò)其局部識(shí)別特性將故障的間斷點(diǎn)正確的診斷出來(lái)。,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),圖6-8 工作系統(tǒng)信號(hào)的多尺度小波變換,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),對(duì)比通過(guò)傳統(tǒng)的傅里葉分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的情況。由于 Fourier變換將信號(hào)變換成純頻域中的信號(hào)，使它不具有時(shí)間 分辨的能力，故對(duì)信號(hào)在時(shí)域中的突變點(diǎn)根本無(wú)法檢測(cè)出來(lái)。 如圖6-9所示，通過(guò)與小波多尺度變化的比較可以明確的說(shuō)明 小波分析比傳統(tǒng)的傅里葉分析有更大的優(yōu)越性。如果這種信號(hào) 用傅里葉分析進(jìn)行分析，顯然是無(wú)法檢測(cè)出信號(hào)的頻率變化點(diǎn) 的, 而在小波分析中，這種突變點(diǎn)的特征則表現(xiàn)得相當(dāng)明顯。,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),圖6-9 工作系統(tǒng)信號(hào)

24、的傅立葉變換,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),例2.,此類(lèi)間斷點(diǎn)表面看起來(lái)很光滑，但是其一階導(dǎo)數(shù)存在突 變， 通過(guò)小波變換可以對(duì)信號(hào)的奇異點(diǎn)進(jìn)行有效的識(shí)別。假 定給定的信號(hào)是由兩個(gè)獨(dú)立的滿足指數(shù)方程的信號(hào)連接起來(lái) 的，從圖6-10中可以看出，此信號(hào)在外觀上是很光滑的曲線， 但是該信號(hào)具有一階微分且突變，如圖6-11所示。,第二類(lèi)間斷點(diǎn)的檢測(cè),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),圖6-10 兩個(gè)獨(dú)立的滿足指數(shù)方程的連續(xù)信號(hào),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),圖6-11 原始信號(hào)的一階微分,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),通過(guò)db1小波6尺度的變換，可以看到，改信號(hào)的一階微 分在時(shí)間T=100點(diǎn)處，有明顯的不連續(xù)。將該

25、信號(hào)進(jìn)行小波 分解后，第一層的高頻部分d1將信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)顯示得相當(dāng) 明顯，這個(gè)斷裂點(diǎn)在信號(hào)的中部發(fā)生，在其他地方可以忽略。 從圖6-12可以看出，利用小波分析進(jìn)行信號(hào)的不連續(xù)的定位 是非常精確的。象這種間斷點(diǎn)的定位，一般來(lái)說(shuō)，是在小波 分解的第一層和第二層高頻部分進(jìn)行判斷的。,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),圖6-12 原始信號(hào)的多尺度小波變換 (db1小波),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),需要注意的是，在選擇小波的時(shí)，正則性是一條很重要 的規(guī)則。上面的小波變換選用的是Db1小波，這種小波正則 性很好，如果選擇Db4小波，會(huì)發(fā)現(xiàn)在T=100處，高頻部分 的值幾乎為0，檢測(cè)不出信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，見(jiàn)圖6

26、-13。為了 檢測(cè)出信號(hào)的奇異點(diǎn)，所選擇的小波必須很正則，這時(shí)的小 波可實(shí)現(xiàn)一個(gè)更長(zhǎng)的沖擊響應(yīng)濾波器。,小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),圖6-13 原始信號(hào)的多尺度小波變換 (db4小波),小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè),在電力信號(hào)奇異性檢測(cè)中，信號(hào)奇異點(diǎn)包含了重要的信 息，小波變換可精確的檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)，這對(duì)調(diào)整儀器的 工作狀態(tài)以及預(yù)防事故的發(fā)生具有重要作用。需要注意的是： 在選擇不同的小波分析電能質(zhì)量信號(hào)奇異性時(shí)，所達(dá)到的效 果也不一樣。因此，選擇合適的小波非常重要。,小波變換在圖像處理中的應(yīng)用,邊緣檢測(cè),圖像壓縮,圖像增強(qiáng),圖像融合,圖像平滑,小波變換用于圖像壓縮,利用小波變換的局部壓縮圖像,

27、遙感測(cè)控圖像：要求在整幅圖像有很高壓縮比的同時(shí)，對(duì)熱 點(diǎn)部分的圖像要有較高的分辨率。 醫(yī)療圖像：需要對(duì)某個(gè)局部的細(xì)節(jié)部分有很高的分辨率。,基于離散余弦變換的圖像壓縮算法可以達(dá)到這樣的壓縮 效果，但該方法在處理過(guò)程中并不能提供時(shí)域的信息，在比 較關(guān)心時(shí)域特性的時(shí)候顯得無(wú)能為力。,在此方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有 的時(shí)頻特性，可以在時(shí)頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就 可以對(duì)感興趣的部分提供不同的壓縮精度。,小波變換用于圖像壓縮,例1：,從圖6-14可以看出，小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細(xì)節(jié)信息，并且提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，可通過(guò)對(duì)局部細(xì)節(jié)系數(shù)處理來(lái)達(dá)到局部壓縮的效

28、果。從壓縮圖像中可很明顯地看出只有中間部分變得模糊(如原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨)，而其他部分的細(xì)節(jié)信息仍然可以分辨的很清楚。,使用sym4小波對(duì)信號(hào)wbarb進(jìn)行一層小波分解。通過(guò)將三個(gè) 細(xì)節(jié)系數(shù)的中部置零實(shí)現(xiàn)局部壓縮。壓縮信號(hào)的能量成分為1.0000，壓縮信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差為586.4979。壓縮效果如圖6-14所示。,利用小波變換的時(shí)頻局部化特性進(jìn)行局部壓縮,小波變換用于圖像壓縮,圖6-14 利用小波變換的局部壓縮圖像,小波變換用于圖像壓縮,在實(shí)際的應(yīng)用中，可能不會(huì)只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會(huì)是將局部細(xì)節(jié)系數(shù)全部清除，更一般的情況是在N層變換中通過(guò)選擇零系數(shù)比例或能

29、量保留成分作用不同的閾值，實(shí)現(xiàn)分片的局部壓縮。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個(gè)不同方向的細(xì)節(jié)系數(shù)上作用不同的閾值。,小波變換用于圖像壓縮,利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮,一個(gè)圖像進(jìn)行小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子 圖像，不同分辨率的子圖像的頻率是不同的。高分辨率子圖像 上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近于0，越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對(duì) 一個(gè)圖像來(lái)說(shuō)，表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部分，所以 一個(gè)簡(jiǎn)單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而 保留低頻部分。,優(yōu)點(diǎn)：方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，容易實(shí)現(xiàn) 缺點(diǎn)：不適于對(duì)壓縮比和圖像質(zhì)量都有較高要求的場(chǎng)合,小波變換用于圖像壓縮,例2：,大小(像素)

30、所占空間(字節(jié)) 壓縮比 壓縮前圖像 256 256 524 288 第一次壓縮后的圖像 135135 145 800 約為1/3 第一次壓縮后的圖像 75 75 45 000 約為1/12,使用bior3.7 小波對(duì)信號(hào)wbarb進(jìn)行二層小波分解。提取各 層的低頻信息作為壓縮圖像。壓縮效果如圖6-15所示。,利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮,小波變換用于圖像壓縮,圖6-15 利用二維小波變換進(jìn)行圖像壓縮,小波變換用于圖像壓縮,用bior.3.5小波對(duì)圖像detfingr進(jìn)行三層分解。 同時(shí)采用求 缺省閾值的ddencmp命令和基于經(jīng)驗(yàn)公式的wdcbm2命令對(duì)圖 像進(jìn)行壓縮，并對(duì)壓縮效果進(jìn)行比較。

31、顯示結(jié)果如圖6-16所示。,例3：,由圖可見(jiàn)分層閾值化壓縮方法同全局閾值化方法相比，在 能量損失不是很大的情況下可以獲得更高的壓縮比。這主要是 因?yàn)閷訑?shù)和方向相關(guān)的閾值化方法能利用更精細(xì)的細(xì)節(jié)信息進(jìn) 行閾值化處理。,利用閾值化方法對(duì)圖像進(jìn)行壓縮,小波變換用于圖像壓縮,圖6-16 detfingr圖像的全局閾值化壓縮和分層閾值化壓縮,小波變換用于圖像壓縮,基于小波包變換的圖像壓縮,小波分析的全局閾值化方法作用的信息力度太大，不夠 精細(xì)，所以很難同時(shí)獲得高的壓縮比和能量保留成分。采用 分層閾值化法后，性能明顯提高，因?yàn)榉謱娱撝蹈荏w現(xiàn)信 號(hào)固有的時(shí)頻局部特性。 但小波分解分解出來(lái)的小波樹(shù)只有一種模

32、式，不能完全 地體現(xiàn)時(shí)頻局部化信息。 因此，實(shí)際的壓縮算法多采用小波包算法，而小波樹(shù)的 確定則是根據(jù)不同的信息論準(zhǔn)則，以達(dá)到分解系數(shù)表達(dá)的信 息密度最高。需要說(shuō)明的是，對(duì)高頻成分很多的圖像，小波 包的分解細(xì)節(jié)信息的特點(diǎn)尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。正因?yàn)檫@點(diǎn)， FBI的指紋庫(kù)就是采用的基于小波包的壓縮算法WSQ,小波變換用于圖像壓縮,例4：,利用sym4小波包對(duì)圖像 julia進(jìn)行壓縮。得到的壓縮結(jié)果 如圖6-17所示，壓縮過(guò)程中使用的最優(yōu)小波樹(shù)如圖6-18所示。 在將小波包用于信號(hào)壓縮的過(guò)程中，ddencmp命令返回 的最優(yōu)小波樹(shù)標(biāo)準(zhǔn)都是閾值化標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)確定的最 優(yōu)小波樹(shù)可以使得壓縮過(guò)程的零系數(shù)

33、成分最高，并且自動(dòng)降 低計(jì)算量。,基于小波包分析的圖像壓縮,小波變換用于圖像壓縮,圖6-17 基于小波包分析的圖像壓縮,小波變換用于圖像壓縮,圖6-18 最優(yōu)小波樹(shù),小波變換用于圖像增強(qiáng),圖像增強(qiáng)的基本目標(biāo)：對(duì)圖像進(jìn)行一定的處理，使其結(jié)果 比原圖更適用于特定的應(yīng)用領(lǐng)域 。,增強(qiáng)技術(shù)并不能增加圖像數(shù)據(jù)本身所含的信息，但是可以 凸現(xiàn)特定的特征，使處理后更有利于識(shí)別，從而有利于特定的 應(yīng)用。通常意義上的圖像增強(qiáng)目標(biāo)主要是放大圖像中感興趣結(jié) 構(gòu)的對(duì)比度，增加可理解性，同時(shí)減少或抑制圖像中混有的噪 聲，提高視覺(jué)質(zhì)量。,圖像增強(qiáng)問(wèn)題主要通過(guò)時(shí)域和頻域處理方法來(lái)解決。時(shí)域 法通過(guò)直接在圖像點(diǎn)上作用算子或掩碼

34、來(lái)解決，頻域法通過(guò)修 改Fourier變換系數(shù)來(lái)解決。時(shí)域法方便快速但會(huì)丟失很多點(diǎn)之 間的相關(guān)信息，頻域法可以很詳細(xì)地分離出點(diǎn)之間的相關(guān)，但 需要做多次傅立葉變換和逆變換的操作，計(jì)算量大。,小波變換用于圖像增強(qiáng),小波分析是以上兩種方法的折中。傅立葉分析在所有點(diǎn)的 分辨率都是原始圖像的尺度，但對(duì)于問(wèn)題本身的要求，可能不 需要這么大的分辨率，而單純的時(shí)域分析又顯得太粗糙，小波 分析的多尺度分析特性為用戶提供了更靈活的處理方法?？梢?選擇任意的分解層數(shù)，用盡可能少的計(jì)算量達(dá)到滿意的結(jié)果。 小波變換將一幅圖像分解為大小、位置和方向都不同的分 量。在作逆變換之前可以改變小波變換域中某些系數(shù)的大小， 這樣

35、就能夠有選擇地放大所感興趣的分量而減小不需要的分量。,小波變換用于圖像增強(qiáng),例1：,由于圖像經(jīng)過(guò)小波分解后，圖像的輪廓主要體現(xiàn)在低頻 部分，而細(xì)節(jié)部分則體現(xiàn)在高頻部分。因此，可以通過(guò)對(duì)低 頻分解系數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)，對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行衰減處理達(dá)到圖像增 強(qiáng)的作用。,給出一個(gè)二維信號(hào)woman，利用小波分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行增強(qiáng)處理。,用sym4小波對(duì)圖像進(jìn)行2層分解，并用小波分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行增強(qiáng)處理。增強(qiáng)效果如圖6-19。,小波變換用于圖像增強(qiáng),圖6-19 小波分析用于圖像增強(qiáng),小波變換用于圖像增強(qiáng),鈍化操作主要是提出圖像中的低頻成分，抑制尖銳的快速變化成分。,采用DCT在頻域作濾波的方法和小波方法分別對(duì)二維圖 像chess作鈍化處理。結(jié)果如圖6-20所示。,例2：,從圖中可以看出，前種方法得到鈍化結(jié)果更為平滑，這 是因?yàn)槠浞直媛首罡摺６〔ǚ椒ǖ玫降慕Y(jié)果在很多地方有 不連續(xù)的現(xiàn)象，因?yàn)閷?duì)系數(shù)作放大或抑制在閾值兩側(cè)有間斷， 而且分解層數(shù)很低，沒(méi)有完全分離出頻域的信息。而且在作 系數(shù)放大或抑制的時(shí)候，采用的標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)系數(shù)絕對(duì)值的大 小，沒(méi)有完全體現(xiàn)出其位置信息。但是在小波系數(shù)中，很容 易在處理系數(shù)的過(guò)程中加入位置信息。,給出一個(gè)二維信號(hào)chess ，利用小波分析對(duì)信號(hào) 進(jìn)行鈍化處理。,小波變換用于圖