安徽省合肥市一六八中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試題含解析

1、安徽省合肥市一六八中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試題（含解析）一、選擇題：（本大題共12個(gè)小題）1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】分別化簡集合,再求并集即可【詳解】，則故選：a【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)不等式及對數(shù)不等式求解，考查集合的并集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2.已知向量， ，則向量與的夾角為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】直接用向量的夾角公式求出兩向量的夾角即可.【詳解】解:因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以向量與的夾角為.故選:c.【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的求法和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.3.已知，則（ ）a. b. c. d. 【

2、答案】b【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的性質(zhì)，可將三個(gè)式子化為指數(shù)為的形式，然后利用冪函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查幾個(gè)數(shù)的大小比較，考查指數(shù)式與對數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，考查冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)f（x）tanx的定義域?yàn)?，1，且f（0）=0，則滿足f（2x1）f（xm+1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）a. （0，1b. （1，0）c. 1，2）d. 0，1）【答案】d【解析】【分析】由，可求，進(jìn)而可求，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式【詳解】由，即得：.所以.在-1，1上單調(diào)遞增.則由可得

3、，.解可得：，故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于中檔試題5.已知函數(shù)（），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）a. 在上單調(diào)遞減b. 在上單調(diào)遞增c. 的圖象關(guān)于對稱d. 的圖象關(guān)于對稱【答案】b【解析】【分析】根據(jù)“左加右減”的平移原則，以及得到的函數(shù)為偶函數(shù)，求出的值，再討論的單調(diào)性和對稱性即可.【詳解】對于函數(shù)（），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得的圖象，再根據(jù)得到的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得，即，.在上，單調(diào)遞減，故a正確；在上，在該區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)，故b錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故的圖象關(guān)于對稱，故c正確；當(dāng)時(shí)，為最

4、小值，故的圖象關(guān)于對稱，故d正確，綜上所述，錯(cuò)誤的是.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，以及正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，以及對稱軸的求解，屬綜合性中檔題.6.函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】b【解析】【分析】根據(jù)解析式分情況分段求解零點(diǎn)即可.【詳解】設(shè),令,則或.當(dāng)時(shí),由,得,由,得；當(dāng)時(shí),由,即,無解；由,即,得,所以有三個(gè)零點(diǎn),故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,需要分段求解零點(diǎn)并判斷零點(diǎn)是否在對應(yīng)區(qū)間內(nèi).屬于中檔題.7.在中，的平分線交于d，且有.若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】

5、由b、c、d三點(diǎn)共線，可得的值，求出關(guān)系，再利用是角平分線，結(jié)合面積公式，求出邊長，用余弦定理求出.【詳解】由b、c、d三點(diǎn)共線知，,，即，所以，由余弦定理得.故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)共線的條件關(guān)系，考查角平分線的性質(zhì)，以及余弦定理，屬于中檔題.8.已知，且都是銳角，則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式得到的值，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】由題意，可得，可得，即，所以由，可得，所以，解得，因?yàn)槎际卿J角，所以，所以,因?yàn)?，所以，故選a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及二倍角公式和兩

6、角和的正弦函數(shù)的化簡求值，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.9.已知向量，滿足，且對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，設(shè)與的夾角為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，不等式恒成立所以對任意實(shí)數(shù)恒成立所以，即又所以，即，解得又，所以，所以因?yàn)椋怨蔬x【考點(diǎn)】三角函數(shù)求值；恒成立問題；平面向量的數(shù)量積.10.已知兩條直線：和：（），與函數(shù)的圖象從左至右相交于點(diǎn)a、b，與函數(shù)的圖象從左至右相交于c、d，記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a、b，當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為（ ）a. 16b. 8c. d. 【答

7、案】b【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，以及對數(shù)運(yùn)算，將表示為的函數(shù)，再利用均值不等式求解最小值即可.【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出，（），與的圖象，設(shè)a，b，c，d各點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為 則由，解得，；由（），解得，；，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故的最小值為8，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的圖像，以及對數(shù)運(yùn)算，涉及均值不等式的使用，屬中檔題.11.已知定義在上的函數(shù)，且，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，對于任意，都有成立. 則的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)是奇函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，分類討論求解不等式的解集即可.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于

8、點(diǎn)中心對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，即函數(shù)是奇函數(shù)，對任意的正數(shù)，恒成立，不妨設(shè)，則，設(shè)，則不等式等價(jià)為，且函數(shù)是偶函數(shù)，即在上為增函數(shù)，則函數(shù)在上是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，不等式即，即，所以；當(dāng)時(shí)，不等式即，即，所以；因此不等式解集為：故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的性質(zhì)解不等式.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閞，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有，則m的最小值是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上的解析式，以及，求出函數(shù)在上的解析式，求出滿足題意的臨界值即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，將函數(shù)大致圖象繪制如下：時(shí)，令，解得

9、：，若對于任意，都有，所以，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解，以及數(shù)形結(jié)合求解恒成立問題的能力，屬綜合性中檔題.二、填空題：（本大題共4個(gè)小題）13.設(shè)，且，則_【答案】0【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，求出的值，最后計(jì)算出它的余弦值即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)平面向量共線定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.【答案】【解析】【分析】求出原函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)的減區(qū)間，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【詳解

10、】解：由，得，又內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題15.是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，對，都有，當(dāng)時(shí)，則_.【答案】【解析】【分析】先由已知等式和偶函數(shù)推出周期為4,再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)和周期可求得答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù),所以 ,所以周期,所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性,周期性,利用周期將自變量轉(zhuǎn)化為已知范圍后,利用分段函數(shù)解析式求值是解題關(guān)鍵,本題屬于

11、中檔題.16.已知函數(shù)，若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】通過的范圍，得到的圖像與取值范圍；設(shè)，根據(jù)圖像可知，若時(shí)，每個(gè)的取值對應(yīng)唯一的，即有兩個(gè)不同解；若，每個(gè)的取值對應(yīng)兩個(gè)不同的的，即有唯一解即可根據(jù)圖像，求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，圖像如下：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不同解，只需與圖像只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不同解，需與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不同解，需與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)綜上所述：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的范圍，求出與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域問題.易錯(cuò)點(diǎn)在于將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)后，忽略了與的對應(yīng)關(guān)系

12、，錯(cuò)誤的認(rèn)為只需與在上有兩個(gè)交點(diǎn)即可，從而錯(cuò)誤求得部分結(jié)果.三、解答題：（本大題共6個(gè)小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合為函數(shù)的定義域，集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出集合、，然后利用補(bǔ)集和交集的定義可求出集合；（2）由可得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】（1）據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，.，所以，因此，；（2），所以或，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，同時(shí)也考查了利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18.已知向量，.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)

13、間；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來的，把所得到的圖象再向左平移單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算以及倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)整理為標(biāo)準(zhǔn)型正弦型函數(shù)，再求解其性質(zhì)即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換，求得，再求函數(shù)值域即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，由得的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）根據(jù)條件得當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查利用倍角公式和輔助角公式化簡三角函數(shù)解析式并求其性質(zhì)的問題，涉及三角函數(shù)圖像的變換，屬綜合性中檔題.19.如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠

14、化一塊直徑為bc的半圓形空地，外的地方種草，的內(nèi)接正方形pqrs為一水池，其余的地方種花.若，設(shè)的面積為，正方形pqrs的面積為.（1）用a，表示和；（2）當(dāng)a為定值，變化時(shí)，求的最小值，及此時(shí)的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為【解析】【分析】（1）利用已知條件，根據(jù)銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；（2）根據(jù)題意，將表示為的函數(shù)，利用倍角公式對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值.【詳解】（1）在中，所以；設(shè)正方形的邊長為x，則，由，得，解得；所以；（2），令，因?yàn)?，所以，則，所以；設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，有最小

15、值，此時(shí)，解得；所以當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查倍角公式的使用，三角函數(shù)在銳角三角形中的應(yīng)用，以及利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，涉及換元法，屬綜合性中檔題.20.如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)、分別是的圖象與軸、軸的交點(diǎn)，、分別是的圖象上橫坐標(biāo)為、的兩點(diǎn)，軸，且、三點(diǎn)共線（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求；（3）若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上恰好有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，再求函數(shù)的最小正周期，從而求出、的值，即可寫出函數(shù)解析式；（2）由題意得出，再利用誘導(dǎo)公式可求出的值；（3）由函數(shù)的解析式，利用分離常數(shù)法得出，求

16、出時(shí)，的范圍，可得出關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，函數(shù)的最小正周期，又，解得，因此，；（2）由，所以，所以；（3），令，得，當(dāng)時(shí)，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題以及三角函數(shù)值的計(jì)算，也考查了函數(shù)與方程思想方法，是綜合題21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若存在不相等的實(shí)數(shù)同時(shí)滿足，求的取值范圍.【答案】（1）時(shí)：；時(shí)：；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，化簡得到函數(shù)，討論對稱軸范圍和兩種情況計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)化簡得到，代入函數(shù)得到，設(shè)得到函數(shù)，根據(jù)

17、函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍.【詳解】（1），設(shè)，對稱軸為 當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：.綜上所述：時(shí)：；時(shí)：（2），則化簡得到： 即設(shè)則易知函數(shù)在單調(diào)遞增，故即【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的取值范圍，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)和換元法的靈活運(yùn)用.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在r上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求所有的實(shí)數(shù)a，使得對任意時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方；（3）若存在，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)分段函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，即可求得參數(shù)的范圍；（2）根據(jù)題意，分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求解函數(shù)在區(qū)間上最值的問題，即可求得；（3）將方程根的個(gè)數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，求出函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得.【詳解】（1）函數(shù).由于在r上是連續(xù)的增函數(shù)，所以只要當(dāng)時(shí)為增函數(shù)且當(dāng)時(shí)也為增函數(shù)；即，解得，則a的范圍為.（2）由題意得對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，即，當(dāng)恒成立，即，故且在上恒成立，即在時(shí)，只要的最大值且的最小值即可，而當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，.所以滿