第二章 電像法

1、第二章 電像法,引 言,第一節(jié) 平面界面電像法,第二節(jié) 球面界面電像法,第三節(jié) 柱面界面電像法,第四節(jié) 場(chǎng)分布的電像定性分析,引言,靜電場(chǎng) 電位微分方程泊松方程、拉普拉斯方程,定解條件,對(duì)某區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷（或線電荷）、區(qū)域邊界或交界面為導(dǎo)體或電介質(zhì)的某些特殊情形，用假想的“像電荷”代替實(shí)際存在于界面處的感應(yīng)電荷或極化電荷，利用“像電荷”得到問題解的方法。,什么是電像法？,本章討論平面、球面、柱面界面電像法,返回,一、無限大接地平面導(dǎo)體外一點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng),求 空間的電位、場(chǎng)強(qiáng)及平面導(dǎo)體上的電荷分布。,靜電感應(yīng)，場(chǎng)由q及 共同產(chǎn)生。,由唯一性定理，定解條件為,方程：,邊界條件：,除(a

2、,0,0)點(diǎn)以外,點(diǎn)電荷的電位,設(shè) 空間的嘗試解為,嘗試解已滿足(1)式和(3)式。為滿足(2)式，將(4)式代入(2)式，得,代入式(4)，即得解為,(4),q像電荷，q原電荷。,感應(yīng)電荷密度,總感應(yīng)電荷Q,場(chǎng)強(qiáng),二、兩均勻電介質(zhì)交界面為無限大平面、一介質(zhì)內(nèi)有一點(diǎn)電荷的場(chǎng),如圖。試求：空間電位分布函數(shù)、場(chǎng)強(qiáng) 及電位移 的分布及x0界面處的極化束縛面電荷密度 。,解：交界面處有束縛面電荷 。,空間的場(chǎng)即是由q與 產(chǎn)生。,區(qū)域的邊界為無窮遠(yuǎn)，邊界處電位為0。,令 空間的電位函數(shù)為U1， 空間的電位函數(shù)為U2，則有,方程,除(a,0,0)點(diǎn)以外,邊界條件,交界條件,設(shè)嘗試解為,由(4)式，有,由(

3、5)式，有,解得,令,稱為介質(zhì) 對(duì)介質(zhì) 的反射系數(shù),令,稱為從介質(zhì) 透射入介質(zhì) 的透射系數(shù),稱為反射像電荷,透射像電荷,最后得到解為,還可利用原電荷、反射像電荷、透射像電荷直接得出場(chǎng)強(qiáng)及電位移,交界面x0處的極化束縛面電荷密度,總極化面電荷為,當(dāng) 時(shí)，K120，則 均為正電荷；,當(dāng) 時(shí)，K120，則 均為負(fù)電荷；,三、角域內(nèi)一點(diǎn)電荷的電像法,求出求電介質(zhì) 中的場(chǎng)所需的像電荷,解：為滿足(I)處交界條件，可在對(duì)稱處置像電荷 ， 為滿足(II)處交界條件，可在對(duì)稱處置像電荷,當(dāng) 且n為整數(shù)時(shí)，像電荷共有2n1個(gè)。若n不是整數(shù)，像電荷有無窮多，且將出現(xiàn)在 內(nèi)，不能用電像法精確求解。,四、兩平行平面界

4、面內(nèi)一點(diǎn)電荷的電像法,試求出求空間場(chǎng)所需的像電荷。,返回,一、接地導(dǎo)體球面外一點(diǎn)電荷的電場(chǎng),如圖，設(shè)接地導(dǎo)體球面半徑為a，球外距球心d處有點(diǎn)電荷q，試求球外空間的電位分布及球表面的總感應(yīng)電荷。,解：由靜電感應(yīng)，球面分布感應(yīng)自由面電荷，球外電場(chǎng)由q和感應(yīng)電荷 產(chǎn)生。,設(shè)想在Oq連線上距O為d放一像電荷q，用以代替 對(duì)球外空間的作用，并可將球面去掉。設(shè)球外空間電位為Up，則按定解條件，有,方程,邊界條件,(Ra，q點(diǎn)除外),設(shè)嘗試解為,(1),(2),(3),嘗試解已滿足(1)、(2)式。,為使之能滿足(3)式，在球面上任取一點(diǎn)p，有,如果q的位置恰能,有,所以,則 ,現(xiàn)在求總感應(yīng)電荷Q。,總感應(yīng)

5、電荷在球心處電位為,q在球心處電位為,球心處總電位為零，即,因?yàn)閍d，所以Qq。,導(dǎo)體球不接地時(shí),在球心處再放點(diǎn)電荷q。,則球面外P點(diǎn)電位為,點(diǎn)電荷在接地導(dǎo)體球殼內(nèi)時(shí)，如要討論球腔內(nèi)的電場(chǎng)，則像電荷應(yīng)置于球殼外。依然存在下面關(guān)系：,二、無限大接地平面導(dǎo)體外一電位為U的導(dǎo)體球的電場(chǎng),試求出求球外x0空間的電位分布的像電荷。（本問題類似于地下一充電良導(dǎo)體球，當(dāng)考慮地面影響時(shí)，求地下電位分布）,返回,一、無限長(zhǎng)介質(zhì)柱外一無限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng),在無限大均勻電介質(zhì) 中有一介電系數(shù)為 的無限長(zhǎng)電介質(zhì)圓柱，柱半徑為a。距柱軸d處(da)有一與柱軸平行的無限長(zhǎng)線電荷，線電荷密度為 ，試求空間的電場(chǎng)分布函數(shù)。,解：選柱坐標(biāo)，使z軸與圓柱軸重合，場(chǎng)分布與z無關(guān)，故只討論與柱軸垂直的某一橫截面上的二維分布。,應(yīng)用“二電介質(zhì)一點(diǎn)電荷”及“球外一點(diǎn)電荷”的思想,求場(chǎng)強(qiáng)。嘗試解為,其中,利用場(chǎng)強(qiáng)交界條件定解,對(duì)A點(diǎn)，有,對(duì)B點(diǎn)，有,代入試解即得場(chǎng)強(qiáng),利用下列公式求電位,如令柱軸為參考點(diǎn)，則,由電位連續(xù)即可求得U1。,二、兩帶等量異號(hào)電荷的無限長(zhǎng)導(dǎo)體柱的電場(chǎng),兩無限長(zhǎng)帶等量而異號(hào)電荷的導(dǎo)體圓柱