趣味數(shù)學(xué)問題

1、哥尼斯堡七橋問題 18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個(gè)問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這就是七橋問題，一個(gè)著名的圖論問題。 這個(gè)問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到了大數(shù)學(xué)家歐拉那里。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D4個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖2所示。 于是“七橋問題”就等價(jià)于圖3中所畫圖形的一筆畫問題了。歐

2、拉注意到，每個(gè)點(diǎn)如果有進(jìn)去的邊就必須有出來的邊，從而每個(gè)點(diǎn)連接的邊數(shù)必須有偶數(shù)個(gè)才能完成一筆畫。圖3的每個(gè)點(diǎn)都連接著奇數(shù)條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個(gè)初等的例子。哥德巴赫猜想 1742年德國人哥德巴赫給當(dāng)時(shí)住在俄國彼得堡的大數(shù)學(xué)家歐拉寫了一封信，在信中提出兩個(gè)問題：第一，是否每個(gè)大于4的偶數(shù)都能表示為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每個(gè)大于7的奇數(shù)都能表示3個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。這就是著名的哥德巴赫猜想。它是數(shù)論中

3、的一個(gè)著名問題，常被稱為數(shù)學(xué)皇冠上的明珠。 實(shí)際上第一個(gè)問題的正確解法可以推出第二個(gè)問題的正確解法，因?yàn)槊總€(gè)大于7的奇數(shù)顯然可以表示為一個(gè)大于4的偶數(shù)與3的和。1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫利用他獨(dú)創(chuàng)的“三角和”方法證明了每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示為3個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和，基本上解決了第二個(gè)問題。但是第一個(gè)問題至今仍未解決。由于問題實(shí)在太困難了，數(shù)學(xué)家們開始研究較弱的命題：每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示為質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)分別為m、n的兩個(gè)自然數(shù)之和，簡記為“m+n”。1920年挪威數(shù)學(xué)家布龍證明了“9+9”；以后的20幾年里，數(shù)學(xué)家們又陸續(xù)證明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c

4、是常數(shù)。1956年中國數(shù)學(xué)家王元證明了“3+4”，隨后又證明了“3+3”，“2+3”。60年代前半期，中外數(shù)學(xué)家將命題推進(jìn)到“1+3”。1966年中國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“1+2”，這一結(jié)果被稱為“陳氏定理”，至今仍是最好的結(jié)果。陳景潤的杰出成就使他得到廣泛贊譽(yù)，不僅僅是因?yàn)椤瓣愂隙ɡ怼笔怪袊诟绲掳秃詹孪氲淖C明上處于領(lǐng)先地位，更重要的是以陳景潤為代表的一大批中國數(shù)學(xué)家克服重重困難，不畏艱險(xiǎn)，永攀高峰的精神將鼓舞和激勵(lì)有志青年為使中國成為21世紀(jì)世界數(shù)學(xué)大國而奮斗!費(fèi)馬大定理 300多年以前，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在一本書的空白處寫下了一個(gè)定理：“設(shè)n是大于2的正整數(shù)，則不定方程xn+yn=zn沒有非零

5、整數(shù)解”。費(fèi)馬宣稱他發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理的一個(gè)真正奇妙的證明，但因書上空白太小，他寫不下他的證明。300多年過去了，不知有多少專業(yè)數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進(jìn)展甚微。這就是純數(shù)學(xué)中最著名的定理費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬(1601年1665年)是一位具有傳奇色彩的數(shù)學(xué)家，他最初學(xué)習(xí)法律并以當(dāng)律師謀生，后來成為議會議員，數(shù)學(xué)只不過是他的業(yè)余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認(rèn)真注意數(shù)學(xué)，但費(fèi)馬對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。他與笛卡兒幾乎同時(shí)創(chuàng)立了解析幾何，同時(shí)又是17世紀(jì)興起的概率論的探索者之一。費(fèi)馬特別愛好數(shù)論，提出了許多定理，但費(fèi)馬只對其中一個(gè)定理給出了證明要點(diǎn)，其

6、他定理除一個(gè)被證明是錯(cuò)的，一個(gè)未被證明外，其余的陸續(xù)被后來的數(shù)學(xué)家所證實(shí)。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費(fèi)馬大定理，因?yàn)槭亲詈笠粋€(gè)未被證明對或錯(cuò)的定理，所以又稱為費(fèi)馬最后定理。費(fèi)馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經(jīng)有了很大進(jìn)展，特別是最近幾十年，進(jìn)展更快。1976年瓦格斯塔夫證明了對小于105的素?cái)?shù)費(fèi)馬大定理都成立。1983年一位年輕的德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了不定方程xn+yn=z只能有有限多組解，他的突出貢獻(xiàn)使他在1986年獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)之一費(fèi)爾茲獎(jiǎng)。1993年英國數(shù)學(xué)家威爾斯宣布證明了費(fèi)馬大定理，但隨后發(fā)現(xiàn)了證明中的一個(gè)漏洞并作了修正。雖然威爾斯證明費(fèi)馬大定理還沒有得到數(shù)學(xué)界

7、的一致公認(rèn)，但大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為他證明的思路是正確的。毫無疑問，這使人們看到了希望。西爾維斯特問題 數(shù)學(xué)史上有這樣一件趣事，名流權(quán)威所不能解決的問題，卻被“無名小卒”解決了，這就是西爾維斯特問題。西爾維斯特(1814年1897年)是英國著名數(shù)學(xué)家，他曾提出過一個(gè)很有趣的幾何猜想(即西爾維斯特問題)：平面上給定n個(gè)點(diǎn)(n3)。如果過其中任意兩點(diǎn)的直線都經(jīng)過這些點(diǎn)中的另一個(gè)點(diǎn)，那么，這n個(gè)點(diǎn)在同一條直線上。這個(gè)看起來好像很容易的問題，卻難倒了不少數(shù)學(xué)家。甚至西爾維斯特本人直到逝世也沒有能夠解決它。50年過去了，許多著名數(shù)學(xué)家的探索都以失敗告終。但出人意料的是，該問題最終卻被一位“無名小卒”解決了。之

8、所以說是“無名小卒”，是因?yàn)槊绹茖W(xué)新聞數(shù)學(xué)教師等雜志在宣布這一問題的解答時(shí)，都沒有提到這個(gè)人的名字。而且證明非常容易，連初中學(xué)生都能理解。下面我們來看看他的精巧的證明。用反證法。假設(shè)這n個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，那么過其中任意兩點(diǎn)的直線外，均有已知點(diǎn)，它們到這條直線的距離都是正數(shù)。因?yàn)閚是一個(gè)有限的數(shù)，所以這種距離最多只能有有限個(gè)。設(shè)A、B、C、D是其中的4個(gè)點(diǎn)，B、C、D在同一條直線上，而且A到這條直線的距離h是上面我們提到的距離中最小的.不妨設(shè)D在B、C之間，D到AB、AC的距離分別為h1、h2，那么由h的最小性，有h1AB+h2ACh(AB+AC)hBC。由于這個(gè)不等式兩端均表示ABC的面積

9、，因而矛盾。所以假設(shè)不對，這n個(gè)點(diǎn)只能在同一直線上。古希臘三大幾何問題 傳說大約在公元前400年，古希臘的雅典流行疫病，為了消除災(zāi)難，人們向太陽神阿波羅求助，阿波羅提出要求，說必須將他神殿前的立方體祭壇的體積擴(kuò)大1倍，否則疫病會繼續(xù)流行。人們百思不得其解，不得不求教于當(dāng)時(shí)最偉大的學(xué)者柏拉圖，柏拉圖也感到無能為力。這就是古希臘三大幾何問題之一的倍立方體問題。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：已知一個(gè)立方體，求作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的兩倍。另外兩個(gè)著名問題是三等分任意角和化圓為方問題。 古希臘三大幾何問題既引人入勝，又十分困難。問題的妙處在于它們從形式上看非常簡單，而實(shí)際上卻有著深刻的內(nèi)涵。它們都

10、要求作圖只能使用圓規(guī)和無刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規(guī)。但直尺和圓規(guī)所能作的基本圖形只有：過兩點(diǎn)畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點(diǎn)、作兩圓的交點(diǎn)、作一條直線與一個(gè)圓的交點(diǎn)。某個(gè)圖形是可作的就是指從若干點(diǎn)出發(fā)，可以通過有限個(gè)上述基本圖形復(fù)合得到。這一過程中隱含了近代代數(shù)學(xué)的思想。經(jīng)過2000多年的艱苦探索，數(shù)學(xué)家們終于弄清楚了這3個(gè)古典難題是“不可能用尺規(guī)完成的作圖題”。認(rèn)識到有些事情確實(shí)是不可能的，這是數(shù)學(xué)思想的一大飛躍。然而，一旦改變了作圖的條件，問題則就會變成另外的樣子。比如直尺上如果有了刻度，則倍立方體和三等分任意角就都是可作的了。數(shù)學(xué)家們在這些問題上又演繹出很多故事。直到最

11、近，中國數(shù)學(xué)家和一位有志氣的中學(xué)生，先后解決了美國著名幾何學(xué)家佩多提出的關(guān)于“生銹圓規(guī)”(即半徑固定的圓規(guī))的兩個(gè)作圖問題，為尺規(guī)作圖添了精彩的一筆.百雞問題 本問題記載于中國古代約世紀(jì)成書的張邱建算經(jīng)中，是原書卷下第題，也是全書的最后一題：今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、鶵各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。該問題導(dǎo)致三元不定方程組，其重要之處在于開創(chuàng)一問多答的先

12、例，這是過去中國古算書中所沒有的。原書沒有給出解法，只說如果少買只母雞，就可多買只公雞和只小雞。所以只要得出一組答案，就可以推出其余兩組答案。中國古算書的著名?？闭哒琨[和李淳風(fēng)注釋該書時(shí)都沒給出解法，只有約世紀(jì)的算學(xué)家謝察微記述過一種不甚正確的解法。到了清代，研究百雞術(shù)的人漸多，年駱騰風(fēng)使用大衍求一術(shù)解決了百雞問題。年丁取忠創(chuàng)用一個(gè)簡易的算術(shù)解法。在此前后時(shí)曰醇（約）推廣了百雞問題，作百雞術(shù)衍，從此百雞問題和百雞術(shù)才廣為人知。百雞問題還有多種表達(dá)形式，如百僧吃百饅，百錢 買百禽等。宋代楊輝算書內(nèi)有類似問題，中古時(shí)近東各國也有相仿問題流傳。例如印度算書和阿拉伯學(xué)者艾布 卡米勒的著作內(nèi)都有百錢買百

13、禽的問題，且與張邱建算經(jīng)的題目幾乎全同。三十六軍官問題 大數(shù)學(xué)家歐拉曾提出一個(gè)問題：即從不同的6個(gè)軍團(tuán)各選6種不同軍階的6名軍官共36人，排成一個(gè)6行6列的方隊(duì)，使得各行各列的6名軍官恰好來自不同的軍團(tuán)而且軍階各不相同，應(yīng)如何排這個(gè)方隊(duì)？如果用(1，1)表示來自第一個(gè)軍團(tuán)具有第一種軍階的軍官，用(1，2)表示來自第一個(gè)軍團(tuán)具有第二種軍階的軍官，用(6，6)表示來自第六個(gè)軍團(tuán)具有第六種軍階的軍官，則歐拉的問題就是如何將這36個(gè)數(shù)對排成方陣，使得每行每列的數(shù)無論從第一個(gè)數(shù)看還是從第二個(gè)數(shù)看，都恰好是由1、2、3、4、5、6組成。歷史上稱這個(gè)問題為三十六軍官問題。三十六軍官問題提出后，很長一段時(shí)間沒有得到解