數(shù)學(xué)建模 數(shù)碼相機(jī)定位

1、.一 問題的提出1.1背景數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩

2、組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。 圖 1 靶標(biāo)上圓的像有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖 2 靶標(biāo)示意圖 圖3 靶標(biāo)的像1.2問題（1） 建立數(shù)

3、學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024768；（3） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二 問題的假設(shè)1考慮光的衍射，色散，只考慮反射和折射； 2假設(shè)所有場景中感興趣的點(diǎn)都在鏡頭前面； 3將相機(jī)簡化為一個(gè)小孔成像機(jī)構(gòu)，對(duì)于產(chǎn)生的相差，

4、以及相機(jī)對(duì)像平面成像的調(diào)整作用不予考慮； 4像平面是由一個(gè)個(gè)有大小的像素點(diǎn)組成，是一個(gè)不連續(xù)的點(diǎn)空間，而幾何定義大都 是在連續(xù)空間內(nèi)定義的，這里假定，在幾何推理中，像平面是連續(xù)的面，也即每個(gè) 象素點(diǎn)除了表示坐標(biāo)外，不再具有實(shí)際的大小； 5為了在離散空間中求解，在解答過程中對(duì)相切、相割的含義做了一些調(diào)整，具體論述見正文； 6對(duì)于題中隨給相機(jī)中的幾何關(guān)系有如下描述：焦點(diǎn)，透鏡中心，像平面中點(diǎn)三點(diǎn)共三 符號(hào)說明四 問題分析問題涉及的是數(shù)碼相機(jī)的定位問題，問題出現(xiàn)在雙目定位的背景下，要解決的問題是如何實(shí)現(xiàn)物體表面某些特征點(diǎn)在物平面和像平面之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，其中如何在像平面中找到發(fā)生變形的靶標(biāo)（圓）像的圓

5、心是需要解決的核心問題。 4.1 基本思路 題目中給出了已經(jīng)得到的靶標(biāo)的像和一些可測量的參數(shù)，如相機(jī)的像距，分辨率及靶標(biāo)圓的半徑和各圓之間的相對(duì)位置等。精確確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置是最終目的；實(shí)現(xiàn)物體表面某些特征點(diǎn)在物平面和像平面之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，是解決問題的基礎(chǔ)；而像的變形決定了找到圓心在像上的投影是問題的核心也是難點(diǎn)。我們考慮先找出實(shí)現(xiàn)物體表面某些特征點(diǎn)在物平面和像平面之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法，在此基礎(chǔ)上找到靶標(biāo)圓心在像平面上的圓心的具體位置，然后通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，把空間點(diǎn)從圖像中恢復(fù)出來，最后根據(jù)兩次恢復(fù)中求出的空間點(diǎn)位置的不一致關(guān)系，通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換推出兩部相機(jī)的相對(duì)位置。 4.2 具體分析 問題1

6、需要確定靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面的像坐標(biāo)。有兩種方法可以考慮實(shí)現(xiàn)，第一是利用物與像之間某些不變的相對(duì)位置關(guān)系找到對(duì)應(yīng)與圓心的像點(diǎn)； 另一種方法就是借助計(jì)算機(jī)圖形處理中的霍夫變換和聚類算法在一定模型假設(shè)基礎(chǔ)上求解。問題2主要是模型的求解。根據(jù)問題一中得到的模型和算法，具體的編制程序進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，具體用到的有matlab幫助求解。 問題3是對(duì)問題1中的模型以及模型2中的計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)。我們考慮通過在三維空 間內(nèi)尋找另外一個(gè)攝影角度，數(shù)碼相機(jī)在此角度可以得到圖2的另外一個(gè)像，同時(shí)可以出在像平面內(nèi)圓心的靶標(biāo)的像坐標(biāo)。利用問題1的模型和算法求得的圓心坐標(biāo)與之進(jìn)行比較，如果圓心坐標(biāo)可以重合的很好，說明模型的

7、精度比較好；同時(shí)在本文中我們還對(duì)模型和算法的精度進(jìn)行了初步的討論。 問題4是需要找出可以確定兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的方法。我們借助該靶標(biāo)在兩部 相機(jī)的像平面中所成的像，求出其在像平面中的坐標(biāo)，并通過逆變換，把空間點(diǎn)從像平面的二維圖像中恢復(fù)到三維坐標(biāo)系中，通過兩次恢復(fù)得到的坐標(biāo)之間的不一致關(guān)系確定出兩部相機(jī)相對(duì)位置。五 模型的建立與求解1前期像圖的轉(zhuǎn)換處理 在本問題中，像平面是一個(gè)二維空間，相應(yīng)的像素值即為空間內(nèi)各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)。在圖像平面坐標(biāo)系統(tǒng)中。首先，我們通過邊緣檢測的方法確定靶標(biāo)在像平面中各個(gè)圓像的邊界。即通過檢測每個(gè)像素和其直接鄰域點(diǎn)灰度是否連續(xù)，以決定該像素是否確實(shí)處于一個(gè)物體的邊界上。

8、因此，我們需要將像平面圖轉(zhuǎn)化為二維灰度圖，當(dāng)圖像中各個(gè)像素的灰度發(fā)生很大的跳躍產(chǎn)生不連續(xù)時(shí)，這時(shí)出現(xiàn)像的邊界，同時(shí)記下邊界在相圖平面中的坐標(biāo)。兩個(gè)具有不同灰度值的相鄰區(qū)域之間總存在邊緣，邊緣是灰度值不連續(xù)的結(jié)果。邊緣檢測的基本思想是利用邊緣增強(qiáng)算子，突出圖像中的局部邊緣，然后定義像素的“邊緣強(qiáng)度”，通過設(shè)置門限的方法提取邊緣點(diǎn)集。 具體操作步驟如下： 1：把二維像圖讀入MATLAB的變量中； 2：提取靶標(biāo)圖像的邊界確定邊緣的方法 3：靶標(biāo)圖像的邊界是由若干個(gè)點(diǎn)組成的，各點(diǎn)坐標(biāo)可以通過讀取圖像的過程獲得。 常用的邊緣檢測算子有很多種，我們使用Sobel算子、Robert算子、Prewitt算子、LOG算子、Canny算子和Zerocross算子對(duì)圖3中的靶標(biāo)圖像進(jìn)行邊緣檢測和確定，結(jié)果如圖。通過不同算子邊緣提取效果比較，Sobel算子的效果最好，Zerocross效果最差，我們最終確定選用Sobel算子進(jìn)行靶標(biāo)像圖的邊緣檢測，然后提取出圖像的邊界。通過邊緣檢測和邊界提取，我們將圖像從二維轉(zhuǎn)化為邊界線離散點(diǎn)， 實(shí)質(zhì)上是一個(gè)降維操作過程，有利于模型的簡化，同時(shí)減小計(jì)算量，