2021年新人教版乘法原理講解

1、19講 乘法原理讓我們先看下面幾個問題。例1馬戲團的小丑有紅、黃、藍三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問:小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？分析與解:由下圖可以看出，帽子和鞋共有6種搭配。事實上，小丑戴帽穿鞋是分兩步進行的。第一步戴帽子，有3種方法；第二步穿鞋，有2種方法。對第一步的每種方法，第二步都有兩種方法，所以不同的搭配共有326(種)。例2從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路。問:從甲地經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？分析與解:用A1，A2表示從甲地到乙地的2條路，用B1，B2，B3表示從乙地到丙地的3條路，用C1，C

2、2表示從丙地到丁地的2條路(見下頁圖)。共有下面12種走法:A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2事實上，從甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2種方法，第二步乙到丙有3種方法，第3步丙到丁有2種方法。對于第一步的每種方法，第二步都有3種方法，所以從甲到丙有23=6(種)方法；對從甲到丙的每種方法，第三步都有2種方法，所以不同的走法共有23212(種)。以上兩例用到的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)上的乘法原理。乘法原理:如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，做第2步有m

3、2種方法做第n步有mn種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務(wù)共有Nm1m2mn種不同的方法。從乘法原理可以看出:將完成一件任務(wù)分成幾步做，是解決問題的關(guān)鍵，而這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的。例3用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個三位數(shù)(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？分析與解:組成一個三位數(shù)要分三步進行:第一步確定百位上的數(shù)字，除0以外有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，因為數(shù)字可以重復(fù)，有6種選法；第三步確定個位上的數(shù)字，也有6種選法。根據(jù)乘法原理，可以組成三位數(shù)566180(個)。例4如下圖，A，B，C，D，E五個區(qū)域分別用紅、黃、藍、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏

4、色，共有多少種不同的染色方法？分析與解:將染色這一過程分為依次給A，B，C，D，E染色五步。先給A染色，因為有5種顏色，故有5種不同的染色方法；第2步給B染色，因不能與A同色，還剩下4種顏色可選擇，故有4種不同的染色方法；第3步給C染色，因為不能與A，B同色，故有3種不同的染色方法；第4步給D染色，因為不能與A，C同色，故有3種不同的染色方法；第5步給E染色，由于不能與A，C，D同色，故只有2種不同的染色方法。根據(jù)乘法原理，共有不同的染色方法54332360(種)。例5求360共有多少個不同的約數(shù)。分析與解:先將360分解質(zhì)因數(shù)，360222335，所以360的約數(shù)的質(zhì)因數(shù)必然在2，3，5之中

5、。為了確定360的所有不同的約數(shù)，我們分三步進行:第1步確定約數(shù)中含有2的個數(shù)，可能是0，1，2，3個，即有4種可能；第2步確定約數(shù)中含有3的個數(shù)，可能是0，1，2個，即有3種可能；第3步確定約數(shù)中含有5的個數(shù)，可能沒有，也可能有1個，即有2種可能。根據(jù)乘法原理，360的不同約數(shù)共有43224(個)。由例5得到:如果一個自然數(shù)N分解質(zhì)因數(shù)后的形式為其中P1，P2，Pl都是質(zhì)數(shù)，n1，n2，nl都是自然數(shù)，則N的所有約數(shù)的個數(shù)為:(n11)(n2+1)(nl1)。利用上面的公式，可以很容易地算出某個自然數(shù)的所有約數(shù)的個數(shù)。例如，110882432711，11088共有不同的約數(shù)(41)(2+1)(11)(11)60(個)。例6有10塊糖，每天至少吃一塊，吃完為止。問:共有多少種不同的吃法？分析與解:將10塊糖排成一排，糖與糖之間共有9個空。從頭開始，如果相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，那么就在其間畫一條線。下圖表示10塊糖分在五天吃:第一天吃2塊，第二天吃3塊，第三天吃1塊，第四天吃