數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用：微分方程方法.ppt

1、數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用,微分方程的一般理論,微分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,案例：戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,主要內(nèi)容,案例：SARS的傳播問題,第三章 微分方程方法,2,回顧歷史 15世紀(jì)航海業(yè)發(fā)達(dá)，哥倫布，麥哲倫時(shí)代，沒有指南針，促進(jìn)天文觀測(cè)不斷發(fā)展。 哥白尼長(zhǎng)期觀測(cè)的基礎(chǔ)上，提出圓軌道日心說。 1608年伽利略(Galileo)第一架望遠(yuǎn)鏡的制成，引起了人們對(duì)天文學(xué)研究的高潮,一、微分方程的一般理論,開普勒通過長(zhǎng)期觀察和計(jì)算得出三大定律,太陽系每一顆行星的軌道皆以太陽為一焦點(diǎn)的橢圓; 行星的向徑在單位時(shí)間掃過的面積是一個(gè)常數(shù)； 行星運(yùn)動(dòng)周期之平方與長(zhǎng)軸之立方成正比,一、微分方程的一般理論,17、18世

2、紀(jì)許多科學(xué)家致力于行星橢圓軌道的數(shù)學(xué)解釋。 胡克、惠更斯等人取得一些成果，但結(jié)果不理想,一、微分方程的一般理論,牛頓在研究變速運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)明了微積分； 認(rèn)為行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的背后一定有力學(xué)定律起作用 牛頓利用開普勒的觀測(cè)與微積分工具推廣得出萬有引力。 1687年編入自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理,牛頓當(dāng)時(shí)的推導(dǎo)過程是怎樣的,一、微分方程的一般理論,太陽系每一顆行星的軌道皆以太陽為一焦點(diǎn)的橢圓,一、微分方程的一般理論,行星的向徑在單位時(shí)間掃過的面積是一個(gè)常數(shù),r,一、微分方程的一般理論,行星運(yùn)動(dòng)周期之平方與平均距離之立方成正比,即使太陽系別的行星，也不改變,一、微分方程的一般理論,牛頓自己的結(jié)論：牛頓第二運(yùn)動(dòng)

3、定律,一、微分方程的一般理論,問題：行星運(yùn)動(dòng)過程中，力大小的規(guī)律是如何的,一、微分方程的一般理論,t 時(shí)刻行星的位置,一、微分方程的一般理論,t 時(shí)刻行星的速度,一、微分方程的一般理論,t 時(shí)刻行星的加速度,一、微分方程的一般理論,第二定律： 行星的向徑在單位時(shí)間掃過的面積是一個(gè)常數(shù),一、微分方程的一般理論,第一定律： 橢圓軌道方程,引力大小,引力方向,第三定律： 行星運(yùn)動(dòng)周期之平方與長(zhǎng)軸之立方成正比,一周掃過的面積,A：?jiǎn)挝粫r(shí)間掃過的面積,上述過程是已知軌道規(guī)律，得出萬有引力公式 如何研究月亮軌道？ 如何控制嫦娥號(hào),第三章 微分方程方法,一 .微分方程的一般理論,微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的

4、有力工具，有著廣泛和實(shí)際的應(yīng)用。 含有微分項(xiàng)的方程通稱為微分方程,24,一、微分方程的一般理論,1. 微分方程的一般形式,25,一、微分方程的一般理論,1. 微分方程的一般形式,26,一、微分方程的一般理論,1. 微分方程的一般形式,27,一、微分方程的一般理論,2. 微分方程解的存在唯一性,問題：正規(guī)方程組（2）的解在什么條件下存在，且唯一呢,28,一、微分方程的一般理論,2. 微分方程解的存在唯一性,29,一、微分方程的一般理論,3. 微分方程的穩(wěn)定性問題,微分方程所描述的是物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)際中，人們只能考慮影響該過程的主要因素，而忽略次要的因素，這種次要的因素稱為干擾因素。 干擾因

5、素在實(shí)際中可以瞬時(shí)地起作用，也可持續(xù)地起作用。 問題：在干擾因素客觀存在的情況下，即干擾因素引起初值條件或微分方程的微小變化，是否也只引起對(duì)應(yīng)解的微小變化,30,2021年1月8日,一、微分方程的一般理論,3. 微分方程的穩(wěn)定性問題,1）有限區(qū)間的穩(wěn)定性,2）無限區(qū)間的穩(wěn)定性,3）漸近穩(wěn)定性,4）經(jīng)常擾動(dòng)下的穩(wěn)定性,第三章 微分方程方法,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,實(shí)際中，對(duì)于很多問題的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某種理想狀態(tài)下的解，這種解稱為平衡點(diǎn),32,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,平衡點(diǎn)的概念,33,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,平衡點(diǎn)的概念,問題：如何來斷

6、別平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性呢,34,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,平衡點(diǎn)的概念,35,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,2. 一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,36,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,3.平面方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,37,二 .微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,3.平面方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性,微分方程案例,39,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,問題的提出,由于國(guó)與國(guó)之間和地區(qū)之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問題等原因造成了局部戰(zhàn)爭(zhēng)和地區(qū)性武裝沖突時(shí)有發(fā)生，有的長(zhǎng)期處于敵對(duì)狀態(tài)，必然會(huì)導(dǎo)致敵對(duì)雙方的軍備競(jìng)賽，軍事裝備現(xiàn)已成為決定戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)重要因素 軍事裝備: 軍事實(shí)力的總和，主要包括武器裝備、電子

7、信息裝備、軍事兵力、軍事費(fèi)用等,現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的特點(diǎn)是多兵種的協(xié)同作戰(zhàn)，根據(jù)不同兵種的特點(diǎn),在不同的區(qū)域參加戰(zhàn)斗，都對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響,40,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,問題的提出,現(xiàn)在要求建立數(shù)學(xué)模型討論的問題： (1) 分析研究引起軍備競(jìng)賽的因素，并就諸多因素之間的相互關(guān)系進(jìn)行討論； (2) 在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對(duì)作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢(shì)進(jìn)行評(píng)估分析. （3）分析研究作戰(zhàn)雙方的兵力消耗，并預(yù)測(cè)初始總兵力和戰(zhàn)斗力變化對(duì)作戰(zhàn)結(jié)果的影響,41,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,2. 模型的假設(shè),42,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,43,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解

8、,44,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,45,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,46,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,47,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,問題(2):在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對(duì)作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢(shì)進(jìn)行評(píng)估分析,48,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,49,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,蘭徹斯特多兵種作戰(zhàn)模型,50,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,3. 模型的建立與求解,小作業(yè) 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗

9、力,雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設(shè)沒有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率,a=ry py, ry 射擊率， py 命中率,平方律 模型,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型,雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn),甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率,c = ry py ry射擊率 py 命中率,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,線性律 模型,三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型,甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì),利用以上建立的微分方程，建立混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型，定量分析各變量對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的影響。 蘭徹斯特方程還可以用來描述什么樣的戰(zhàn)

10、爭(zhēng)形態(tài),三 .戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問題,57,SARS(嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱:非典型肺炎)是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病 SARS的爆發(fā)和蔓延給部分國(guó)家和地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了一定的影響，人們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性,四 .SARS的傳播問題,問題的提出,58,2021年1月8日,四 .SARS的傳播問題,問題的提出,請(qǐng)你對(duì)SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，要求說明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)，以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型，這樣做的困難在哪里？并對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì),59,

11、四 .SARS的傳播問題,2問題的分析,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型,背景 與 問題,傳染病的極大危害(艾滋病、SARS,基本方法,60,四 .SARS的傳播問題,3模型的建立與求解,已感染人數(shù) (病人) i(t,每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加,建模,四 .SARS的傳播問題,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為,2）每個(gè)

12、病人每天有效接觸人數(shù)為, 且使接觸的健康人致病,建模,日 接觸率,SI 模型,四 .SARS的傳播問題,模型2,tm傳染病高潮到來時(shí)刻,(日接觸率) tm,病人可以治愈,t=tm, di/dt 最大,模型3,傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染,增加假設(shè),SIS 模型,3）病人每天治愈的比例為,日治愈率,建模,日接觸率,1/ 感染期,一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù),四 .SARS的傳播問題,接觸數(shù) =1 閾值,感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,四 .SARS的傳播問題,模型4,傳染病有免疫性病人治

13、愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者,SIR模型,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率 , 日治愈率, 接觸數(shù) = /,建模,需建立 的兩個(gè)方程,四 .SARS的傳播問題,先做數(shù)值計(jì)算, 再在相平面上研究解析解性質(zhì),四 .SARS的傳播問題,SIR模型的數(shù)值解,i(t)從初值增長(zhǎng)到最大; t, i0,s(t)單調(diào)減; t, s0.04,設(shè)=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用MATLAB計(jì)算作圖i(t), s(t)及i(s,四 .SARS的傳播問題,模型4,SIR模型的相軌線分析,相軌線 的定義域,四 .SARS的傳播問題,在D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析,相軌線 及其分析,s(t)單調(diào)減相軌線的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)單調(diào)降至0,1/閾值,四 .SARS的傳播問題,(日接觸率) 衛(wèi)生水平,日治愈率) 醫(yī)療水平,傳染病不蔓延的