高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)北師大版平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示學(xué)案

1、名校名 推薦2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示【教目標(biāo)】1. 知識與技能(1).了解平面向量的基本定理及其意義；(2).理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量表示 ;(3).掌握平面向量正交分解。2. 過程與方法(1).初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；(2).能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底表達(dá)。3. 情感態(tài)度價值觀通過平面向量的正交分解，揭示圖形（向量）與代數(shù)（坐標(biāo)）之間的聯(lián)系。【教法指導(dǎo)】1教 重點(diǎn)平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解；2教 難點(diǎn)平面向量基本定理的運(yùn)用.【教 過程】情境引入1在

2、物理中我們知道 ,力是一個向量, 力的合成就是向量的加法運(yùn)算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中,會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？2. 問題 如圖，設(shè) e1 、 e2 是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量, a 是這一平面內(nèi)的任一向量, 我們通過作圖研究 a與 e1 、 e2 之間的關(guān)系 .探索新知1. 給 定 平 面 內(nèi)任 意 兩 個 不 共線 的 非 零 向量 e1 、 e2 ， 請 你作 出 向 量 b =3 e1 +2 e2 、1名校名 推薦c = e1 -2 e2 .e1e22. 由 1. 可知可以用平面內(nèi)任意兩個不共線的非零向量

3、e1 、 e2 表示向量 b , c 那么平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如12的向量表示呢 ?e1 + e2都可以3.平面向量基本定理如果 e1, e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量， 那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 a ，有且只有一對實(shí)數(shù)1 , 2 ，使 a1 e12 e2 。我們把不共線的向量e1, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。注意 1e1 、 e2必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；2這個定理也叫共面向量定理；312是被a ，e1 ， e2唯一確定的數(shù)量。 ，4. 思考 (1).若 a0或 a與 e1 (e2 )共線， 1,2 取何值？a 0時， 1 2 0；a與

4、e1共線時， 2 0；a與e2共線時， 1 0.(2).平面內(nèi)用 表示一個向量的基底有多少組？有無數(shù)組(3).若基底選取不同，則表示同一向量的實(shí)數(shù)1, 2 是否相同？可以相同 , 也可以不同5. 平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？平面中的任意兩個向量之間都存在夾角。向量的夾角與直線的夾角不一樣。已知兩個非零向量a 和 b (如圖 ),作 oa= a , ob = b ,則 aob= (0 叫做180向)量a 與 b的夾角 .2名校名 推薦注意（ 1）. 兩向量必須是同起點(diǎn)的。（2） . 當(dāng) =0時 ,a 與 b 同向 ;當(dāng) =180時 , a 與 b 反

5、向 .夾角范圍 00,1800。（ 3） .900 時，a與b垂直，記作 a b .6.思考（ 1）.對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量表示？可以(2).把任意一個向量用兩個互相垂直的向量表示會給解決問題帶哪些方便 ?可以與平面直角坐標(biāo)系、坐標(biāo)練習(xí)起。7.平面向量的正交分解定義把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解8. 平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個不共線向量i、 j 作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x， y 使得 axi+yj，則把有序數(shù)對（ i，j） ，叫做向量a 的坐標(biāo)記作a（

6、i，j），此式叫做向量的坐標(biāo)表示說明以原點(diǎn) o為起點(diǎn)作 oaa ，設(shè) oaxiy j ，則向量 oa 的坐標(biāo)（ x,y）就是向量終點(diǎn) a 的坐標(biāo)?！纠}講解】例 1 已知向量 e1 、 e2(如圖 ),求作向量 -2.5 e1 +3 e2思路點(diǎn)拔1怎樣作向量 -2.5 e1 、 3 e2 ？。 。 x。x。2向量加法應(yīng)用什么法則？解答過程cb解 作法 1取點(diǎn) o，作 oa= 2.5 e1ob =3 e22作oacb， oc 即為所求 nao例 2如圖， 用基底i , j 分別表示向量a,b,c,d,并求出它們的坐標(biāo)3名校名 推薦思路點(diǎn)拔向量 a,b,c,d用基底向量 i , j怎么表示 ?解答

7、過程【解析】 由圖可知 ,a= aa1 + aa2=xi+yj,a=(2,3).同理 ,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3). * * *x*x* 【課堂練習(xí)】1、若 e1，e2 是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中不能作為基底的是（）a.e1e2和e1e2； b.3e12e2 和8e212e1；c.e13e2 和e22e1；d.e2和e1e2；解答過程。 。2. 設(shè) e1， e2 是平面內(nèi)一組基向量，且a e1 2e2，b e1 e2，則向量 e1 e2 可以表示為另一組基向量a， b 的線性組合，即e1 e2 _. |

8、 | 解答過程【解析】因?yàn)?a e1 2e2， b e1 e2顯然 a 與 b 不共線a b得a b 3e2所以 e23代入 得ab1212ab21e1e2 b3 b 3a 3b故有 e1 e23a 3b3 3 3a3b。！課堂提高1. 下列關(guān)于基底的說法正確的是（）4名校名 推薦. 平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可以作為一組基底；. 基底中向量可以是零向量；. 平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解也是唯一確定的。a. b.c.d.【答案】 c.【解析】 基底必須為不共線的非零向量，所以 錯；根據(jù)平面向量基本定理知對 。故選 c.2.如圖，已知 e、 f 分別是矩形 abcd

9、的邊 bc 、cd 的中點(diǎn)， ef 與 ac 交于點(diǎn) g，若 ab a，ad b，用 a、b 表示 ag ()1111a 4a 4bb 3a3b3133c 4a4bd 4a4b【答案】d3在等邊三角形中，ab與bc 的夾角 =?！敬鸢浮?1200.【解析】ab與bc 的起點(diǎn)不同，其夾角為角b 的補(bǔ)角，等于 1200.4在 abc 中，點(diǎn) d 在邊 cb 的延長線上，且 cd 4bd rab sac，求 s r 的值【答案】83【解析】如圖所示，由題意，得4 cd 4bd ， cd cb。3 4 44 又 cb ab ac， cd(ab ac) ab ac .33348r s 3. s r 3.5名校名 推薦課堂小結(jié)1、平面向量基本定理、兩向量的夾角；2、對基本定理的理解(1) 基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(