第三講向量的數(shù)量積的概念及運算

1、第三講 平面向量的數(shù)量積一、知識點:1平面向量數(shù)量積的概念（1）與的數(shù)量積已知兩個非零向量和，它們的夾角設為，則 叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），即 = ，并規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為 。（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積 = 的長度|與 的乘積。（3）由向量數(shù)量積的定義知：，當、 為非零向量時， 的符號由夾角的余弦來確定；當時，；當時，；當與至少有一個為零向量或時，2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律（1）平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設、 都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則 當與同向時，；當與反向時， ；特別地， 或 （2）平面向量數(shù)量積的運算律（交換律） 3平面向量數(shù)量積的坐標表示（

2、1）若則 （2）設=（x，y）,則 （3）若向量的起點和終點坐標分別為，則 ，這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式（4）設非零向量 4向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向量，它的值為向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定。（2）當|0時，由不能推出一定是零向量。這是因為對任一與垂直的非零向量，都有（3）（4）一般地，這是由于和都是實數(shù)，而不一定共線。（5）對于實數(shù)、，有，但對于向量，有（6）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律可以證明：5（1）求兩非零向量，的夾角；利用（2）計算向量的長度或平面內(nèi)兩點A、B間的距離二、基礎(chǔ)練習1.已知向量與的夾角為，且，那么的

3、值為_; ;在上的投影是 ；2.在中，（1），則 （2）=90AC=4，則= ；（3）若，則 （4）P在平面ABC內(nèi)，若，則P是的 3若，與的夾角為，則在方向上的投影 = 4.向量,則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.= B. = C. D. 5.若是非零向量，且，則函數(shù)是( )（A）一次函數(shù)且是奇函數(shù) （B）一次函數(shù)但不是奇函數(shù) （C）二次函數(shù)且是偶函數(shù) （D）二次函數(shù)但不是偶函數(shù)6給出以下四個命題：若，則、若是兩個不共線的向量，且，則A、B、C共線若向量， 則的夾角為若向量滿足，則的夾角為以上命題中，錯誤命題的序號是 7.如圖，在ABC中，則= （ ）（A） （B） （C） （D）二、例題解析例

4、1 已知向量，其中，。求（1），；（2）例2已知=1，=，（）（+）=，求（1）與的夾角；（2）與+的夾角。例3.（1）已知，若，則實數(shù) （2）已知，的夾角為，則 ； （3）.已知，的夾角為45則（1）= （2）若= （4）. 已知,點C在內(nèi)，且.設，則等于（ ）A. B. 3C. D. （5）已知=為銳角，則的取值范圍是 （6）已知是平面內(nèi)的單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是 。（7）已知平面向量（1）a與b的夾角是 。（2）的值是 。例4已知=1，=，（）（+）=，求（1）與的夾角；（2）與+的夾角。例5若單位向量，的夾角為，又與的夾角為，分別就下列條件求實數(shù)的取值范圍 為銳角 為鈍角 例6已知向量m=(cos,sin)和n=(-sin,cos),2.(1)求|m+n|的最大值； （2）當|m+n|=時,求cos()的值.例7已知向量，且，求（1）；（2）若的最小值是，求的值練習：已知，且，求（1）；（2）設，求的最值及相應的的值例8已知向量之間滿足關(guān)系式：，其中0 (1)求將的數(shù)量積用表示的解析式（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，則說明理由；若能，則求出對應的值（3）求夾角的最大值例9已知向量，（1）若，求向量與的夾角（2）若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)