均值不等式和柯西不等式

1、武漢龍文教育學(xué)科輔導(dǎo)講義授課對(duì)象孫嘉鈺授課教師楊鵬授課時(shí)間5-5授課題目不等式（二）課 型復(fù)習(xí)使用教具講義、白紙教學(xué)目標(biāo)靈活的運(yùn)用均值不等式和柯西不等式求最值教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何用有效的方法去解決最值問(wèn)題參考教材網(wǎng)資教學(xué)流程及授課詳案1、 柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二維形式的柯西不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：2、均值不等式及使用條件：均值不等式，若，則（1）是正數(shù)；（2）和（）或（）為定值；（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。但有的題目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技

2、巧性轉(zhuǎn)化、變形，才能求得正確的最值。 二例題：1、 柯西不等式向量求最值 1、設(shè)，試求的最大值與最小值。答：根據(jù)柯西不等式時(shí)間分配及備注 即 而有 故的最大值為15，最小值為15。2、設(shè)，試求之最小值。答案：考慮以下兩組向量 = ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根據(jù)柯西不等式，就有 即 將代入其中，得 而有 故之最小值為4。3、設(shè)，求的最小值m，并求此時(shí)x、y、z之值。Ans：4 設(shè)x，y，z R，2x + 2y + z + 8 = 0，則(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值為解： 2x + 2y + z + 8 = 02(x - 1) + 2(

3、y + 2) + (z - 3) = - 9，考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 95設(shè)x, y, zR，若，則之最小值為_(kāi)，又此時(shí)_。解： 2x - 3(y - 1) + z =( )，考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：最小值6 設(shè)a，b，c均為正數(shù)且a + b + c = 9，則之最小值為解：考慮以下兩組向量 =

4、( , , ) ， =( , , ) ()(a + b + c)()9 (2 + 3 + 4)2 = 81 = 97、設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且，則之最小值為_(kāi)，此時(shí)_。解：考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) ，最小值為18 等號(hào)發(fā)生于 故 又 2、均值不等式幾種常見(jiàn)的方法一、湊正值例1 設(shè)x0，y0，且，求的最小值。2. 若a0，b0，且，求ab的最小值。3. 求的最大值。答案與提示：1. 由（定值），又知x1，y9，故當(dāng)且僅當(dāng)x1=y9=3，即x=4，y=12時(shí)，。2. 由，得3. ，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，。一、配湊1. 湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。2. 湊項(xiàng)例2.

5、已知，求函數(shù)的最大值。3. 分離例3. 求的值域。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。三、換元例5. 求函數(shù)的最大值。四、取平方例6. 求函數(shù)的最大值。練一練1. 若，求的最大值。2. 求函數(shù)的最小值。3. 求函數(shù)的最小值。4. 已知，且，求的最小值。5 設(shè)是滿足的正數(shù)，則的最大值是( )6若，且恒成立，則a的最小值是( )78 已知函數(shù)f(x)=,x1,+(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 (2)若對(duì)任意x1,+,f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍9已知，且，則的最大值為10設(shè)且，求的最大值11求的最小值。12、設(shè)x，y，z R且，求x + y + z之最大值，最小值。13、已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范圍.14、設(shè)a,b,c,x,y,z均為正實(shí)數(shù),且滿足a2+b2+c