立體幾何基本定理與公式

1、.立幾基本公式空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線共面沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任一平面內(nèi)2. 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）. （二面角的取值范圍） （直線與直線所成角） （斜線與平面成角） （直線與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直

2、角）相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.一、直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直. l 若，得（三垂線定理），得不出. 因?yàn)?，但不垂直O(jiān)A.l 三

3、垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.5. 垂線段和斜線段長定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線 段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上一

4、、 平面平行與平面垂直.1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.注：一平面間的任一直線平行于另一平面.3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）

5、注：如果兩個(gè)二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.五、 棱錐、棱柱.1. 棱柱.直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體.棱柱具有的性質(zhì)：棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊

6、互相平行的全等多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.（直棱柱定義）：棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.注：四棱柱的對角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和. 注：一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.注：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)

7、側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.3. 球：球的截面是一個(gè)圓面.球的表面積公式：. 球的體積公式：.圓錐體積：（為半徑，為高）錐形體積：（為底面積，為高） 六. 空間向量.1（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量， 的充要條件是存在

8、實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作.（4）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y使.空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡證：P、A、B、C 四點(diǎn)共面）注： 是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證.3. （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩點(diǎn)的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.利用法向量求二面角的