平差數(shù)學(xué)模型

1、第一節(jié) 概 述,1.幾何模型 在測量工作中，為了確定待定點的高程，需要建立水準(zhǔn)網(wǎng)，為了確定待定點的平面坐標(biāo)，需要建立平面控制網(wǎng)（包括測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)），我們常把這些網(wǎng)稱為幾何模型。 2.幾何量 每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準(zhǔn)網(wǎng)中包括點的高程、點間的高差，平面網(wǎng)中包含角度、邊長、邊的坐標(biāo)方位角以及點的二維或三維坐標(biāo)等元素。這些元素都被稱為幾何量。 3.函數(shù)模型 要確定一個幾何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關(guān)系式稱為函數(shù)模型,第一節(jié) 概 述,如圖三角形ABC中，為了確定

2、它的形狀，只需要知道其中任意兩個內(nèi)角的大小就可以了 要確定該三角形的大小和形狀，就必須知道三個不同的元素，即任意的一邊兩角、任意的兩邊一角或者是三邊。 要確定該三角形的大小、形狀和它在一個特定坐標(biāo)系中的位置和方向，則必須知道圖中15個元素中的6個不同的元素，至少要包含一個點的坐標(biāo)和一條邊的坐標(biāo)方位角，這是確定其位置和方向不可缺少的元素，通常稱其為外部配置元素，它們的改變只相當(dāng)于整個網(wǎng)在坐標(biāo)系中發(fā)生了平移和旋轉(zhuǎn)，并不影響該三角形的內(nèi)部形狀和大小。所以三角形中如果沒有已知點坐標(biāo)和已知方位角時，也可以假定一個點的坐標(biāo)和一條邊的方位角，這就相當(dāng)于將該三角形定位于某個局部坐標(biāo)系中，實際上只需要3個元素就

3、可以了。如果A、B兩點都是已知點，為確定三角形的大小、形狀、位置和方向，則只需要任意兩個元素就行了，如兩角、兩邊或一邊一角等,第一節(jié) 概 述,4.必要觀測個數(shù) 我們把能夠唯一地確定一個幾何模型所必要的元素，稱為必要觀測元素。必要觀測元素的個數(shù)用t表示，稱為必要觀測個數(shù) 一個幾何模型的必要觀測元素之間是不存在任何確定的函數(shù)關(guān)系的，即其中的任何一個必要觀測元素不可能表達(dá)為其余必要觀測元素的函數(shù)。這些彼此不存在函數(shù)關(guān)系的量稱為函數(shù)獨立量，簡稱獨立量。 5.多余觀測個數(shù) 假設(shè)對模型中的幾何量總共觀測n個， nt， r = n - t r稱為多余觀測個數(shù)，表示有r個多余觀測值，在統(tǒng)計學(xué)中也叫自由度,第一

4、節(jié) 概 述,6.條件方程 現(xiàn)在模型中有r個多余觀測量，因此，一定也存在著r個這樣的函數(shù)關(guān)系式。 每增加一個多余觀測，在它們中間就必然增加且只增加一個確定的函數(shù)關(guān)系式，有多少個多余觀測，就會增加多少個這樣的關(guān)系式。這種函數(shù)關(guān)系式，在測量平差中稱為條件方程,第一節(jié) 概 述,7.平差的概念 我們把按照某一準(zhǔn)則求得觀測值新的 一組最優(yōu)估值的計算過程叫平差,求改正數(shù)V,消除矛盾,產(chǎn)生矛盾,多余觀測,平差,V稱為觀測值的改正數(shù),觀測值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）來代替觀測值,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型,在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，通常對研究對象進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述它的某種特征或內(nèi)在的聯(lián)系，這種

5、數(shù)學(xué)關(guān)系式就稱為數(shù)學(xué)模型。 本節(jié)詳細(xì)介紹平差的隨機(jī)模型和常見的平差函數(shù)模型及其建立方法。 一、函數(shù)模型 函數(shù)模型是描述觀測量與待求量之間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型。下面簡述各種經(jīng)典平差方法的線性函數(shù)模型及其建立方法。 1. 條件平差 如果有n個觀測值 ，必要觀測個數(shù)為t，則應(yīng)列出r=n-t個條件方程 : 先看書上例子,或 令： 則： 上式即為條件平差的函數(shù)模型。以此模型為基礎(chǔ)的平差計算稱為條件平差法。 建模方法：找出觀測值真值之間應(yīng)該滿足的 r 個關(guān)系式,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型,一、函數(shù)模型 2. 附有參數(shù)的條件平差法 如果有n個觀測值 ，必要觀測個數(shù)為t，則應(yīng)列出r=n-t個條件方程?，F(xiàn)又增設(shè)

6、了u個獨立量作為未知參數(shù)，且0 ut,每增加一個參數(shù)應(yīng)增加一個條件方程，因此，共需列出c=r+u個條件方程，以含有參數(shù)的條件方程為平差函數(shù)模型的平差方法，稱為附有參數(shù)的條件平差法。 參見書中例子,一般而言，其一般形式為 如果條件方程是線性的，其形式為 將 代入上式，并令 則得 上式為附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型。建模方法：找出觀測值真值之間或觀測值與參數(shù)真值之間應(yīng)該滿足的 C 個關(guān)系式,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型,一、函數(shù)模型 3. 間接平差法 選擇幾何模型中t個獨立量為平差參數(shù) ，將每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出r+u=r+t=n個這種函數(shù)關(guān)系式，以此作為平差的函數(shù)模型的平差方法稱

7、為間接平差。（見例子,一般而言，如果某一平差問題中,觀測值個數(shù)為n，必要觀測個數(shù)為t，多余觀測個數(shù)為r=n-t，再增選u個獨立參數(shù)， u=t，則總共應(yīng)列出c=r+u=n個函數(shù)關(guān)系式，其一般形式為 或： 將 代入上式，并令 則： 上式就是間接平差的函數(shù)模型,建模方法： 將每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出r+u=r+t=n個這種函數(shù)關(guān)系式,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型,一、函數(shù)模型 4. 附有條件的間接平差法 如果在某平差問題中，選取ut個參數(shù)，其中包含t個獨立參數(shù)，則多選的s=u- t個參數(shù)必定是t個獨立參數(shù)的函數(shù)，即在u個參數(shù)之間存在著s個函數(shù)關(guān)系式。方程的總數(shù)c=r+u=r+t+s=n

8、+s個，建立模型時，除了列立n個觀測方程外，還要增加參數(shù)之間滿足的s個條件方程，以此作為平差函數(shù)模型的平差方法稱為附有條件的間接平差。 其函數(shù)模型的一般形式為,線性形式的函數(shù)模型為 因： 并令： 則上式可寫為： 這就是附有條件的間接平差的函數(shù)模型。其中第二式稱為限制條件方程,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型,一、函數(shù)模型 5. 附有條件的條件平差法（綜合平差模型） 附有條件的條件平差的基本思想是：對于一個平差問題，若增選了u個參數(shù)，不論ut，也不論參數(shù)是否獨立，每增加一個參數(shù)則肯定相應(yīng)地增加1個方程，故方程的總數(shù)為r+u個。如果在u個參數(shù)中有s個是不獨立的，或者說在這u個參數(shù)中存在著s個函數(shù)關(guān)系式，

9、則應(yīng)列出s個形如（2-2-20）的限制條件方程，除此之外再列出 c=r+u-s 一般條件方程，形成如下的函數(shù)模型,考慮到， 則： 這就是附有條件的條件平差的函數(shù)模型,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學(xué)模型,二、隨機(jī)模型 式中D為L的協(xié)方差陣，Q為L的協(xié)因數(shù)陣，P為L的權(quán)陣，為單位權(quán)方差。函數(shù)模型連同隨機(jī)模型，就稱為平差的數(shù)學(xué)模型。在進(jìn)行平差計算前，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須首先被確定，前者按上面介紹的方法建立，后者須知道P、Q、D其中之一。一般是按第一章介紹的方法進(jìn)行平差前經(jīng)驗定權(quán)?？梢酝ㄟ^平差計算求出其估值，然后根據(jù)公式求得D的估值,三、例題 見課本,第三節(jié) 函數(shù)模型的線性化,不同的平差問題，所列出的函數(shù)模

10、型有的是線性的，有的則是非線性的。在進(jìn)行平差時，必須利用臺勞級數(shù)將非線性方程線性化，轉(zhuǎn)化為線性方程。 為線性化方便，現(xiàn)取 的近似值 為 ， 則有 一、線性化的一般方法,第三節(jié) 函數(shù)模型的線性化,二、五種平差模型線性化后的形式 1.條件平差,2.附有參數(shù)的條件平差 可以看出，線性化后的平差模型與線性模型的形式是相同的,第三節(jié) 函數(shù)模型的線性化,二、五種平差模型線性化后的形式 3.間接平差法,4.附有條件的間接平差,第三節(jié) 函數(shù)模型的線性化,二、五種平差模型線性化后的形式 5.附有條件的條件平差,第四節(jié) 最小二乘原理 觀測值獨立但不等精度時： 觀測值同精度獨立時： 所謂極大似然估計，就是要在概率分布密度函數(shù)達(dá)到極大的條件下來對真誤差 進(jìn)行估計： 當(dāng)觀測