二項式定理典型例題解析

1、.二項式定理概念篇【例1】求二項式(a2b)4的展開式.分析：直接利用二項式定理展開.解：根據(jù)二項式定理得(a2b)4=Ca4+Ca3(2b)+Ca2(2b)2+Ca(2b)3+C(2b)4=a48a3b+24a2b232ab3+16b4.說明：運用二項式定理時要注意對號入座，本題易誤把2b中的符號“”忽略.【例2】展開(2x)5.分析一：直接用二項式定理展開式.解法一：(2x)5=C(2x)5+C(2x)4()+C(2x)3()2+C(2x)2()3+C (2x)()4+C()5=32x5120x2+.分析二：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.解法二：(2x)5=C(4x3)5+C(

2、4x3)4(3)+C(4x3)3(3)2+C(4x3)2(3)3+C(4x3)(3)4+C(3)5=(1024x153840x12+5760x94320x6+1620x3243)=32x5120x2+.說明：記準(zhǔn)、記熟二項式(a+b)n的展開式是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條件.對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.【例3】在(x)10的展開式中，x6的系數(shù)是 .解法一：根據(jù)二項式定理可知x6的系數(shù)是C.解法二：(x)10的展開式的通項是Tr+1=Cx10r()r.令10r=6，即r=4，由通項公式可知含x6項為第5項，即T4+1=Cx6()4=9Cx6.x6的系數(shù)為9C.上面的解法

3、一與解法二顯然不同，那么哪一個是正確的呢？問題要求的是求含x6這一項系數(shù)，而不是求含x6的二項式系數(shù)，所以應(yīng)是解法二正確.如果問題改為求含x6的二項式系數(shù)，解法一就正確了，也即是C.說明：要注意區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項的系數(shù)的差異.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關(guān)，與二項式無關(guān)，后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關(guān).【例4】已知二項式(3)10，(1)求其展開式第四項的二項式系數(shù)；(2)求其展開式第四項的系數(shù)；(3)求其第四項.分析：直接用二項式定理展開式.解：(3)10的展開式的通項是Tr+1=C(3)10r()r(r=0，1，10).(1)展開式的第

4、4項的二項式系數(shù)為C=120.(2)展開式的第4項的系數(shù)為C37()3=77760.(3)展開式的第4項為77760()7，即77760.說明：注意把(3)10寫成3+()10，從而湊成二項式定理的形式.【例5】求二項式(x2+)10的展開式中的常數(shù)項.分析：展開式中第r+1項為C(x2)10r()r，要使得它是常數(shù)項，必須使“x”的指數(shù)為零，依據(jù)是x0=1，x0.解：設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則Tr+1=C(x2)10r()r=Cx()r(r=0，1，10)，令20r=0，得r=8.T9=C()8=.第9項為常數(shù)項，其值為.說明：二項式的展開式的某一項為常數(shù)項，就是這項不含“變元”，一般采用令通

5、項Tr+1中的變元的指數(shù)為零的方法求得常數(shù)項.【例6】 (1)求(1+2x)7展開式中系數(shù)最大項；(2)求(12x)7展開式中系數(shù)最大項.分析：利用展開式的通項公式，可得系數(shù)的表達(dá)式，列出相鄰兩項系數(shù)之間關(guān)系的不等式，進而求出其最大值.解：(1)設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有即化簡得又0r7，r=5.系數(shù)最大項為T6=C25x5=672x5.(2)解：展開式中共有8項，系數(shù)最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得.又因(12x)7括號內(nèi)的兩項中后兩項系數(shù)的絕對值大于前項系數(shù)的絕對值，故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項系數(shù)的大小即可.=1，所以系數(shù)最大項為第五項，即T5=5

6、60x4.說明：本例中(1)的解法是求系數(shù)最大項的一般解法，(2)的解法是通過對展開式多項分析，使解題過程得到簡化，比較簡潔.【例7】 (1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.分析：根據(jù)已知條件可求出n，再根據(jù)n的奇偶性確定二項式系數(shù)最大的項.解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依題意有C25=C26，解得n=8. (1+2x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5=C(2x)4=1120x4.設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有5r6.r=5或r=6.系數(shù)最大的項為T6=1792x5，T7=1792x6.說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根

7、據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.應(yīng)用篇【例8】若nN*，(+1)n=an+bn(an、bnZ)，則bn的值()A.一定是奇數(shù)B.一定是偶數(shù)C.與bn的奇偶性相反D.與a有相同的奇偶性分析一：形如二項式定理可以展開后考查.解法一：由(+1)n=an+bn，知an+bn=(1+)n=C+C+C()2+C()3+ +C()n.bn=1+C()2+C()4+ bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可

8、以用特殊值法.解法二：nN*，取n=1時，(+1)1=(+1)，有b1=1為奇數(shù).取n=2時，(+1)2=2+5，有b2=5為奇數(shù).答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二項式展開.解：我們把x+y+z看成(x+y)+z，按二項式將其展開，共有11“項”，即(x+y+z)10=(x+y)10kzk.這時，由于“和”中各項z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式(x+y) 10k展開，不同的乘積C(x+y)10kzk(k=0，1，10)展開后，都不會出現(xiàn)同類項.下面，再分別考慮每一個乘積C(x+y

9、)10kzk(k=0，1，10).其中每一個乘積展開后的項數(shù)由(x+y)10k決定，而且各項中x和y的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項.故原式展開后的總項數(shù)為11+10+9+1=66.答案：D說明：化三項式為二項式是解決三項式問題的常用方法.【例10】求(x+2)3展開式中的常數(shù)項.分析：把原式變形為二項式定理標(biāo)準(zhǔn)形狀.解：(x+2)3=()6，展開式的通項是Tr+1=C()6r()r=(1)rC()62r.若Tr+1為常數(shù)項，則62r=0，r=3.展開式的第4項為常數(shù)項，即T4=C=20.說明：對某些不是二項式，但又可化為二項式的題目，可先化為二項式，再求解.【例11】求()9展開式中的有理項

10、.分析：展開式中的有理項，就是通項公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項.解：Tr+1=C(x)9r(x)r=(1)rCx.令Z，即4+Z，且r=0，1，2，9.r=3或r=9.當(dāng)r=3時，=4，T4=(1)3Cx4=84x4.當(dāng)r=9時，=3，T10=(1)9Cx3=x3.()9的展開式中的有理項是第4項84x4，第10項x3.說明：利用二項展開式的通項Tr+1可求展開式中某些特定項.【例12】若(3x1)7=a7x7+a6x6+ +a1x+a0，求(1)a1+a2+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求結(jié)果與各項系數(shù)有關(guān)可以考慮用“特殊值”法，整體解決.解：(1)令

11、x=0，則a0=1，令x=1，則a7+a6+ +a1+a0=27=128. a1+a2+a7=129.(2)令x=1，則a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(4)7. 由得：a1+a3+a5+a7=128(4)7=8256.(3)由得a0+a2+a4+a6=128+(4)7=8128.說明：(1)本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，對于多項式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，g(x)各項的系數(shù)和為g(1)，g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為g(1)+g(1)，g(x)的偶

12、數(shù)項的系數(shù)和為g(1)g(1).【例13】證明下列各式(1)1+2C+4C+ +2n1C+2nC=3n；(2)(C)2+(C)2+ +(C)2=C；(3)C+2C+3C+ +nC=n2n1.分析：(1)(2)與二項式定理的形式有相同之處可以用二項式定理，形如數(shù)列求和，因此可以研究它的通項尋求規(guī)律.證明：(1)在二項展開式(a+b)n=Can+Can1b+Can2b2+ +Cabn1+Cbn中，令a=1，b=2，得(1+2)n=1+2C+4C+ +2n1C+2nC，即1+2C+4C+ +2n1C+2nC=3n.(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，(1+Cx+Cx2+ +Cxr+ +x

13、n)(1+Cx+Cx2+ +Cxr+ +xn)=(1+x)2n.而C是(1+x)2n的展開式中xn的系數(shù)，由多項式的恒等定理，得CC+CC+ +CC+CC=C.C=C，0mn，(C)2+(C)2+ +(C)2=C.(3)證法一：令S=C+2C+3C+ +nC.令S=C+2C+ +(n1)C+nC=nC+(n1)C+ +2C+C=nC+(n1)C+ +2C+C.由+得2S=nC+nC+nC+ +nC=n(C+C+C+C+ +C)=n(C +C+C+C+ +C)=n2n.S=n2n1，即C+2C+3C+ +nC=n2n1.證法二：觀察通項：kC=k.原式=nC+nC+nC+nC+ +nC=n(C+

14、C+C+C+C)=n2n1，即C+2C+3C+ +nC=n2n1.說明：解法二中kC=nC可作為性質(zhì)記住.【例14】求1.9975精確到0.001的近似值.分析：準(zhǔn)確使用二項式定理應(yīng)把1.997拆成二項之和形式如1.997=20.003.解：1.9975=(20.003)5=25C240.003+C230.0032C220.0033+320.24+0.0007231.761.說明：利用二項式定理進行近似計算，關(guān)鍵是確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度.【例15】求證：51511能被7整除.分析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形式.證明：5151

15、1=(49+2)511=C4951+C49502+ +C49250+C2511，易知除C2511以外各項都能被7整除.又2511=(23)171=(7+1)171=C717+C716+ +C7+C1=7(C716+C715+C).顯然能被7整除，所以51511能被7整除.說明：利用二項式定量證明有關(guān)多項式(數(shù)值)的整除問題，關(guān)鍵是將所給多項式通過恒等變形變?yōu)槎検叫问?，使其展開后的各項均含有除式.創(chuàng)新篇【例16】已知(xlgx+1)n的展開式的最后三項系數(shù)之和為22，中間一項為20000.求x.分析：本題看似較繁，但只要按二項式定理準(zhǔn)確表達(dá)出來，不難求解！解：由已知C+C+C=22，即n2+n

16、42=0. 又nN*，n=6.T4為中間一項，T4=C (xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000. xlgx=10.兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g2x=1，lgx=1，x=10或x=.說明：當(dāng)題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關(guān)系時，常利用二項式通項公式，根據(jù)已知條件列出等式或不等式進行求解.【例17】設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，nN*)，若其展開式中關(guān)于x的一次項的系數(shù)和為11，問m，n為何值時，含x2項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)是關(guān)于x的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題.解：C+C=n+m=11. C +C=

17、(m2m+n2n)=，nN*，n=6或5，m=5或6時，x2項系數(shù)最小，最小值為25.說明：本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與組合的綜合題.【例18】若(x+2)n的展開式的常數(shù)項為20，求n.分析：題中x0，當(dāng)x0時，把三項式(x+2)n轉(zhuǎn)化為()2n；當(dāng)x0時，同理(x+2)n=(1)n()2n.然后寫出通項，令含x的冪指數(shù)為零，進而解出n.解：當(dāng)x0時，(x+2)n=()2n，其通項為Tr+1=C()2nr()r=(1)rC()2n2r.令2n2r=0，得n=r，展開式的常數(shù)項為(1)rC；當(dāng)x0時，(x+2)n=(1)n()2n.同理可得，展開式的常數(shù)項為(1)rC.無論哪一種情況，常數(shù)項均為(

18、1)rC.令(1)rC=20.以n=1，2，3，逐個代入，得n=3.說明：本題易忽略x0的情況.【例19】利用二項式定理證明()n1.分析：不易從二項展開式中得到，可以考慮其倒數(shù).證明：欲證()n1成立，只需證()n1成立.而()n1=(1+)n1=C+C+C()2+ +C()n1=1+C()2+ +C()n1.說明：本題目的證明過程中將()n1轉(zhuǎn)化為(1+)n1，然后利用二項式定理展開式是解決本問題的關(guān)鍵.【例20】求證：2(1+)n3(nN*).分析：(1+)n與二項式定理結(jié)構(gòu)相似，用二項式定理展開后分析.證明：當(dāng)n=1時，(1+)n=2.當(dāng)n2時，(1+)n=1+C+C+ +C()n=1

19、+1+C+ +C()n2.又C()k=，所以(1+)n2+ +2+ +=2+(1)+()+ +()=33.綜上有2(1+)n3.說明：在此不等式的證明中，利用二項式定理將二項式展開，再采用放縮法和其他有關(guān)知識，將不等式證明到底.【例21】求證：對于nN*，(1+)n(1+)n+1.分析：結(jié)構(gòu)都是二項式的形式，因此研究二項展開式的通項是常用方法.證明：(1+)n展開式的通項Tr+1=C=(1)(1)(1).(1+)n+1展開式的通項Tr+1=C=(1)(1)(1).由二項式展開式的通項可明顯地看出Tr+1Tr+1所以(1+)n(1+)n+1說明：本題的兩個二項式中的兩項均為正項，且有一項相同.證

20、明時，根據(jù)題設(shè)特點，采用比較通項大小的方法完成本題證明.【例22】設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，nN*，求證：an+cn2bn.分析：題中雖未出現(xiàn)二項式定理的形式，但可以根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用二項式定理.證明：設(shè)公差為d，則a=bd，c=b+d.an+cn2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=bnCbn1d+Cbn2d2+ +(1)ndn+bn+Cbn1d+Cbn2d2+ +dn=2(Cbn2d2+Cbn4d4)0.說明：由a、b、c成等差，公差為d，可得a=bd，c=b+d，這就給利用二項式定理證明此問題創(chuàng)造了可能性.問題即變?yōu)?bd)n+(b+d)n

21、2bn，然后用作差法改證(bd)n+(b+d)n2bn0.【例23】求(1+2x3x2)6的展開式中x5項的系數(shù).分析：先將1+2x3x2分解因式，把三項式化為兩個二項式的積，即(1+2x3x2)6=(1+3x)6(1x)6.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項x5的系數(shù)，問題可得到解決.解：原式=(1+3x)6(1x)6，其中(1+3x)6展開式之通項為Tk+1=C3kxk，(1x)6展開式之通項為Tr+1=C(x)r.原式=(1+3x)6(1x)6展開式的通項為CC(1)r3kxk+r.現(xiàn)要使k+r=5，又k0，1，2，3，4，5，6，r0，1，2，3，4，5，6，必須或故x5項系數(shù)為C30C(1)5+C31C(1)4+C32C(1)3+C33C(1)4+C34C (1)+C35C(1)0=168.說明：根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征靈活運用二項式定理是本題的關(guān)鍵.【例24】(2004年全國必修+選修1)()6展開式中的常數(shù)項為()A.15B.15C.20D.20解析：Tr+1=(1)rC()6rxr=(1)rCx，當(dāng)r=2時，3r=0，T3=(1)2C=15.答案：A【例25】 (2004年江蘇)(2x+)4的展開式中x3的系數(shù)是()A.6B.12C.24D.48解析：Tr+1=(1)rC()4r(2x)r=(1)r2rCx，當(dāng)r=2時，2