經(jīng)典MATLAB解方程與函數(shù)極值

1、MATLAB解方程與函數(shù)極值 1 線性方程組求解 2 非線性方程數(shù)值求解 3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 4 函數(shù)極值,7.1 線性方程組求解 7.1.1 直接解法 1利用左除運算符的直接解法 對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運算符“”求解： x=Ab,例7-1 用直接解法求解下列線性方程組。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab,2利用矩陣的分解求解線性方程組 矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Sch

2、ur分解、Hessenberg分解、奇異分解等,1) LU分解 矩陣的LU分解就是將一個矩陣表示為一個交換下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進行的。 MATLAB提供的lu函數(shù)用于對矩陣進行LU分解，其調(diào)用格式為： L,U=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。 L,U,P=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當然矩陣X同樣必須是方陣。 實現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U(Lb)或x=U(LPb)

3、，這樣可以大大提高運算速度,例7-2 用LU分解求解例7-1中的線性方程組。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; L,U=lu(A); x=U(Lb) 或采用LU分解的第2種格式，命令如下： L,U ,P=lu(A); x=U(LP*b,2) QR分解 對矩陣X進行QR分解，就是把X分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對矩陣進行QR分解，其調(diào)用格式為： Q,R=qr(X)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之滿足X=QR。 Q,R,E=q

4、r(X)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q、一個上三角矩陣R以及一個置換矩陣E，使之滿足XE=QR。 實現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R(Qb)或x=E(R(Qb,例7-3 用QR分解求解例7-1中的線性方程組。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; Q,R=qr(A); x=R(Qb) 或采用QR分解的第2種格式，命令如下： Q,R,E=qr(A); x=E*(R(Qb,3) Cholesky分解 如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下

5、三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=RR。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進行Cholesky分解，其調(diào)用格式為： R=chol(X)：產(chǎn)生一個上三角陣R，使RR=X。若X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息。 R,p=chol(X)：這個命令格式將不輸出出錯信息。當X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足RR=X(1:q,1:q)。 實現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成RRx=b，所以x=R(Rb,例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。 命令如下： A=2,1,-5,

6、1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; R=chol(A) ? Error using = chol Matrix must be positive definite 命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明A為非正定矩陣,7.1.2 迭代解法 迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。 1Jacobi迭代法 對于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii0(i=1,2,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A的對角元素

7、，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為： x=D-1(L+U)x+D-1b 與之對應(yīng)的迭代公式為： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 這就是Jacobi迭代公式。如果序列x(k+1)收斂于x，則x必是方程Ax=b的解,Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下： function y,n=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin=3 eps=1.0e-6; elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end,例7-5 用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。

8、在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下： A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10; b=9,7,6; x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6,2Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代過程中，計算時，已經(jīng)得到，不必再用，即原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到： x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會高些,Gauss-Serdel

9、迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m如下： function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps) if nargin=3 eps=1.0e-6; elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end,例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。 在命令中調(diào)用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如下： A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10; b=9,7,6; x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6,例7-7 分別用Jacobi迭代和Gaus

10、s-Serdel迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。 命令如下： a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1; b=9;7;6; x,n=jacobi(a,b,0;0;0) x,n=gauseidel(a,b,0;0;0,7.2 非線性方程數(shù)值求解 7.2.1 單變量非線性方程求解 在MATLAB中提供了一個fzero函數(shù)，可以用來求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為： z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點。一個函數(shù)可能有多個根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個根。tol控制結(jié)果的相對精度，缺省時取tol=ep

11、s，trace指定迭代信息是否在運算中顯示，為1時顯示，為0時不顯示，缺省時取trace=0,例7-8 求f(x)=x-10 x+2=0在x0=0.5附近的根。 步驟如下： (1) 建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 調(diào)用fzero函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.3758,7.2.2 非線性方程組的求解 對于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為： X=fsolve(fun,X0,option) 其中X為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)

12、文件名，X0是求根過程的初值，option為最優(yōu)化工具箱的選項設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了20多個選項，用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來。如果想改變其中某個選項，則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來完成。例如，Display選項決定函數(shù)調(diào)用時中間結(jié)果的顯示方式，其中off為不顯示，iter表示每步都顯示，final只顯示最終結(jié)果。optimset(Display,off)將設(shè)定Display選項為off,例7-9 求下列非線性方程組在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。 (1) 建立函數(shù)文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1

13、)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。 x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off) x = 0.6354 0.3734,將求得的解代回原方程，可以檢驗結(jié)果是否正確，命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可見得到了較高精度的結(jié)果,7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 7.3.1 龍格庫塔法簡介 7.3.2 龍格庫塔法的實現(xiàn) 基于龍格庫塔法，M

14、ATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0) 其中fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個列向量。tspan形式為t0,tf,表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。t和y分別給出時間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量,例7-10 設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較(精確解為y(t)=)。 (1) 建立函數(shù)文件funt.m。 function yp=funt(t,y) yp=(y2-t-2)/4/(t+1); (2) 求解微分方程。 t0=0;tf=10; y0

15、=2; t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解 y1=sqrt(t+1)+1; %求精確解 t y y1 y為數(shù)值解，y1為精確值，顯然兩者近似,例7-11 求解著名的Van der Pol方程。 例7-12 有Lorenz模型的狀態(tài)方程，試繪制系統(tǒng)相平面圖。 function dxdt=lorenzeq(t,X) x=X(1);y=X(2);z=X(3);%PARAMETERS SIGMA = 16;RHO = 45.92;BETA = 4; %Lorenz equation dxdt=SIGMA*(y-x); x*z+RHO*x-y; x*y-BETA*z,7.4 函數(shù)極值 MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fmin和fmins，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為： x=fmin(fname,x1,x2) x=fmins(fname,x0) 這兩個函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fmin函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點。fname是被最小化的目標函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fmins函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點，x