高等數學 預備知識 函數

1、第 0 章預備知識 函數新修訂的大綱中已刪去了函數這一章內容，就是說函數知識在考試中不作考核要求，即不會單獨出現有關函數概念及性質的試題，但因微積分學是以初等函數為研究對象，所以把函數做為預備知識，對于后面學好微積分學是十分必要的。復習考試要求1.理解函數的概念，會求函數的表達式、定義域及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，會作出簡單分段函數的圖像。2.理解函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性。3.了解函數與其反函數之間的關系（定義域、值域、圖像），會求單調函數的反函數。4.熟練掌握函數的四則運算與復合運算。5.掌握基本初等函數的性質及其圖像。6.了解初等函數的概念。7.會建立簡單實際問題的

2、函數關系式。主要知識內容一、函數的概念1.函數的定義（1）常量與變量常量：在觀察某種自然現象或技術過程中，保持不變的量，或者是取固定數值的量。常量一般用字母a,b,c表示。變量：在觀察某種自然現象或技術過程中，變化著的量，或者是取不同數值的量。變量一般用字母x,y,z,表示。（2）函數的定義 設在某個變化過程中有兩個變量x和y，變量y隨變量x而變化，如果變量x在非空實數集合d中取某一數值時，變量y依照某一對應規(guī)律f總有惟一確定的數值與之對應，則稱變量y為變量x的函數，記為y=f（x）（xd） 其中x叫自變量，y叫因變量或函數。例如，收益函數y=ax（其中a表示價格）勻速直線運動s=s0+vt總

3、成本函數（其中c0為固定成本，c1為單位可變成本）在上述函數的定義中，重要的是：三因素兩要素。定義域： 在數軸上使函數f有定義的自變量的取值范圍（變化區(qū)域）d，稱為函數的定義域。記為d（f）。對應規(guī)律： 自變量x在d上每取一數值時，函數y按照某一確定的規(guī)律f，有確定的數值與之對應。當自變量x取某一定值a時，函數y=f（x）的對應值記為f（a），有時也記為y|x=a。值域： 函數y的取值范圍，稱為函數的值域，記為z（f）。例1.函數的定義兩要素（1）下列各組函數中，兩個函數相同的是a.b. c.d. 【答疑編號11000101】答 b.（2）9501 下列各組函數中，兩個函數相等的是a.b. c

4、. d. 【答疑編號11000102】答 c。例2.求函數定義域（1）9401函數的定義域是a.（0，5 b.（1，5 c. （1，5） d. （0，+）【答疑編號11000103】答 b。（2）9701 函數的定義域是a.（-，1 b.4，+） c.（-，14，+） d. （-，1）（4，+）【答疑編號11000104】答 c。（3）0001 函數的定義域是a.（-1，+） b.-1，+） c.（1，+） d.1，+）【答疑編號11000105】答 c。例3.求函數值或進行函數式的變換（1）9611設f（x）=3x+5，則ff（x）-2=_?！敬鹨删幪?1000106】答 9x+14解：f(

5、x)-2=3x+5-2=3x+3ff(x)-2=3(3x+3) +5 =9x+14 （2）設，則_?！敬鹨删幪?1000107】答（3）設f（x2+1）=x4+3x2+2，則f（x）=_?！敬鹨删幪?1000108】答x2+x 2.函數的表示法常用的函數表示法有三種：解析法（公式法）、表格法、圖示法。（1）解析法 對自變量和常數施加四則運算、乘冪、指數運算、取對數、取三角函數等數學運算所得到的式子稱為解析表達式。用解析表達式表示一個函數就稱為函數的解析法，也叫公式法。（2）表格法 在實際應用中，常把自變量所取的值和對應的函數值列成表，用以表示函數關系，函數的這種表示法稱為表格法。（3）圖示法

6、設y=f（x）是一個給定的函數，定義域是d（f），由于自變量和函數都取實數值，因而我們可以在平面上取定一個直角坐標系oxy，用x軸上的點表示自變量的值，用y軸上的點表示函數值。于是，在d（f）內的每一個x及相應的函數值f（x）就確定了該平面直角坐標系中的一個點p（x,y），當x在d（f）內變動時，點p在坐標平面上移動，一般便得到平面上的一條曲線，這就是用圖示法表示函數。函數的三種表示法各有優(yōu)缺點，在具體應用時，常常是三種方法配合使用。3.函數的圖像用圖示法表示函數所得到的曲線，就稱為函數的圖像，用圖像表示函數，使我們有可能借助于幾何圖形，形象直觀地研究事物的運動變化過程，它對于理解高等數學中的

7、概念、方法和結論是十分重要的。描點法作圖，例如作函數y=x3的圖像。定義域（-,+），值域（-,+）x-2-1012y-8-1018二、顯函數、隱函數和分段函數（1）顯函數函數關系用解析式y(tǒng)=f（x）表示的稱為顯函數，如y=x2lgx，等。（2）隱函數由方程f（x,y）=0確定的函數關系y=f（x），稱為隱函數。（3）分段函數有時還要考察這樣的函數，對于其定義域內自變量x的不同值，函數不能用一個統(tǒng)一的公式表示，而是要用兩個或兩個以上的公式來表示。這類函數稱為“分段函數”。例如，分段函數當x0時，函數式為y=x+1；當x0時，用函數式y(tǒng)=x-1來表示，這個函數的定義域是（-，+）。關于分段函數要

8、注意以下幾點：1）分段函數是用幾個公式和起來表示一個函數，而不是表示幾個函數；2）因為函數式子是分段表示的，所以各段的定義域必須明確標出；3）對分段函數求函數值時，不同點的函數值應代入相應范圍的公式中去求；4）分段函數的定義域是各項定義域的并集。例4.分段函數（1）0106設，則f（0）=_?！敬鹨删幪?1000109】答 1。（2）0301設，則f（0）=_?！敬鹨删幪?1000110】答 -1。（3）設，則當x（-，+）時，ff（x）=_。【答疑編號11000111】答 1。當-1x1f（x）=1ff（x）=f（1）=1當x-1或x1f（x）=0ff（x）=f（0）=1當x（-,+）,ff

9、（x）=1三、函數的簡單性質1.函數的單調性定義 設函數y=f（x）在區(qū)間（a,b）內有定義，（1）如果對于（a,b）內的任意兩點x1和x2，當x1x2時，若恒有f（x1）f（x2），則稱函數f（x）在（a,b）內是單調增加的；恒有f（x1） f（x2），則稱函數f（x）在（a,b）內是嚴格單調增加的。（2）如果對于（a,b）內的任意兩點x1和x2，當x1x2時，若恒有f（x1）f（x2），則稱函數f（x）在（a,b）內是單調減少的；恒有f（x1） f（x2），則稱f（x）在（a,b）內是嚴格單調減少的。注意：單調增加或單調減少函數統(tǒng)稱為單調函數。單調性是對一個區(qū)間而不是對一個點來講的。單調函

10、數必須指出它的單調區(qū)間。例如函數y=x2在區(qū)間（0,+）內是單調增加的；在區(qū)間（-,0）內是單調減少的；而在區(qū)間（-,+）內不是單調的。2.函數的奇偶性定義如果對于函數y=f（x）定義域d中的任一點x恒有f（-x）=f（x）則稱f（x）為偶函數如果對于定義域d中的任一點x恒有f（-x）=-f（x）則稱f（x）為奇函數。偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。例如y=x2是偶函數，y=x是奇函數，y=sinx是奇函數；y=cosx是偶函數 3.函數的有界性定義設函數y=f（x）在區(qū)間（a,b）內有定義，如果存在一個正數m，使得對于（a,b）內的任意一點x，恒有|f（x）|m，則稱函數

11、f（x）在（a,b）內是有界的，否則，稱f（x）在（a,b）內是無界的。例如：函數y=sinx，在（-,+ ）內，恒有|sinx|1，所以函數y=sinx在其定義域內為有界函數。4.函數的周期性在自然界中，周而復始的現象叫做周期現象。定義對于函數y=f（x），如果存在一個常數t0，使得對于任意實數x，關系式f（x+t）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數，稱滿足這個等式的最小正數t為函數的最小正周期或簡稱為周期。例如y=sinx就是一個周期函數，最小正周期。對于函數y=sinx，最小正周期例5.函數的性質（1）0201函數f（x）=x3sinx是（a）奇函數（b）偶函數（c）有界函數（d）

12、周期函數【答疑編號11000112】答 b。（2）9702設f（x）為奇函數，且,則f（x）是（a）奇函數（b）偶函數（c）非奇非偶函數（d）既是奇函數，又是偶函數【答疑編號11000113】答 b。（3）在（0,+）內，下列函數中是無界函數的是（a）（b）（c）y=sinx（d）y=ln（1+x）【答疑編號11000114】答 d。四、反函數定義 設已知函數為y=f（x）（1）如果由此解出的（2）是一個函數，則稱為y=f（x）的反函數，記為x=f-1（y），并稱y=f（x）為直接函數。注意：習慣上常用x表示自變量，用y表示因變量，因此將x=f-1（y）中的y換為x，而將x換為y，記作y=f-

13、1（x）。定理如果函數y=f（x） ，d（f）=x，z（f）=y是嚴格單調增加（或減少）的，則它必定存在反函數并且也是嚴格單調增加（或減少）的。求反函數的步驟：第一步：從直接函數y=f（x）中解出，看它是否能成為函數；第二步：如果是函數，將字母x換成y，將字母y換成x得這就是y=f（x）的反函數。（1）直接函數y=f（x）與它的反函數y=f-1（x）的圖形，必定對稱于直線y=x（一般地，二者是不同的函數，其圖形是不同的曲線）；（2）直接函數y=f（x）與它的反函數x=f-1（y）是同一條曲線（二者是不同的函數，但是，它們的圖形是同一條曲線）。根據這個結論，當我們知道了直接函數y=f（x）的圖形

14、之后，就可利用對稱于直線y=x的性質畫出其反函數y=f-1（x）的圖形。例6.反函數（1）9402函數f（x）=2x-1的反函數f-1（x）等于（a）log2（x+1）（b）1+log2x（c）（d）2log2x【答疑編號11000201】答 b。（2）函數的值域是_。【答疑編號11000202】答（0，1）（1，+）（3）函數的反函數f-1（x）=_?！敬鹨删幪?1000203】答 五、基本初等函數1.常數函數y=c它的定義域是（-, +），圖形是一條平行于x軸的直線，顯然這是個偶函數。2.冪函數 它的定義域隨值的不同而不同，但不管值是多少，它在（0, +）內總是有定義的。當0時，它的圖形如

15、圖1，不論為何值，它的圖形都通過原點（0,0）和點（1,1），在 （0, +）內嚴格單調增加且無界。當0時，它的圖形如圖2，在（0, +）內嚴格單調減少且無界，曲線以x軸和y軸為漸近線，都通過點（1,1）。3.指數函數y=ax（a0，a1）它的定義域是（-, +），由于不論x為何值，總有ax0，且a0=1，所以它的圖形總是在x軸的上方，且通過點（0，1）。當a0時，函數嚴格單調增加且無界，曲線以x軸的負半軸為漸近線；當0a1時，函數嚴格單調減少且無界，曲線以x軸的正半軸為漸近線，如圖3 以無理數e=2.7182818為底的指數函數y=ex，是微積分中經常用到的。4.對數函數y=logax（a0

16、，a1） 它的定義域為（0, +），不論a為何值，對數曲線都通過點（1，0）。當a1時，函數嚴格單調增加且無界，曲線以y軸的負半軸為漸近線；當0a1時函數嚴格單調減少且無界，曲線以y軸的正半軸為漸近線，如圖4所示。以無理數e為底的對數函數y=logex叫自然對數函數，簡記作y=lnx。自然對數函數在微積分中是經常用到的。5.三角函數三角函數有以下六個：y=sinxy=cosxy=tanx y=cotxy=secxy=cscx 在微積分中，三角函數的自變量x一律以“弧度”為單位。例如x=1就表示x等于一個弧度（571744.8）。函數y=sinx的定義域為（-, +），是奇函數，且是周期等于2的

17、周期函數，其圖形如圖5所示。函數y=cosx的定義域為（-, +），是偶函數，且是周期等于2的周期函數，其圖形如圖6所示。因為|sinx|1，|cosx|1，所以它們都是有界函數。函數y=tanx的定義域是的一切實數。它是奇函數，且是周期為的周期函數，其圖形如圖7所示。函數y=cotx的定義域是的一切實數。它也是奇函數，且是周期為的周期函數，其圖形如圖8所示。6.反三角函數常見的反三角函數有以下四個：y=arcsinxy=arccosx y=arctanxy=arc cotx 它們是作為相應三角函數的反函數定義出來的，由于y=sinx，y=cosx在定義域內不單調，所以對于y=sinx，只考慮

18、，對于y=cosx，只考慮x0，使他們單調，并使其反函數存在。此時我們稱反正弦函數和反余弦函數取主值，即，它們的圖形分別為圖9和圖10中的實線部分。y=arcsinx和y=arccosx的定義域都是-1,1。同理，對于反正切函數y=arctanx，也取主值，即，它的定義域為（-，+），其圖形如圖11所示。六、復合函數與初等函數1.復合函數定義：設y是u的函數y=f（u），而u又是x的函數 ，又設x表示函數的定義域的一個子集，如果對于x上的每一個取值x所對應的u值，函數y=f（u）有定義，則y通過而成為x的函數，記為這個函數叫做由函數y=f（u）及復合而成的復合函數，它的定義域為x，其中x稱為自

19、變量，u稱為中間變量，y稱為因變量或函數。所以復合函數實際就是將中間變量代入后所構成的函數。注意：不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的。例如y=arcsinu及u=x2+2就不能復合成一個復合函數。因為對于u=x2+2的定義域 （-, +）內的任何值x所對應的u值（都大于或等于3）都不能使y=arcsinu有意義。復合函數不僅可以由一個中間變量，還可以有更多的中間變量，如u、v、w、t等，即可以經過多次復合得到一個函數。在求函數的導數時，往往要反過來考慮問題，即一個函數是有哪幾個基本初等函數（或簡單函數）復合而成的？例7.復合函數（1）0206 設f（x）=lnx,g（x）=e2x+1，則fg（x）=_。【答疑編號11000204】答 lne2x+1=2x+1。（2）0401設，則fg（x）=_。【答疑編號11000205】答。（3）9906 設y=3u,u=v2,v=tanx，則復合函數y=f（x）=_。【答疑編號11000206】答。（4）設f（x）的定義域是1,10