《等比數(shù)列》教案1(北師大版必修5)

1、等比數(shù)列的概念教學(xué)目標(biāo)1 理解等比數(shù)列的定義，并能以方程思想作指導(dǎo)，理解和運(yùn)用它的通項(xiàng)公 式.2逐步體會(huì)類比、歸納的的思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生概括、抽象思維等能力.3 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，促進(jìn)個(gè)性品質(zhì)的良好發(fā)展.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列概念的形成及通項(xiàng)公式的應(yīng)用.難點(diǎn)：對(duì)概念的深刻理解.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）引入新課師：前面我們已經(jīng)研究了一類特殊的數(shù)列一一等差數(shù)列，今天我們一起研究 第二類新的數(shù)列一一等比數(shù)列.（板書(shū)）三 等比數(shù)列（二）講解新課師：等比數(shù)列與等差數(shù)列在名字上非常類似，只有一字之差，一個(gè)是差，一 個(gè)是比，你能否仿照等差數(shù)列，舉例說(shuō)明你對(duì)等比數(shù)列的理解.（要求學(xué)生能主動(dòng)利用類比思想

2、，通過(guò)具體例子說(shuō)明對(duì)概念的理解）生：數(shù)列1, 3，9, 27,師：你為什么認(rèn)為它是等比數(shù)列呢？生：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比都是相等的，所以是等比數(shù)列.（先引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述等比數(shù)列的特征， 但暫時(shí)不作評(píng)論，以防限 制其他學(xué)生的思維）師：這是你對(duì)等比數(shù)列的理解，不過(guò)這個(gè)例子中的項(xiàng)是一項(xiàng)比一項(xiàng)大， 能否 再舉一個(gè)一項(xiàng)比一項(xiàng)小的.生H數(shù)列1, -f -師：你對(duì)等比數(shù)列的理解呢？生：數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù).師：他們對(duì)等比數(shù)列理解基本相同的，能否再換個(gè)樣子，舉一個(gè)例子.（若理解沒(méi)有什么變化，就不必讓學(xué)生再重復(fù)了）師：下面再舉例子又增加點(diǎn)要求，既然要去研究它，說(shuō)明它一定有實(shí)際應(yīng)用 價(jià)

3、值，那么能否再舉一個(gè)生活中的等比數(shù)列例子.生：如生物學(xué)中細(xì)胞分裂問(wèn)題：1個(gè)細(xì)胞經(jīng)過(guò)一次分裂變?yōu)?個(gè)細(xì)胞，這兩 個(gè)細(xì)胞再繼續(xù)分裂成為4個(gè)細(xì)胞這樣分裂繼續(xù)下去，細(xì)胞個(gè)數(shù)從 1到2到4 到8,把每次分裂后所得細(xì)胞個(gè)數(shù)排列好可形成一個(gè)數(shù)列1, 2, 4, 8, 16,這個(gè)數(shù)列就是等比數(shù)列.師：這個(gè)例子舉得很好，不僅能夠發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 還能把數(shù)學(xué)知識(shí) 應(yīng)用在其它學(xué)科，其實(shí)等比數(shù)列的應(yīng)用是非常廣泛的，說(shuō)明它確有很高的研究?jī)r(jià) 值.說(shuō)了這么多，也發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，能否試著給等比數(shù)列下個(gè)定義呢？ 生：如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.師：作為定義這種敘述還有

4、一點(diǎn)不足， 為保證這樣比都作得出來(lái)，這每一項(xiàng) 應(yīng)從數(shù)列的第二項(xiàng)起，否則第一項(xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng)，也就做不出這個(gè)比，調(diào)整之后， 再找一位同學(xué)準(zhǔn)確描述一下等比數(shù)列.生：如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于一個(gè)常數(shù)，那 么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.師：好，就把它作為等比數(shù)列的定義記錄下來(lái).（板書(shū)）1.定義 如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是 同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比，記作q.（教師在敘述的同時(shí)，再?gòu)?qiáng)調(diào)為突出所做出的比都相等，應(yīng)寫(xiě)為同一個(gè)常數(shù) 更準(zhǔn)確）師：記住這句話并不難，關(guān)鍵是如何理解它，并利用它解決問(wèn)題，先回到剛 才幾個(gè)例子看它們是否是等比數(shù)列，如果是，

5、公比是多少？生這幾個(gè)數(shù)列都是等比爛，它們的公比分別為玉t卡和2師：好，公比會(huì)找了，再來(lái)看這樣一件事，等比數(shù)列從定義上與等差數(shù)列有 很多密切關(guān)系使我們想到，有沒(méi)有這樣的數(shù)列，它既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列 呢？生：有，如數(shù)列1, 1, 1, 1,是一個(gè)以0為公差的等差數(shù)列，也是以1 為公比的等比數(shù)列.師；除了這個(gè)數(shù)列以外，還能再舉一個(gè)嗎？生；數(shù)列$是公差為。的等差數(shù)列也是公比為啲等比數(shù)列.師：他們舉的例子都是對(duì)的，而且從例子中數(shù)列的特征，使我們聯(lián)想到，形 如a，a，a，-（ a R）的數(shù)列好像都滿足既是等差又是等比數(shù)列，是這樣嗎？（可讓學(xué)生作短暫的討論，再找學(xué)生回答）生：形如a，a，a，這樣的數(shù)列一

6、定是等差數(shù)列（這一點(diǎn)可以由等差數(shù)列 的定義加以證明）但它未必是等比數(shù)列.師：能具體解釋一下嗎？生：當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列每一項(xiàng)均為零，都不能作比，因此不是等比數(shù)列，a0時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列.師：這個(gè)回答非常準(zhǔn)確，通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究，對(duì)于我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等比 數(shù)列有什么幫助嗎？從中得到什么啟示嗎？生：等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都不能為零， 因?yàn)樵诙x中，數(shù)列中每一項(xiàng)都要做 分母，所以均不能為零.師：這一點(diǎn)實(shí)際上是隱含在定義的敘述之中的， 從另一個(gè)角度上講，數(shù)列各 項(xiàng)均不為零是這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列的什么條件呢？生：是必要非充分條件.師：這是我們對(duì)等比數(shù)列進(jìn)一步理解得到第一點(diǎn)共識(shí).（板書(shū)）2 對(duì)定義的理解（1）“

7、anM 0”是數(shù)列 an成等比數(shù)列的必要非充分條件.師：這一點(diǎn)是對(duì)等比數(shù)列的項(xiàng)的特殊要求，這與等差數(shù)列也是不同的.下面從另外一個(gè)角度研究一下定義，數(shù)學(xué)定義一般都是用文字語(yǔ)言敘述表達(dá) 的，但是在使用時(shí)往往需要符號(hào)化，因此下面試用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述它？生*這樣的比有很多.師：這種描述過(guò)于具體，能否用簡(jiǎn)單的一個(gè)式子來(lái)概括這么多個(gè)比的等.生用嚴(yán)山肌，q是常數(shù)）師：由于n可取任意自然數(shù)，故an+i可表示數(shù)列中每一項(xiàng)，an可表示相應(yīng) 的前一項(xiàng)，因此這一個(gè)比可以代表無(wú)數(shù)多個(gè)比的相等， 所以這個(gè)式子與定義是等 價(jià)的.（板書(shū)是等比數(shù)列。?。ㄐ模琿為常數(shù)）.師：這個(gè)比式也可作為我們判斷一個(gè)數(shù)列 an 是否是等比數(shù)

8、列的依據(jù)這 樣我們就完成了對(duì)等比數(shù)列的定義的研究、回顧一下研究過(guò)程.主要做了這樣兩 件事：一是利用類比方法得到了等比數(shù)列的定義； 二是得用抽象概括將定義翻譯 為符號(hào)語(yǔ)言，并能利用它證明一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列.下面要進(jìn)一步研究等比數(shù)列，必須先搞清怎么表示一個(gè)等比數(shù)列， 要表示數(shù) 列，需先確定這個(gè)數(shù)列，確定一個(gè)等比數(shù)列幾個(gè)條件呢？生：兩個(gè)條件.師：哪兩個(gè)條件？生：可以是首項(xiàng)和公比師：如果等比數(shù)列 個(gè)等比數(shù)列呢？an,首項(xiàng)為ai,公比為q,你會(huì)用什么方法來(lái)表示這生：可以表示為ai, a2, a3, a4這是常用的列舉法師：剛才舉例時(shí)用的就是這種表示方法，除此之外，還有其它表示法嗎?生；己知的，且 =

9、 q(nNj這是遞推表示法.3.師：這兩種表示法各有所長(zhǎng)，但使用最方便的還是通項(xiàng)公式法. 即如果已知 an是等比數(shù)列，首項(xiàng)是ai,公比是q,如何用n的解析式表示數(shù)列中的第n 項(xiàng)呢？(板書(shū))3 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1) 已知等比數(shù)列 an,首項(xiàng)為ai,公比為q,則an=?生：an=aiqn-i (n M).師：你是怎么得到的.生：根據(jù)已知條件，數(shù)列可以寫(xiě)成 ai, aiq, aiq2, a,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 歸納出第n次an=ai qn-i.師：歸納的結(jié)論是正確的，且用的方法，調(diào)動(dòng)的知識(shí)都非常好，尋找通項(xiàng)即 尋找項(xiàng)的一般規(guī)律，先看特殊項(xiàng)，寫(xiě)出幾項(xiàng)，再歸納出一般結(jié)論.這種方法是不 完全歸納法，因此這

10、個(gè)結(jié)論的正確性是需要證明的(請(qǐng)同學(xué)們課下完成).(板書(shū))an=aiqn-i (n N-).(2) 對(duì)公式的認(rèn)識(shí)與理解師：對(duì)于這個(gè)通項(xiàng)公式，可以從幾個(gè)方面去認(rèn)識(shí)它呢？(這不是第一次遇到這類公式，學(xué)生應(yīng)知道從什么角度去認(rèn)識(shí)公式)生：可以從函數(shù)觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)，把通項(xiàng)公式看作關(guān)于n的解析式.師：與什么函數(shù)的解析式相類似.生：指數(shù)函數(shù).師：它類似于指數(shù)函數(shù)解析式，說(shuō)明它在某些方面可能與指數(shù)函數(shù)有聯(lián)系.生：還可以把它看作一個(gè)方程，用方程思想來(lái)求解其中的量.師：方程中有四個(gè)量，知三求一是最簡(jiǎn)單的公式應(yīng)用，不過(guò)當(dāng)已知 ai, q和 an,求n時(shí)，此時(shí)的方程是個(gè)指數(shù)方程，求解時(shí)需多加注意如 an是等比數(shù) 列，首項(xiàng)是

11、2,公比是2,那么256是數(shù)列中第幾項(xiàng)？生：因?yàn)?an=aiqn-1，貝U an=2 2n-1=2n.又 an=256,得 256=2n.解得 n=8.師：其它的例子不再舉了但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一個(gè) 方程就不能解決了，需要方程組才能解決.這也就是通項(xiàng)公式的不同層次的應(yīng)用 了，下面一起看這樣一個(gè)題目.（板書(shū)）例1 一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)是2,第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的和是12,求 它的第八項(xiàng)的值.師：拿到這個(gè)題目，你打算怎樣設(shè)計(jì)你的求解方案， 或者說(shuō)對(duì)這個(gè)題目有什 么想法.生：想求出首項(xiàng)和公比.師：為什么要求出它們呢?生：有了首項(xiàng)和公比，就有了通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列中任何一項(xiàng).師：好，這

12、就是計(jì)算中要抓基本量的思想. 首項(xiàng)和公比就是等比數(shù)列的兩個(gè) 基本量.下面我們具體開(kāi)始解，大家共同完成這個(gè)題目的求解.二厶ajqa（1 十Q = 12.生：設(shè)等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為ai,公比為q.由已知得整理為師：怎么解這個(gè)方程組呢？生：*得q+q2=6.解得q=-3或q=2.代入得生砌=引=C -3）=1 458ae =1 27 = 128.師：最后結(jié)果是正確的，但在具體求解過(guò)程中還有值得改進(jìn)的地方.此題要求的是a8，即aiq7=aiq - q6=2q6.故只要把q求出即可求出a8的值.這 樣在解方程組時(shí)就不必求出ai,從而使運(yùn)算過(guò)程得以簡(jiǎn)化.（板書(shū)）解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為 ai,公比為q.則

13、由已知得如汕整理得護(hù)巴眄q十日f(shuō) =12, |arq2 Q + q） = 12.*得 q2+q=6.解得 q=-3 或 q=2.則 a8=aiq7=a1q - q6=2 -q6=2 - （-3） 6=1458 或a8=2q6=2 - 26=27=128.故數(shù)列第八項(xiàng)是1458或128.師：通過(guò)這個(gè)小題的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這類型題目主要是方程思想的應(yīng)用.應(yīng)用過(guò)程中主要是三個(gè)基本步驟：設(shè)、列、求，通過(guò)剛才的實(shí)踐，你們覺(jué)得在這三步上 應(yīng)該注意什么呢？生：設(shè)未知數(shù)應(yīng)注意設(shè)等比數(shù)列的基本量首項(xiàng)和公比.在解方程組時(shí)，通常會(huì)用到乘除消元的方法.師：總結(jié)得不錯(cuò)，在注意以上幾點(diǎn)的同時(shí)，還應(yīng)注意利用分析綜合法尋求已 知和

14、所求之間的聯(lián)系，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.下面我們一起看例2.（板書(shū)）例2 在各項(xiàng)為負(fù)的數(shù)列 an中，如果2an=3an+i，且衍 a嚴(yán)爲(wèi)，試問(wèn)-是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎7如果是.指明是第幾2 / 1項(xiàng)，如果不是說(shuō)明理由.（此題先讓學(xué)生講明思路，根據(jù)時(shí)間完成主要內(nèi)容即可）師：這個(gè)題目應(yīng)從哪里入手解決呢？生：應(yīng)先判斷這個(gè)數(shù)列是否是等比或等差數(shù)列.師：為什么要做這件事呢？就可以判斷某個(gè)生：因?yàn)橹懒耸鞘裁礃拥臄?shù)列，就可以找出其通項(xiàng)公式, 數(shù)是否是數(shù)列中的項(xiàng).師：如果判斷它是否是等差或等比數(shù)列呢?生 利用2備=兀十 可變形為坐： 可以判斷出這是個(gè)等比 數(shù)列.且公比為芻師：好，這種思路是可行的，除此之外還有其他

15、思路嗎？生：可以利用 2an=3am （n 2）找到 2ai=3a2, 2a2=3&,c2盹=3補(bǔ) 可臥找到屯和冷間的另一系.再結(jié)合勺町二善，可以 求出的（或心，再看與-尋有什么關(guān)系，再作判斷.師：這種方法把一般關(guān)系具體化，有一定可取之處，但有一定的偶然性，因 此兩種思路比較而言，另一種方案更具一般性.下面請(qǐng)同學(xué)把這種方案具體實(shí)施一下.生因2%則丑（讓一個(gè)學(xué)生就說(shuō)一個(gè)重要環(huán)節(jié)，并及時(shí)指出表述上的問(wèn)題）師：這兩步是等價(jià)的嗎？生：不等價(jià)，應(yīng)保證anM0才等價(jià).師：題目中能保證an工0嗎？生：根據(jù)條件“各項(xiàng)均為負(fù)”可以保證 an工0.師：在表述上應(yīng)怎樣調(diào)整呢？生；因?yàn)榧~=瓦屮 且an0,貝IJ -I

16、所以是等比 耳 3數(shù)列且公比q = Wa?-q5 = -2又辺工0,則at -（提醒學(xué)生，開(kāi)方時(shí)必須指明aiv 0,才能保證只有一解）2V-1,得礦則4“2,即n = 6.因此書(shū)是數(shù)列牯中的第六項(xiàng)0 1師：在這個(gè)題目求解過(guò)程中注意這樣幾點(diǎn)：（1）判斷數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，將條件變形為比的形式，注意變形的等價(jià)性;（2）判斷某個(gè)數(shù)是否是數(shù)列中的項(xiàng)，只需將該數(shù)代入通項(xiàng)公式，并解此方 程，看是否有正整數(shù)解.（四）小結(jié)師：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一個(gè)重要概念等比數(shù)列和一個(gè)重要的公式等比數(shù)列的 通項(xiàng)公式.（1）對(duì)于這個(gè)概念要注意與等差數(shù)列的類比中把握它們的區(qū)別與聯(lián)系.（2）對(duì)于通項(xiàng)公式除了記住內(nèi)容，了解推導(dǎo)之外，關(guān)鍵是能用方程觀點(diǎn)去 認(rèn)識(shí)，并應(yīng)用它解決有關(guān)問(wèn)題.（五）布置作業(yè)課本習(xí)題（略）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后介紹的，因此它的數(shù)學(xué)方法不能簡(jiǎn)單地重復(fù)等差 數(shù)列應(yīng)當(dāng)既（體現(xiàn)）出兩者的聯(lián)系，又有所變化且有所提高因此在教學(xué)方法 上突出了類比思想的使用，教師為學(xué)生創(chuàng)造好使用的條件，引導(dǎo)學(xué)生自己研究相 關(guān)內(nèi)容