基本不等式專題 ---完整版(非常全面)

1、.基本不等式專題輔導.一、知識點總結1、基本不等式原始形式（1）若，則 （2）若，則2、基本不等式一般形式（均值不等式）若，則3、基本不等式的兩個重要變形（1）若，則（2）若，則總結：當兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值； 當兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當且僅當時取“=”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結論（1）若，則 (當且僅當時取“=”）（2）若，則 (當且僅當時取“=”）（3）若，則 (當且僅當時取“=”）（4）若，則（5）若，則特別說明：以上不等式中，當且僅當時取“=”6、柯西不等式 （1）若，則（2）若，則有：（3）設是兩組實數(shù)

2、，則有二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式1、設均為正數(shù)，證明不等式:2、已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：3、已知，求證：4、 已知，且，求證：5、 已知，且，求證：6、（2013年新課標卷數(shù)學（理）選修45：不等式選講設均為正數(shù),且,證明:(); ().7、（2013年江蘇卷（數(shù)學）選修45：不等式選講已知，求證:題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域（1） （2）（3） （4）題型三：利用不等式求最值 （一）（湊項） 1、已知，求函數(shù)的最小值；變式1：已知，求函數(shù)的最小值；變式2：已知，求函數(shù)的最大值；練習：1、已知，求函數(shù)的最小值； 2、已知，求函數(shù)的最大值；題型四：利用

3、不等式求最值 （二）（湊系數(shù)）1、當時，求的最大值；變式1：當時，求的最大值；變式2：設，求函數(shù)的最大值。2、若，求的最大值；變式：若，求的最大值；3、求函數(shù)的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）變式：求函數(shù)的最大值；題型五：巧用“1”的代換求最值問題1、已知，求的最小值；法一：法二：變式1：已知，求的最小值；變式2：已知，求的最小值；變式3：已知，且，求的最小值。變式4：已知，且，求的最小值；變式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；變式6：已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項，使得，求的最小值；題型六：分離換元法求最值（了解）1、求函數(shù)的值域；變式：求函數(shù)的值域；2、求函數(shù)

4、的最大值；（提示：換元法）變式：求函數(shù)的最大值；題型七：基本不等式的綜合應用1、已知，求的最小值2、（2009天津）已知，求的最小值；變式1：（2010四川）如果，求關于的表達式的最小值；變式2：（2012湖北武漢診斷）已知，當時，函數(shù)的圖像恒過定點，若點在直線上，求的最小值；3、已知，求最小值；變式1：已知，滿足，求范圍；變式2：（2010山東）已知，求最大值；（提示：通分或三角換元）變式3：（2011浙江）已知，求最大值；4、（2013年山東（理）設正實數(shù)滿足,則當取得最大值時,的最大值為（ ）（）A B C D（提示：代入換元,利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式：設是正數(shù)，滿足，求的最小

5、值；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1、（2012沈陽檢測）已知，且恒成立，求正實數(shù)的最小值；2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）變式：已知滿則，若恒成立，求的取值范圍；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式 若，則2、二維形式的柯西不等式的變式3、二維形式的柯西不等式的向量形式4、三維柯西不等式若，則有：5、一般維柯西不等式設是兩組實數(shù)，則有:題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設，若，則的最小值為時， 析： 最小值為此時 ，2、設，求的最小值，并求此時之值。：3、設，求之最小值為 ，此時 （析：）4、（2013年湖南卷（理）已知則的最小值是 ()5、（2013年湖北卷（理