控制工程基礎(chǔ)：第四章 控制系統(tǒng)的頻域分析

1、本章主要內(nèi)容,4.1 頻率特性的基本概念 4.2 典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)頻率特性圖的繪制方法 4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖 4.4 穩(wěn)定性的頻域分析方法 4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),重點 系統(tǒng)開環(huán)博德圖的繪制。 難點 系統(tǒng)開環(huán)尼奎斯特圖的繪制、幅值穿越頻率和相位穿越頻率的求取。,第四章：控制系統(tǒng)的頻域分析,高階系統(tǒng)的分析難以進行；,難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)性能的影響；,當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。,引言：時域分析的優(yōu)點和局限,優(yōu)點,利用微分方程求解系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況比較直觀、準(zhǔn)確、易于理解。,缺點,一、 頻率響應(yīng)的概念,設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：G(s

2、),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出分量可寫成：,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,線性穩(wěn)定系統(tǒng),xi=Aisint,xo=Ao()sint+(),當(dāng)正弦信號作用于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率的正弦信號，這種過程稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 即：穩(wěn)定的線性系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。,頻率響應(yīng)的定義：,舉例：RC濾波網(wǎng)絡(luò),4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,系統(tǒng)輸出為：,傳遞函數(shù),4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,頻率響應(yīng)的特點,穩(wěn)態(tài)輸出的幅值為輸入幅值的一個相應(yīng)的倍數(shù)；,相位比輸入相位滯后一個角度。,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相比，都是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值不同，相位不同。,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：,線性

3、穩(wěn)定系統(tǒng)在正弦信號作用下，當(dāng)頻率從零變化到無窮時，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比、相位差隨頻率變化的特性，稱為頻率特性。,二、 頻率特性的定義,幅值比,頻率特性定義:,相位差,幅頻特性、相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性,對于上例，,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號與相應(yīng)的正弦輸人信號的幅值之比隨輸入頻率的變比而變化的特性稱為幅頻特性，它描述了系統(tǒng)對輸入信號幅值的放大、衰減特性。,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號與相應(yīng)的正弦輸入信號的相位之差隨輸入頻率的變化而變化的特性稱為相頻特性，它描述了系統(tǒng)輸出信號相位對輸入信號相位的超前、遲后特性。,幅頻特性,相頻特性,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,2. 直接從傳遞函數(shù)求

4、取,1 .根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，輸入正弦信號，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量的復(fù)數(shù)之比（幅值比、相位差）。,三、 頻率特性的求取方法,3. 實驗法,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性, 頻率特性的求取舉例,對于正弦輸入xi(t)=Aisint，根據(jù)頻率特性的定義：,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,解：求頻率特性,例2：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,頻率特性表達(dá)式,求穩(wěn)態(tài)輸出,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,求相頻特性（相位差）,頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)。,盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)

5、構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的固有特性，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。,幾點說明:,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,傳遞函數(shù),頻率特性,實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜數(shù)。,以RC濾波網(wǎng)絡(luò)為例：,頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；,表明系統(tǒng)跟蹤、復(fù)現(xiàn)不同頻率信號的能力。當(dāng)頻率低時，系統(tǒng)能正確響應(yīng)、跟蹤、復(fù)現(xiàn)輸入信號；當(dāng)頻率高時，系統(tǒng)輸出幅值衰減近似為0，相位嚴(yán)重滯后，系統(tǒng)不能跟蹤、復(fù)現(xiàn)輸入?？刂葡到y(tǒng)具有低通濾波器特性。,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,四、頻率特性的圖解方法介紹,頻率特性的主

6、要圖解方法,極坐標(biāo)圖 Nyquist圖,對數(shù)坐標(biāo)圖 Bode圖,Nichols圖,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,1.奈奎斯特(Nyquist)圖（極坐標(biāo)圖）,U(): 實頻特性,Re,Im,在復(fù)平面上，隨（0 ）的變化，向量G(j)端點的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。,V(): 虛頻特性,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,2.波德(Bode)圖（對數(shù)頻率特性圖）,（1）對數(shù)幅頻特性圖,橫坐標(biāo)：以10為底的對數(shù)分度表示的角頻率 單位 rad/s或Hz,縱坐標(biāo)：線性分度，表示幅值A(chǔ)()對數(shù)的20 倍，即：,（2）對數(shù)相頻特性圖,橫坐標(biāo)：同上,縱坐標(biāo)

7、：線性分度，頻率特性的相角,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,（3）波德（Bode）圖的坐標(biāo)系,注：在實際標(biāo)注時，橫坐標(biāo)以標(biāo)注，其意義還是代表以10為底的對數(shù)分度表示的角頻率。,頻率變化十倍稱為一個十倍頻程，對應(yīng)橫坐標(biāo)的間隔距離為一個單位記為decade或簡寫為dec,4.1 頻率響應(yīng)和頻率特性,一、 比例環(huán)節(jié),4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,傳遞函數(shù)：G(s) = K,頻率特性：G(j) = K+j0 = Kej0,對數(shù)幅頻特性： L() = 20lgK,幅頻特性：A() = K,相頻特性： () = 00,對數(shù)相頻特性：() =,比例環(huán)節(jié)的頻率特性圖：,1.Nyquist圖,A() = K,()

8、= 00,L() = 20lgK,2.Bode圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,二、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,相頻特性： () = - arctgT,幅頻特性：,對數(shù)幅頻特性：,對數(shù)相頻特性： () = - arctgT,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,1.慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,2. 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖,對數(shù)幅頻特性：,對數(shù)相頻特性：,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 橫坐標(biāo)變換1,轉(zhuǎn)折頻率,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 橫坐標(biāo)變換2,轉(zhuǎn)折頻率,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,漸近線誤差,-4,-3,-2,-1,

9、0,0.1,1,10,慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線,dB,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,三、 一階微分環(huán)節(jié),對數(shù)相頻特性： () = arctg,傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)幅頻特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = arctg,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,三 、一階微分環(huán)節(jié),0,Re,Im,一階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,過（1，j0）點，平行于虛軸正方向的一條射線。,一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,注意到一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)(設(shè)： = T )，根據(jù)對數(shù)頻率特性圖的特點，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲

10、線關(guān)于 0dB 線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱。,顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線也可由漸近線近似描述。,三 、一階微分環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)幅頻特性：,一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性：,慣性環(huán)節(jié)相頻特性：,() = - arctgT,一階微分環(huán)節(jié)相頻特性：,() = arctg,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,0,10,20,30,90,45,0,L()/ (dB),(),Bode Diagram,轉(zhuǎn)折頻率,實際幅頻特性,漸近線,20dB/dec,一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,四 、積分環(huán)節(jié),Nyquist圖,0,Re,Im,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,積分環(huán)節(jié)的Bode圖,

11、-40,-20,0,20,0.1,1,10,100,L()/ (dB),(),Bode Diagram,20dB/dec,四 、積分環(huán)節(jié),4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,五 、 振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,實頻特性：,虛頻特性：,幅頻特性：,相頻特性：,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,幅頻特性：,相頻特性：,Nyquist Diagram,=0.1,=0.2,-3,-2,-1,0,1,2,3,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,=0.3,1.二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,幅頻特性：,相頻特性：,Nyquist Diagram,=0.1,=0.2,-3,-2

12、,-1,0,1,2,3,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,=0.3,1.二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,2.振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖,對數(shù)幅頻特性,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,振蕩環(huán)節(jié)波德Bode圖,對數(shù)相頻特性,對數(shù)幅頻特性,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,對數(shù)幅頻特性的實際Bode圖,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,五 振蕩環(huán)節(jié),-180,-135,-90,-45,0,0.1,1,10,/n,() / (deg), = 0.1 = 0.2 = 0.3,-40,-30,-20,-10,0,10,20,L()/ (dB),-40dB/dec, = 0.1 = 0.

13、2, = 0.3,Bode Diagram,轉(zhuǎn)折頻率, = 0.5, = 0.5,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,對數(shù)幅頻特性的實際Bode圖,振蕩環(huán)節(jié)在不同值時的修正曲線,-8,-4,0,4,8,12,16,20,0.1,1,10, = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25, = 0.30 = 0.35 = 0.40, = 0.80 = 0.90 = 1.00, = 0.50 = 0.60 = 0.707,/n,Error (dB),由圖可見，當(dāng) 較小時，由于在 = n 附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差， 越小，誤差越大。,當(dāng)0.380.7時，誤

14、差不超過3dB。因此，在此 范圍內(nèi)，可直接使用漸近對數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻曲線。,準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上，通過誤差曲線修正而獲得或直接計算。,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,六、 延遲環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性：,4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,一、 最小相位系統(tǒng),極點和零點全部位于s左半平面的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)。,顯然，對于穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)只存在位于s右半平面的零點。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,最小相位傳遞函數(shù),具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。,最小相位系統(tǒng),4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,穩(wěn)定的非最小相位系

15、統(tǒng)相角變化 （右零點q個）：,最小相位系統(tǒng) 為正值。,最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍一定小于相應(yīng)的非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍。,一 、最小相位系統(tǒng),例如：,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,1. 對Ga (s),4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,2. 對Gb (s),一 、最小相位系統(tǒng),4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,3. 對Gc(s),一 、最小相位系統(tǒng),-180,-90,0,90,180,1/T1,1/T2,() / (deg),Ga(s),Gb(s),Gc(s), (rad/sec),Bode證明：最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性存在唯一確定的關(guān)系。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,一 、最小相位系統(tǒng),二、

16、系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,基本步驟,1. 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：,2. 求系統(tǒng)的頻率特性：,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,3. 求A(0)、(0)；A()、(),4. 補充必要的特征點(如與坐標(biāo)軸的交點)，根據(jù)A()、() 的變化趨勢，畫出Nyquist 圖的大致形狀。,解：,例1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：,試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,0,Re,Im,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,0,Re,Im,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,Nyquist圖的一般形狀,考慮系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：,0型系

17、統(tǒng)（v = 0）,奈氏圖始于正實軸,且起點處奈氏圖的切線和正實軸垂直。,奈氏圖趨于原點。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,0,Re,Im,m = 0,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,Re,Im,0,K,0,m = 1,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,I型系統(tǒng)（v = 1）,只包含慣性環(huán)節(jié)的I型系統(tǒng)Nyquist圖,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,Re,Im,n=3,n=4,0,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,II型系統(tǒng)（v = 2）,只包含慣性環(huán)節(jié)的II型系統(tǒng)Nyquist圖,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,注意,Re,I

18、m,0,當(dāng)系統(tǒng)加了零點（一階微分環(huán)節(jié)）則使系統(tǒng)相角超前，奈氏曲線彎曲。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,二、 系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,考慮系統(tǒng)：,三、 系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的繪制,對數(shù)幅頻特性:,對數(shù)相頻特性:,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。,三、 系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的繪制,解：,易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個典型環(huán)節(jié)：,例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,轉(zhuǎn)折頻率：2=2 rad/s,轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5 rad/s,轉(zhuǎn)折頻率：5=10 rad/s,比例環(huán)節(jié)：,積分環(huán)節(jié)：,慣性環(huán)節(jié)：,一階微分環(huán)節(jié)：,振蕩環(huán)節(jié)：,（轉(zhuǎn)折頻率=1/T）,開環(huán)對數(shù)幅頻

19、及相頻特性為：,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,三、 系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的繪制,5,三、 系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的繪制,5,低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v， 斜率為20v dB/dec。,如果各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性用漸近線表示，則對數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn)折點為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。,Bode圖特點,對數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折點，其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。,對慣性環(huán)節(jié)，斜率下降 20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降 40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升 40dB/dec。,三、 系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的繪制,四、傳遞函數(shù)的實驗

20、確定法,（一）基本思路,根據(jù)Bode圖的漸近線確定轉(zhuǎn)折頻率及各典型環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,待測 系統(tǒng),顯示器 記錄儀 繪圖儀,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,1. 確定對數(shù)幅頻特性的漸近線。用斜率為0 dB/dec、 20dB/dec 、40dB/dec、 60dB/dec的直線逼近實驗曲線。,（二）由Bode圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的步驟,2. 根據(jù)低頻段漸近線的斜率，確定系統(tǒng)包含的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。,注：0、型系統(tǒng)分別對應(yīng)的斜率,注意到系統(tǒng)低頻段漸近線可近似為：,3. 確定系統(tǒng)增益,理解：不管是一階環(huán)節(jié)或者是二階環(huán)節(jié)，其低頻漸近線都為0分貝，故：低頻漸近線的斜率完全由積

21、分環(huán)節(jié)來確定，而其位置（在幅頻特性圖的上下位置）則由增益決定。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,（1）0型系統(tǒng)( ),4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,（2）I 型系統(tǒng)( ),（3）II 型系統(tǒng)( ),5. 獲得系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)或傳遞函數(shù)。,6. 根據(jù)實驗測得的相頻特性曲線，校驗獲得的傳遞函數(shù)。,4. 根據(jù)漸近線轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化，確定對應(yīng)的環(huán)節(jié)。,若 =1時， 斜率變化20dB/dec， 則對應(yīng)環(huán)節(jié)為：,若 =2時， 斜率變化40dB/dec，則對應(yīng)環(huán)節(jié)為：,若為最小相位系統(tǒng)，兩相頻特性應(yīng)大致相符，并且在很低和很高頻段上嚴(yán)格相符。,二階環(huán)節(jié)的阻尼比 根據(jù)實驗曲線在轉(zhuǎn)折頻率處的峰值與的關(guān)系確定。,4

22、.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,例：已知最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解：,注意到積分環(huán)節(jié)的延長線必交(1，j0)點， 故k =1。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,系統(tǒng)低頻段斜率為：,-20dB/dec， v=1，I型系統(tǒng)。,對應(yīng)的傳遞函數(shù)：,對應(yīng)的傳遞函數(shù)：,對應(yīng)的傳遞函數(shù)：,綜上所述，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,即：,例：根據(jù)對數(shù)幅頻特性，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,4.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖,解：低頻段漸近線,用開環(huán)頻率特性判斷對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一、 開環(huán)與相應(yīng)閉環(huán)的關(guān)系,開環(huán)分母階次總是大于分子階次的。因此，閉環(huán)極點數(shù)與開環(huán)極點數(shù)相同。,系統(tǒng)開環(huán)傳函:,系統(tǒng)閉環(huán)傳函數(shù):,4

23、.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,基本思想,二、引入輔助特征向量, F(s)將閉環(huán)與開環(huán)聯(lián)系起來；, 開環(huán)頻率特性與F(j)的簡單關(guān)系：僅實部相差實數(shù)1！,F(s)的零點就是閉環(huán)極點 F(s)的極點就是開環(huán)極點,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,三、米哈伊洛夫定理,設(shè)n次多項式D(s)有p個零點位于s平面的右半平面，有q個零點在原點上，其余n-p-q個零點位于左半平面，則當(dāng)以s=j代入D(s)并令從0連續(xù)增大到時，復(fù)數(shù)D(j)的角增量為：,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,特征根矢量與頻率特性矢量,N 階系統(tǒng)的特征多項式為：,（1）左實根：,其特征根有可能是正、負(fù)實根或復(fù)根，它們在復(fù)平面上都有確定位置。,a

24、矢量:從坐標(biāo)原點到該點的矢量。,頻率特性表達(dá)式：,因此，當(dāng)變動時，(j+a)矢量的端點在虛軸j上滑動。,相角：,（逆時針）,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,（2）右實根：,相角：,（3）左復(fù)根,1）,2）,平均每個左復(fù)根的相角變化為,（逆時針）,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,（4）右復(fù)根,同理，右復(fù)根引起的相角變化平均為,1）,2）,（順時針）,故：左根引起多項式相位變化 右根引起多項式相位變化,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,1. 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定,如果系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則Dk(s)=0的根全部具有負(fù)實部，那么，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是：,四、奈奎斯特判據(jù) （Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)）,4.4 系統(tǒng)

25、穩(wěn)定性的頻域分析,分析,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,四、奈奎斯特判據(jù),四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,若Gk(j)包圍（-1, j0)點，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,若Gk(j)通過（-1, j0)點，則系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。,2. 系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定,如果系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，則Dk(s)=0的部分根具有正實部（注意開環(huán)有右根并不等于系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定），設(shè)右根有p個，那么，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是： Gk(j)正方向（正方向即逆時針方向）包圍（-1, j0)點 p/2 次（圈）。,故：Gk(j)正方向包圍（-1, j0)點 p/2 次（圈）。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,如

26、果系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有p個右根，那么，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是：G(j)正方向包圍（-1, j0)點p 次。,注意：奈氏判據(jù)的另一種描述,故在(-) 變化范圍內(nèi)圖形包圍的圈數(shù)，是頻率在(0) 變化范圍內(nèi)圈數(shù)的2倍。,繪圖頻率范圍：（0),定理所指頻率變化范圍：(-),在(-)的變化范圍內(nèi)，其圖形關(guān)于實軸對稱。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,0,Re,Im, =0,例：,圖(a)、(b)分別為某2個系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖，其中，p為右極點數(shù)。試分析其穩(wěn)定性。,圖(a)：奈氏圖負(fù)包圍(-1，j0)點一圈，p=0，所以系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,圖(b)：奈氏圖正包圍(-1，j0)點一圈，p

27、=2，所以系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,3.開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時Nyquist判據(jù)的處理,對于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)，對虛軸作處理后，繪制Nyquist圖時需考慮由 00+ 變化時的軌跡。,即按常規(guī)方法作出由 0+ 變化時的Nyquist曲線后，從G(j0)開始，以的半徑順時針補畫v90 的圓弧(輔助線)得到完整的Nyquist曲線。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,0,Re,Im,(-1,jo), =0,開環(huán)穩(wěn)定（無右極點）畫輔助圓，G(j)不包圍（-1, j0)點，所以系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,0,Re,Im,(-1,jo),開環(huán)穩(wěn)定（無右極點）畫輔助

28、圓，G(j)包圍（-1, j0)點，所以系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,例：,根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及耐氏圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。, =0,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,開環(huán)穩(wěn)定（無右極點） 畫輔助圓，G(j)不包 圍（-1, j0)點，所以系統(tǒng) 閉環(huán)穩(wěn)定。,例：,根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及耐氏圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,4. Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念,穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過 (-1, j0 ) 點左邊實軸時的情況。,（1）正穿越： 增大時，Nyquist曲線由上而下穿過-1 - 段實軸。正穿越時，相角增加，相當(dāng)于Nyquist曲線正向包圍

29、(-1, j0 )點一圈。,（2）負(fù)穿越： 增大時，Nyquist曲線由下而上穿過-1 - 段實軸。 負(fù)穿越時，相角減小，相當(dāng)于Nyquist曲線反向包圍(-1, j0 )點一圈。,+,+,0,Re,Im, =, =0,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,Nyquist 判據(jù),Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由0變化到時，Nyquist曲線在(-1,j0)點左邊實軸上的正、負(fù)穿越次數(shù)之差等于p/2時（p為系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)），系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,圖示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,曲線止于或起于（-1,j0）點左邊的實軸上，算1/2次穿越，

30、穿越趨勢確定“”，“”,注意：,0,0,“”穿越1/2次,“”穿越1/2次,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：,應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例：,解：,Re,Im,當(dāng)k1時，N=1/2= p/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)k1時，N=0 p/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。當(dāng)k=1時，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,極坐標(biāo)圖上的單位圓A()=1相當(dāng)于Bode圖上的0分貝線。,0,Re,Im,-40,-20,0,20,40,0.1,-270,-180,-90,0,90,1,100,() / (deg),L()/ (dB),10,

31、極坐標(biāo)圖上的負(fù)實軸相當(dāng)于Bode圖上的-180線。,1. 幅值交界頻率c （開環(huán)截止頻率）,2. 相位交界頻率,5. 極坐標(biāo)圖與Bode圖的對應(yīng),兩個重要的頻率概念,四、奈奎斯特判據(jù),4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,1. 正、負(fù)穿越的概念,Bode判據(jù)是乃氏判據(jù)在bode圖中的應(yīng)用,五、 Bode判據(jù),(-1,jo),正穿越N+：相位增大； 負(fù)穿越N-：相位減小。,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,在開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖上，在所有L()0的頻段內(nèi)，相頻特性曲線穿越180線的次數(shù)正、負(fù)穿越次數(shù)之差N+N-=P/2，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。P為開環(huán)右極點數(shù)。,2. Bode判據(jù),N+ =0， N- =2，所以， N+

32、N- P/2 ，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,+,+,N+ =2， N- =1，所以，N+N-= 2-1=P/2 ，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,在系統(tǒng)設(shè)計中，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還希望系統(tǒng)具備適當(dāng)?shù)牡姆€(wěn)定性儲備即裕量。,0,Re,Im,根據(jù)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性與(-1，j0)點的位置情況，系統(tǒng)是否穩(wěn)定也分為：,六、穩(wěn)定性裕量,對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)：,因此，用曲線接近 (-1，j0)點的程度來衡量系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的大小相對穩(wěn)定性。,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,習(xí)慣上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）來表征開環(huán)幅相曲線接近臨界點的程度，作為系統(tǒng)穩(wěn)定程度的度量。,六、穩(wěn)定性裕量,1

33、.相位裕量（度）,在c上，使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定的邊緣（臨界穩(wěn)定）所需要附加的滯后角度(相位滯后量），稱為相位裕量。,相位裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定。,相位裕量為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,0,Re,Im,在相位交界頻率上，使開環(huán)幅值達(dá)到1所需放大的倍數(shù)。,2.幅值裕量（度）,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,六、穩(wěn)定性裕量,0,Im,0,3.Bode圖上的幅值裕量和相位裕量,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：,分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例：,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,幾點說明：,（1）控制系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量，是極坐標(biāo)圖對(-1，j0)點靠近程度的

34、度量。故可用作設(shè)計準(zhǔn)則。,（2）對于最小相位系統(tǒng)，只有幅值裕量和相位裕量都是正值時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。,（3）為了得到滿意的性能，,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,4.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析,頻域指標(biāo)分為閉環(huán)頻域性能指標(biāo)和開環(huán)頻域性能指標(biāo)。,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),一、閉環(huán)的頻率特性,二、閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系,閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性,1. 閉環(huán)頻域特征量,零頻幅值,復(fù)現(xiàn)頻率,諧振頻率,0時輸出與輸入的幅值比。越接近1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,幅頻特性值與M(0)之差第一次達(dá)到的頻率值。,指系統(tǒng)產(chǎn)生峰值時對應(yīng)的頻率。,諧振峰值,指在諧振頻率處的峰值。,截止頻率,所對應(yīng)的頻率。,2.

35、閉環(huán)頻域主要性能指標(biāo),二階系統(tǒng)可以求出頻域和時域指標(biāo)之間嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)系：,3. 閉環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo), 、n是聯(lián)系兩者的橋梁。,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),Mp和Mr都隨著阻尼比的增大而減小。因而，隨著Mr增加，相應(yīng)的Mp也增大其物理意義：當(dāng)閉環(huán)幅頻特性有諧振峰時，輸入信號頻譜在=r附近的諧波分量通過系統(tǒng)后顯著增強，從而引起振蕩。,（1）諧振峰值及最大超調(diào)量,當(dāng)一定時，截止頻率正比于系統(tǒng)無阻尼自然頻率，因此無阻尼自然頻率愈大，截止頻率也就愈大，即帶寬愈大，響應(yīng)愈快。但帶寬過大，系統(tǒng)抗高頻干擾的性能下降，所以帶寬也不宜過大。,（2）截止頻率,一般來說，

36、如果系統(tǒng)閉環(huán)諧振峰值Mr愈高，時域響應(yīng)的振蕩性愈強；如果系統(tǒng)的帶寬愈寬，即截止頻率愈大，則時域響應(yīng)的快速性愈好，系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力也愈強。,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),求開環(huán)頻率特性比求閉環(huán)頻率特性方便，而且在最小相位系統(tǒng)中，幅頻特性和相頻特性之間有唯一確定的對應(yīng)關(guān)系，因此工程上常用開環(huán)對數(shù)頻率特性來分析和設(shè)計系統(tǒng)。,二、開環(huán)頻域性能指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系,1. 開環(huán)頻域性能指標(biāo),開環(huán)截止頻率（幅值交界頻率） 幅值裕量（度） 相位裕量（度）,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),2. 開環(huán)頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),（1）幅值交界頻率,與系統(tǒng)無阻尼自然頻率

37、成正比，描述響應(yīng)快速性。,描述系統(tǒng)相對穩(wěn)定性。,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),相位裕度（量）,幅值裕度（量）,（2）幅值裕度（量）和相位裕度（量）,通常分為三個頻段來加以分析,c前后轉(zhuǎn)折頻率之間的頻率段。 L()從+30dB降到-15dB的一段。,三、頻域分析的特點,時域響應(yīng)的動態(tài)指標(biāo)主要由中頻段的形狀決定。,1.低頻段,4.5 系統(tǒng)動態(tài)性能的頻域指標(biāo),穩(wěn)態(tài)指標(biāo)主要由該頻段幅頻特性的高度和斜率所決定。,第1個轉(zhuǎn)折頻率以前 的頻段。,2.中頻段,所以對時域響應(yīng)的快速性要求可以反映在對開環(huán)截止頻率c大小的要求上。,當(dāng)斜率為-40dB/dec時，相位裕量的值趨近0，系統(tǒng)趨于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，且有足夠的穩(wěn)定裕量，一般希望中頻段的