工程力學(xué)M-第8章

1、,第8章 扭轉(zhuǎn)問題,第二篇 材料力學(xué), 扭轉(zhuǎn)變形 扭矩圖, 剪應(yīng)力互等定理, 圓軸扭轉(zhuǎn)的強度與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)超靜定問題簡介, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析,第8章 扭轉(zhuǎn)問題,請判斷哪一桿件 將發(fā)生扭轉(zhuǎn),當兩只手用力相等時，擰緊羅母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn), 工程上傳遞功率的圓軸,請判斷哪些零件 將發(fā)生扭轉(zhuǎn),傳動軸 將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn), 工程上傳遞功率的圓軸,連接汽輪機和發(fā)電機的傳動軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn), 工程上傳遞功率的圓軸,請判斷哪一部件 將發(fā)生扭轉(zhuǎn), 工程上傳遞功率的圓軸 及其扭轉(zhuǎn)變形,第8章 扭轉(zhuǎn)問題,工程上將主要承受扭轉(zhuǎn)的桿件稱為軸，當軸的橫截面上僅有扭矩（Mx）作用時，將產(chǎn)生與扭矩相對應(yīng)的分布內(nèi)力，其作用面與

2、橫截面重合。這種分布內(nèi)力在一點處的集度，即為剪應(yīng)力。, 工程上傳遞功率的圓軸及其扭轉(zhuǎn)變形,考察圓軸扭轉(zhuǎn)變形的特點？, 工程上傳遞功率的圓軸及其扭轉(zhuǎn)變形,當圓軸承受繞軸線轉(zhuǎn)動的外扭轉(zhuǎn)力偶作用時，其橫截面上將只有扭矩一個內(nèi)力分量。,圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，圓軸上的每個微元的直角均發(fā)生變化，這種直角的改變量即為剪應(yīng)變。這表明，圓軸橫截面和縱截面上都將出現(xiàn)剪應(yīng)力分別用 和 表示。, 扭矩圖, 扭矩圖, 扭矩圖,作用在桿件上的外力偶矩，可以由外力向桿的軸線簡化而得，但是對于傳遞功率的軸，通常都不是直接給出力或力偶矩，而是給定功率和轉(zhuǎn)速。,因為力偶矩在單位時間內(nèi)所作之功即為功率，于是有,其中T為外力偶

3、矩；為軸轉(zhuǎn)動的角速度；P為軸傳遞的功率。, 扭矩圖,考慮到：1 kWl000 Nm/s，上式可以改寫為,其中功率P的單位為kW；n為軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，用r/min表示。, 扭矩圖,在扭轉(zhuǎn)外力偶作用下，圓軸橫截面上將產(chǎn)生扭矩。 確定扭矩的方法也是截面法，即假想截面將桿截開分成兩部分，橫截面上的扭矩與作用在軸的任一部分上的所有外力偶矩組成平衡力系。即可求得扭矩的大小與方向。,當軸的長度方向上有兩個以上的外力偶矩作用時，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。,扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。,扭矩的正負號規(guī)定：右手螺旋法

4、則。指向外法線為“+”； 反之為“-”。, 扭矩圖,例題8-1,圓軸受有四個繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。,試 ：畫出圓軸的扭矩圖。, 例題 8-1, 扭矩圖,解：1確定控制面,外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。,2應(yīng)用截面法由平衡方程,確定各段圓軸內(nèi)的扭矩 。, 例題8-1, 扭矩圖,3建立Mxx坐標系，畫出扭矩圖 建立Mxx坐標系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標在Mxx坐標系中，得到相應(yīng)的點，過這些點作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析,第

5、8章 扭轉(zhuǎn)問題,分析圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的方法與分析拉壓桿正應(yīng)力的方法基本相同，就是：根據(jù)表面變形作出平面假定；由平面假定得到應(yīng)變分布，亦即得到變形協(xié)調(diào)方程；再由變形協(xié)調(diào)方程與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到應(yīng)力分布，也就是含有待定常數(shù)的應(yīng)力表達式；最后利用靜力方程確定待定常數(shù)，從而得到計算應(yīng)力的公式。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析,“三部曲”： 幾何 + 物理 + 平衡,應(yīng)力分布,應(yīng)力公式,變 形,應(yīng)變分布, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程, 彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力剪應(yīng)變關(guān)系, 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力表達式, 靜力學(xué)方程, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析,變形協(xié)調(diào)方程 幾何關(guān)系, 圓軸扭轉(zhuǎn)時

6、的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程,圓軸扭轉(zhuǎn)時，其圓柱面上的圓保持不變，都是兩個相鄰的圓繞圓軸的軸線相互轉(zhuǎn)過一角度。根據(jù)這一變形特征，假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，并且繞圓軸的軸線剛性地轉(zhuǎn)過一角度。這就是關(guān)于圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假定。,當圓軸承受繞軸線轉(zhuǎn)動的外扭轉(zhuǎn)力偶作用時，其橫截面上將只有扭矩一個內(nèi)力分量。,圓軸受扭后，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，圓軸上的每個微元的直角均發(fā)生變化，這種直角的改變量即為剪應(yīng)變。這表明，圓軸橫截面和縱截面上都將出現(xiàn)剪應(yīng)力分別用 和 表示。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程,若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根

7、據(jù)上述結(jié)論，在dx長度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變越小。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程,設(shè)到軸線任意遠處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ?，則從圖中可得到如下幾何關(guān)系：,(a), 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程,具體推導(dǎo)如下, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程,幾何關(guān)系,即,其中,稱為單位長度桿的相對扭轉(zhuǎn)角。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 變形協(xié)調(diào)方程,而對于兩相鄰截面，,為常量，故上式表明：圓軸扭轉(zhuǎn)時，其橫截面上任意點處的剪應(yīng)變與該點至截面中心之間的距離成正比。上式即為圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形協(xié)調(diào)方程。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力

8、分析, 彈性范圍內(nèi)的 剪應(yīng)力剪應(yīng)變關(guān)系,剪切胡克定律, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力剪應(yīng)變關(guān)系,若在彈性范圍內(nèi)加載，對于大多數(shù)各向同性材料，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在線性關(guān)系,此即為剪切胡克定律，式中G為比例常數(shù)，稱為切變模量。,(8-2), 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力剪應(yīng)變關(guān)系,其中,上式表明，橫截面上各點的剪應(yīng)力與點到橫截面中心的距離成正比，即剪應(yīng)力沿橫截面的半徑呈線性分布。,對于確定的橫截面是一個不變的量。,(b), 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 彈性范圍內(nèi)的剪應(yīng)力剪應(yīng)變關(guān)系,上式表明，橫截面上各點的剪應(yīng)力與點到橫截面中心的距離成正比，即剪應(yīng)力沿橫截面的半徑呈線

9、性分布。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析,靜力學(xué)方程 平衡條件, 靜力學(xué)方程, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析,作用在橫截面上的剪應(yīng)力形成一分布力系，這一力系向截面中心簡化結(jié)果為一力偶，其力偶矩即為該截面上的扭矩。于是有,此即靜力學(xué)方程。,IP就是圓截面對其中心的極慣性矩。式中的GIP稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度。, 靜力學(xué)方程, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的 剪應(yīng)力表達式, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力表達式,這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任意點的剪應(yīng)力表達式，其中Mx由平衡條件確定；IP由積分求得。,(8-5), 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫

10、截面上的剪應(yīng)力表達式,(8-5),最大剪應(yīng)力,Wp 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù), 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力表達式,(8-7),(8-6),截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù), = d / D, 對于直徑為 d 的實心圓截面, 對于內(nèi)、外直徑分別為d 和 D 圓環(huán)截面, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力表達式, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 例題8-2,圖示直徑50mm的轉(zhuǎn)動軸，轉(zhuǎn)速n=300r/min的電機通過A輪輸入100kW的功率，由B、C和D輪分別輸出45kW，25kW和30kW以帶動其他部件。 試求：（1）扭矩圖； （2） 軸的最大應(yīng)力,例題8-2, 圓軸扭轉(zhuǎn)時

11、的剪應(yīng)力分析,解： (1) 計算出作用在輪上的力偶矩，,(2) 由扭矩圖，最大值為1.75kNm，出現(xiàn)在AC段，且在等截面桿的圓周上，由式（8-6）,（8-7）, 例題8-2, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 例題8-2,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。,例 題 8-3,求: 實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 例題8-3,解：首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩,實心軸, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 例題8-3,解：對于空心軸，,算得,d20.5D2=2

12、3 mm, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 例題8-3,解：確定實心軸與空心軸的重量之比,空心軸,D246 mm,d223 mm,實心軸,d1=45 mm,長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：, 圓軸扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析, 例題8-3, 剪應(yīng)力互等定理,第8章 扭轉(zhuǎn)問題,微元能不能平衡？,怎樣才能平衡？,哪些力互相平衡？, 剪應(yīng)力互等定理,哪些力互相平衡？,根據(jù)力偶平衡理論, 剪應(yīng)力互等定理, 剪應(yīng)力互等定理,圓軸扭轉(zhuǎn)時，微元的剪切變形現(xiàn)象表明，圓軸不僅在橫截面上存在剪應(yīng)力，而且在通過軸線的縱截面上也將存在剪應(yīng)力。這是平衡所要求的。,如果用圓軸的相距很近的一對橫截面、一對縱截面以及一對

13、圓柱面，從受扭的圓軸上截取一微元，微元與橫截面對應(yīng)的一對面上存在剪應(yīng)力，這一對面上的剪應(yīng)力與其作用面的面積相乘后組成一繞z軸的力偶，其力偶矩為dydzdx。,為了保持微元的平衡，在微元與縱截面對應(yīng)的一對面上，必然存在剪應(yīng)力，這一對面上的剪應(yīng)力也組成一個力偶矩為 dxdzdy的力偶。這兩個力偶的力偶矩大小相等、方向相反，才能使微元保持平衡。,剪應(yīng)力互等定理,如果在微元的一對面上存在剪應(yīng)力，另一對與剪應(yīng)力作用線互相垂直的面上必然有大小相等、方向或相對(兩剪應(yīng)力的箭頭相對)或相背(兩剪應(yīng)力的箭尾相對)，以使微元保持平衡。微元上剪應(yīng)力的這種相互關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理, 剪應(yīng)力互等定理, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸

14、的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計,第8章 扭轉(zhuǎn)問題, 扭轉(zhuǎn)實驗與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)實驗與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)實驗與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象,為了測定剪切時材料的力學(xué)性能，需材料制成扭轉(zhuǎn)試樣在扭轉(zhuǎn)試驗機上進行試驗。,對于低碳鋼，采用薄壁圓管或圓筒進行試驗，使薄壁截面上的剪應(yīng)力接近均勻分布，這樣才能得到反映剪應(yīng)力與剪應(yīng)變關(guān)系的曲線。,對于鑄鐵這樣的脆性材料由于基本上不發(fā)生塑性變形，所以采用實圓截面試樣也能得到反映剪應(yīng)力與剪應(yīng)變關(guān)系的曲線。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)實驗與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象,試

15、驗結(jié)果表明，低碳鋼的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變關(guān)系曲線上，類似于拉伸正應(yīng)力與正應(yīng)變關(guān)系曲線，也存在線彈性、屈服和破斷三個主要階段。屈服強度和強度極限分別用s和b表示。,對于鑄鐵，整個扭轉(zhuǎn)過程，都沒有明顯的線彈性階段和塑性階段，最后發(fā)生脆性斷裂。其強度極限用b表示。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)實驗與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計,韌性材料與脆性材料扭轉(zhuǎn)破壞時，其試樣斷口有著明顯的區(qū)別。韌性材料試樣最后沿橫截面剪斷，斷口比較光滑、平整。,鑄鐵試樣扭轉(zhuǎn)破壞時沿45螺旋面斷開，斷口呈細小顆粒狀。, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計,與拉

16、壓強度設(shè)計相類似，扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計時，首先需要根據(jù)扭矩圖和橫截面的尺寸判斷可能的危險截面；然后根據(jù)危險截面上的應(yīng)力分布確定危險點（即最大剪應(yīng)力作用點）；最后利用試驗結(jié)果直接建立扭轉(zhuǎn)時的強度設(shè)計準則。,對于脆性材料，,對于韌性材料，,其中為許用剪應(yīng)力。,圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度設(shè)計準則為, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計,上述各式中許用剪應(yīng)力與材料的許用正應(yīng)力之間存在一定的關(guān)系。,對于脆性材料，,對于韌性材料，,如果設(shè)計中不能提供值時，可根據(jù)上述關(guān)系由值求得值。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計,已知：汽車發(fā)動機將功率通過主傳動軸AB傳給后橋，驅(qū)動車輪行駛。設(shè)主傳動軸所承受的最大

17、外力偶矩為Me1.5 kNm，軸由45號鋼無縫鋼管制成，外直徑D90 mm，壁厚2.5 mm， 60 Mpa。,例 題8-4, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計,試: 1試校核主傳動軸的強度； 2 . 若改用實心軸，在具有與空心軸相同的最大剪 應(yīng)力的前提下，試確定實心軸的直徑； 3 . 確定空心軸與實心軸的重量比。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計例題8-4,解： 1校核空心軸的強度,根據(jù)已知條件，主傳動軸橫截面上的扭矩MxMe1.5 kNm，軸的內(nèi)直徑與外直徑之比,因為軸只在兩端承受外加力偶，所以軸各橫截面的危險程度相同，軸的所有橫截面上的最大剪應(yīng)力均為,由此可以得出結(jié)論：主傳動軸的強度是

18、安全的。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計例題8-4,解： 2確定實心軸的直徑,根據(jù)實心軸與空心軸具有同樣數(shù)值的最大剪應(yīng)力的要求，實心軸橫截面上的最大剪應(yīng)力也必須等于50.9MPa。若設(shè)實心軸直徑為d1，則有,據(jù)此，實心軸的直徑, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計例題8-4,解： 3計算空心軸與實心軸的重量比,由于二者長度相等、材料相同，所以重量比即為橫截面的面積比，即, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)強度設(shè)計例題8-4,上述結(jié)果表明，空心軸遠比實心軸輕，即采用空心圓軸比采用實心圓軸合理。,解： 4. 本例討論,這是由于圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上

19、的剪應(yīng)力沿半徑方向非均勻分布，截面中心附近區(qū)域的剪應(yīng)力比截面邊緣各點的剪應(yīng)力小得多，當最大剪應(yīng)力達到許剪應(yīng)力時，中心附近的剪應(yīng)力遠小于許剪應(yīng)力值。,將受扭桿件做成空心圓軸，使得橫截面中心附近的材料得到充分利用。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計,扭轉(zhuǎn)剛度計算是將單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須使構(gòu)件滿足剛度設(shè)計準則：,其中單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角,式中的稱為單位長度上的許用相對扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值視軸的工作條件而定。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計,若桿長為 l , 則兩端截面的相對扭

20、轉(zhuǎn)角為：,當桿長之內(nèi)的 Mx、 G及IP 為常數(shù)時，則上式為, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計,剛度設(shè)計中要注意單位的一致性：,上式中 的單位為 rad/m ；而 通常所用的單位為()m。,已知：鋼制空心圓軸的外直徑D100 mm，內(nèi)直徑d50 mm。若要求軸在2 m長度內(nèi)的最大相對扭轉(zhuǎn)角不超過1.5，材料的切變模量G80.4 GPa。,例 題 8-5,求： 1 求該軸所能承受的最大扭矩； 2 確定此時軸內(nèi)最大剪應(yīng)力。, 承受扭轉(zhuǎn)時圓軸的強度設(shè)計 與剛度設(shè)計, 扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計,解： 1確定軸所能承受的最大扭矩 根據(jù)剛度設(shè)計準則，有,解：,由已知條件，許用的單位長度上相對扭轉(zhuǎn)角為,空心圓軸