小學(xué)數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容解讀

1、小學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容解讀一、“數(shù)學(xué)廣角”的編排意圖。“數(shù)學(xué)廣角”是人教版新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材伴隨著新課程改革新增設(shè)的一大教學(xué)內(nèi)容模塊，是人教版教材中的一個(gè)亮點(diǎn)，也是一種新的嘗試。它系統(tǒng)而有步驟地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，嘗試把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過(guò)學(xué)生可以理解的簡(jiǎn)單形式，采用生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來(lái)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)新課程改革的真正內(nèi)涵之所在。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出了：“讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來(lái)

2、社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。”為了有效落實(shí)這一總體目標(biāo)，人教版教材編排中不但加大力度把數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)與代數(shù)、量與計(jì)量等每一個(gè)知識(shí)板塊中，更以新增設(shè)的單元“數(shù)學(xué)廣角”為呈現(xiàn)形式，進(jìn)一步集中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法。二、“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容體系學(xué)段冊(cè)數(shù)單元內(nèi)容數(shù)學(xué)思想方法第一學(xué)段一年級(jí)上冊(cè)第五單元分類(lèi)比較和分類(lèi)思想方法一年級(jí)下冊(cè)第八單元找規(guī)律符號(hào)化思想方法二年級(jí)上冊(cè)第八單元簡(jiǎn)單的排列組合邏輯推理排列組合思想方法邏輯推理思想方法二年級(jí)下冊(cè)第九單元找規(guī)律排列、推理三年級(jí)上冊(cè)第九單元排列組合排列組合思想方法三年級(jí)下冊(cè)第九單元重疊問(wèn)題等量代換集合的思想方法等量代換思想第二

3、學(xué)段四年級(jí)上冊(cè)第七單元烙餅問(wèn)題排隊(duì)論田忌賽馬運(yùn)籌思想、對(duì)策論、優(yōu)化思想四年級(jí)下冊(cè)第八單元植樹(shù)問(wèn)題植樹(shù)問(wèn)題的思想方法化歸的思想方法數(shù)學(xué)建模思想五年級(jí)上冊(cè)第七單元數(shù)字編碼數(shù)字編碼思想五年級(jí)下冊(cè)第七單元找次品優(yōu)化思想方法六年級(jí)上冊(cè)第七單元雞兔同籠問(wèn)題假設(shè)法思想方法數(shù)學(xué)建模思想六年級(jí)下冊(cè)第五單元抽屜原理抽屜原理數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想宜逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升。”教材在“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容的編排上注意體現(xiàn)了這一要求，系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法。例如在滲透排列和組合的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，實(shí)驗(yàn)教材先在二年級(jí)上冊(cè)教材中，安排學(xué)生初步接觸一點(diǎn)排列與組合知識(shí)，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)以及實(shí)驗(yàn)

4、的方法可以找出最簡(jiǎn)單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如用兩個(gè)數(shù)字卡片組成兩位數(shù)的排列數(shù)，三個(gè)小朋友兩兩握手的組合數(shù)等。而在三年級(jí)上冊(cè)教材中又繼續(xù)學(xué)習(xí)排列與組合的內(nèi)容。但目標(biāo)定位為在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)找出事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如兩件上裝和三件下裝有多少種不同的搭配等數(shù)學(xué)問(wèn)題。與二年級(jí)上冊(cè)教材相比，三年級(jí)教材的內(nèi)容則更加系統(tǒng)和全面，分別介紹排列以及組合。綜觀(guān)整個(gè)十二冊(cè)教材中的“數(shù)學(xué)廣角”，從簡(jiǎn)單的分類(lèi)思想到較為抽象的運(yùn)籌思想、對(duì)策論以及最后一冊(cè)更為復(fù)雜的抽屜原理，無(wú)不體現(xiàn)了思維層次是從低到高，從具體到抽象，逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升，向?qū)W生逐步滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，以

5、符合數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律。它們各個(gè)內(nèi)容之間又存有一定的聯(lián)系，準(zhǔn)確把握各冊(cè)教材的聯(lián)結(jié)點(diǎn)有助于解讀教材。譬如，第七冊(cè)的運(yùn)籌問(wèn)題、第十冊(cè)的找次品問(wèn)題以及第十二冊(cè)的抽屜原理，解決問(wèn)題時(shí)都要考慮“至少”的問(wèn)題，都在多種解決策略中尋找最佳最優(yōu)的策略，都要運(yùn)用推理能力和滲透優(yōu)化思想。學(xué)習(xí)“數(shù)字編碼”的時(shí)候，自然地要同“找規(guī)律”這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行嫁接；解決“封閉方陣中的植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)需要用 “重疊問(wèn)題”來(lái)詮釋?zhuān)恢矘?shù)問(wèn)題和雞兔同籠問(wèn)題都很注重?cái)?shù)學(xué)模型的構(gòu)建，一般都得經(jīng)歷“問(wèn)題模型構(gòu)建模型解釋?xiě)?yīng)用模型”的學(xué)習(xí)過(guò)程第一學(xué)段，數(shù)學(xué)廣角出現(xiàn)了簡(jiǎn)單的排列組合、簡(jiǎn)單的推理、集合思想、等量代換等內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推

6、理與交流等活動(dòng)，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，逐步形成有順序、全面思考問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)他們探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)第一學(xué)段的要求：使學(xué)生“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的、有條理的思考”。第二學(xué)段滲透了優(yōu)化思想、對(duì)策論、解決由植樹(shù)引發(fā)出來(lái)的問(wèn)題、數(shù)字編碼、假設(shè)法、抽屜原理等數(shù)學(xué)思想方法，一方面繼續(xù)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生分析、推理的能力，逐步形成探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望，另一方面加強(qiáng)了綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題和解決問(wèn)題策略多樣化的教學(xué)，使學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。從教學(xué)目標(biāo)的把握來(lái)看，

7、數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)首先應(yīng)定位于通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法嘗試解決問(wèn)題，體驗(yàn)解決問(wèn)題的策略、方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)廣角是面向全體學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想方法的，意圖是讓每一個(gè)學(xué)生受到數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的同時(shí)，逐步形成探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)。因此，要防止把數(shù)學(xué)廣角當(dāng)做奧數(shù)培訓(xùn)課進(jìn)行“英才”教育，它需要更多地、有計(jì)劃地創(chuàng)設(shè)實(shí)踐活動(dòng)，讓全體學(xué)生去觀(guān)察、研究、嘗試，重在活動(dòng)中對(duì)思想方法的感悟。下面我們逐冊(cè)分析一下它們的編排結(jié)構(gòu)和教學(xué)目標(biāo)：一上“分類(lèi)”的教學(xué)目標(biāo)：教材按由易到難的順序，分別安排了單一標(biāo)準(zhǔn)的分類(lèi)和不同標(biāo)準(zhǔn)的分類(lèi)兩部分內(nèi)容。教材首先安排了一個(gè)學(xué)生熟悉的文具商店

8、的情景圖，貨架上的文具按不同的類(lèi)別放在不同的位置，一方面，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到把同類(lèi)文具（例如，直尺、三角尺和量角器）放在一起，可以方便快捷地找到自己需要的文具，使學(xué)生體會(huì)到分類(lèi)的意義和必要性。另一方面，可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)為什么要把某些物品放在一起的原因，找出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。接著安排了一個(gè)按不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)的活動(dòng)情景。三個(gè)學(xué)生按不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)同一堆鉛筆分成不同的類(lèi)，第一個(gè)同學(xué)是按鉛筆的顏色分的，第二個(gè)同學(xué)是按鉛筆有無(wú)橡皮頭來(lái)分的，第三個(gè)同學(xué)是按鉛筆有無(wú)削過(guò)來(lái)分的。使學(xué)生看到，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類(lèi)的結(jié)果也不同。教學(xué)中要注意讓學(xué)生真正地活動(dòng)起來(lái)，學(xué)生在操作、活動(dòng)的過(guò)程中，能更牢固地掌握選擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)、正確分類(lèi)

9、的方法，動(dòng)手操作能力和探索意識(shí)也能更好地得以發(fā)展。1能按照某一給定的標(biāo)準(zhǔn)或選擇某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)物體進(jìn)行分類(lèi)。2能選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)物體進(jìn)行不同的分類(lèi)。3在分類(lèi)活動(dòng)中，體驗(yàn)分類(lèi)結(jié)果在單一標(biāo)準(zhǔn)下的一致性、不同標(biāo)準(zhǔn)下的多樣性一下“*找規(guī)律：探索圖案和數(shù)字簡(jiǎn)單的排列規(guī)律”（例1例3，有一個(gè)基本的循環(huán)組，以它為基礎(chǔ)，重復(fù)出現(xiàn)。循環(huán)組中每種圖形只有一個(gè)，例4例5，也有一個(gè)基本的循環(huán)組，循環(huán)組中有的圖形不止一個(gè)，從數(shù)量的角度觀(guān)察，數(shù)字的排列規(guī)律，也是循環(huán)出現(xiàn)的。如1、2、1、2、或2、3、2、3。例6例7，是圖形與數(shù)字變化規(guī)律，要從圖形的數(shù)量上去尋找規(guī)律。例7中數(shù)字的排列規(guī)律是等差數(shù)列。例8，沒(méi)有圖形，只有數(shù)，通過(guò)

10、觀(guān)察找出數(shù)的排列規(guī)律，抽象程度更高。也是等差數(shù)列。僅限于簡(jiǎn)單的：循環(huán)出現(xiàn)的、等差數(shù)列。）教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和位置的變化規(guī)律及數(shù)字簡(jiǎn)單的排列規(guī)律2培養(yǎng)學(xué)生初步的觀(guān)察、推理能力。3培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)。二上數(shù)學(xué)廣角“*簡(jiǎn)單的排列 *簡(jiǎn)單的邏輯推理”例1是最簡(jiǎn)單的排列（與順序有關(guān)，用兩張或3張數(shù)字卡片擺兩位數(shù)）通過(guò)操作感受擺的方法，讓學(xué)生體會(huì)：怎樣擺才能保證不重復(fù)不遺漏?！白鲆蛔觥?個(gè)小朋友兩兩握手屬于組合，選定的一組事物與順序無(wú)關(guān)。例2是最簡(jiǎn)單的推理知識(shí)，讓學(xué)生根據(jù)已知的兩個(gè)條件通過(guò)活動(dòng)判斷出結(jié)論，例2給出了兩個(gè)活動(dòng)，通過(guò)這兩個(gè)活動(dòng)使學(xué)生感受

11、簡(jiǎn)單推理的過(guò)程，初步獲得一些簡(jiǎn)單推理的經(jīng)驗(yàn)。例3在例2的基礎(chǔ)上加了一個(gè)條件，難度稍有增加。實(shí)際上例3可以轉(zhuǎn)化為例2的形式。小紅拿的是語(yǔ)文書(shū)，說(shuō)明小麗和小剛拿的是數(shù)學(xué)和社會(huì)書(shū)，再根據(jù)條件判斷，與例2就非常類(lèi)似了。教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出最簡(jiǎn)單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。2培養(yǎng)學(xué)生初步的觀(guān)察、分析及推理能力。3初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問(wèn)題的意識(shí)。二下“*找規(guī)律：鋪地磚花紋的規(guī)律 等差數(shù)列的探究規(guī)律”例1是在主題圖的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的圖形的變化規(guī)律。每組圖形呈循環(huán)排列：從左邊起，每組圖形中的第一個(gè)圖形在下一組中變成第四個(gè)圖形，第二個(gè)圖形變成第一個(gè)圖形如此循環(huán)排列。例2是圖形和

12、數(shù)列的變化規(guī)律，與一年級(jí)下冊(cè)第91頁(yè)例7類(lèi)似的地方是：無(wú)論是圖形還是數(shù)的排列，不再研究形狀和位置的變化，而是研究數(shù)量的變化，圖形的變化也要通過(guò)計(jì)算相鄰兩項(xiàng)數(shù)量的差來(lái)找出規(guī)律。與例7不同的地方是：它的規(guī)律是每相鄰兩項(xiàng)的差組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新的數(shù)列是等差數(shù)列。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)圖形和數(shù)的排列規(guī)律。2培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察、操作及歸納推理的能力。3培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)，運(yùn)用數(shù)去創(chuàng)造美的意識(shí)；使學(xué)生知道生活中事物有規(guī)律的排列隱含著數(shù)學(xué)知識(shí)。三上數(shù)學(xué)廣角“*簡(jiǎn)單的組合 *簡(jiǎn)單的排列”例1通過(guò)探討衣服和褲子的不同搭配，找出不同穿法的組合數(shù)。上下裝搭配的每種穿法需要兩

13、步來(lái)確定，一步是上裝的選擇，一步是下裝的選擇，一件上裝搭配一件下裝就是一種穿法。教材在這里給出兩種連線(xiàn)方法：先確定一件上裝，對(duì)這件上裝與不同的下裝進(jìn)行搭配連線(xiàn)，然后再進(jìn)行另一件上裝與下裝的連線(xiàn)，這樣就得到第一種連線(xiàn)方法（圖一），說(shuō)明只要有順序的搭配連線(xiàn)，就能保證不重不漏。在此基礎(chǔ)上將兩個(gè)連線(xiàn)圖合并起來(lái)就可得出另一種連線(xiàn)方法（圖二）。這里只要學(xué)生能掌握一種連線(xiàn)方法就行了！例2教學(xué)簡(jiǎn)單的排列，用3個(gè)數(shù)字卡片擺三位數(shù)，數(shù)字卡片的排列順序不同，就表示不同的三位數(shù)。通過(guò)比較引導(dǎo)出一個(gè)既清楚明了又不重不漏的記錄方法：先確定百位上的數(shù)字，然后是十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字。這個(gè)例題能很好的培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考

14、問(wèn)題的意識(shí)。例3通過(guò)探索4個(gè)隊(duì)一共要踢多少場(chǎng)球，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的組合。組合與排列的區(qū)別是排列與事物的順序有關(guān)，而組合與事物的順序無(wú)關(guān)。例3是以中國(guó)隊(duì)參加的2002年世界杯足球賽為背景，中國(guó)隊(duì)所在的C組共有四個(gè)國(guó)家足球隊(duì)，小組賽時(shí)每?jī)蓚€(gè)隊(duì)踢一場(chǎng)比賽，看看一共要踢多少場(chǎng)。這里每場(chǎng)比賽只與哪兩個(gè)隊(duì)有關(guān)，與兩個(gè)隊(duì)的順序無(wú)關(guān)。每?jī)蓚€(gè)隊(duì)連一條線(xiàn)，就代表要踢一場(chǎng)比賽。這里也給出兩種連線(xiàn)方法：一種是把四個(gè)隊(duì)擺成正方形，兩兩相連；另一種是一字?jǐn)[開(kāi)，每個(gè)隊(duì)都與其他三個(gè)隊(duì)相連。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出簡(jiǎn)單事物的排列數(shù)和組合數(shù)。2培養(yǎng)學(xué)生初步的觀(guān)察、分析及推理能力以及有順序地、全面地思考問(wèn)題的意識(shí)。

15、3使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。4使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣，并初步學(xué)會(huì)表達(dá)解決問(wèn)題的大致過(guò)程和結(jié)果。建議：只要求學(xué)生能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題采用羅列、連線(xiàn)等方式找出簡(jiǎn)單事物的排列數(shù)和組合數(shù)，并能感受到有的與順序有關(guān)，有的與順序無(wú)關(guān)，不要提高要求。教師教學(xué)語(yǔ)言中盡量避免出現(xiàn)排列、組合這些術(shù)語(yǔ)，也不要跟學(xué)生解釋。三下數(shù)學(xué)廣角“*重疊問(wèn)題 *等量代換”例1借助學(xué)生熟悉的題材，滲透集合的有關(guān)思想，并利用直觀(guān)圖的方式求出兩個(gè)小組的總?cè)藬?shù)。教材通過(guò)統(tǒng)計(jì)表讓學(xué)生看出：參加語(yǔ)文小組的有8人，參加數(shù)學(xué)小組的有9人。但實(shí)際上參加這兩個(gè)課外小組的總?cè)藬?shù)卻不是17

16、人，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)，教材利用直觀(guān)圖把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀(guān)地表示出來(lái)。從圖上可以很清楚地看出，有3名學(xué)生同時(shí)屬于這兩個(gè)小組，所以計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)只能計(jì)算一次。同時(shí)可以讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)圖中不同位置所表示的不同意義，如中間部分表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的同學(xué)，左側(cè)是只參加語(yǔ)文小組而不參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生，右側(cè)是只參加數(shù)學(xué)小組而不參加語(yǔ)文小組的學(xué)生。最后，再讓學(xué)生列式求出參加語(yǔ)文小組和數(shù)學(xué)小組的共有多少人。例2利用天平的原理，使學(xué)生初步體會(huì)等量代換的思想方法，為以后學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的代數(shù)知識(shí)做準(zhǔn)備。當(dāng)天平平衡時(shí)，左右兩邊的物體同樣重。所以，從第一個(gè)圖中可以看出，一個(gè)西瓜重4千克，從第二個(gè)圖中可以看出，四個(gè)蘋(píng)果重

17、1千克，讓學(xué)生思考一個(gè)西瓜和多少個(gè)蘋(píng)果同樣重。在這里還不能直接運(yùn)用等量代換，需要學(xué)生首先考慮：一個(gè)西瓜和4千克砝碼同樣重，4千克砝碼和多少個(gè)蘋(píng)果同樣重呢？引導(dǎo)學(xué)生想出如果第二個(gè)圖中天平的右邊變成原來(lái)的4倍，左邊也要變成原來(lái)的4倍（即16個(gè)蘋(píng)果），天平才能保持平衡，所以一個(gè)西瓜和16個(gè)蘋(píng)果同樣重。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生會(huì)借助直觀(guān)圖，利用集合的思想方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)等量代換的思想。建議：集合和等量代換的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)思想方法，在這里，只是讓學(xué)生通過(guò)生活中容易理解的題材初步體會(huì)這兩種思想方法，為后繼學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，學(xué)生只要能夠用自己的方法解決問(wèn)題就

18、可以了，教學(xué)時(shí)老師不要使用集合、集合的元素、基數(shù)、交集、并集、等量代換等數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言進(jìn)行描述。四上數(shù)學(xué)廣角“*運(yùn)籌問(wèn)題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問(wèn)題 *對(duì)策問(wèn)題：田忌賽馬?！北締卧饕峭ㄟ^(guò)日常生活中的一些簡(jiǎn)單事例，讓學(xué)生嘗試從優(yōu)化的角度在解決問(wèn)題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案，初步體會(huì)運(yùn)籌思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用以及對(duì)策論方法在解決問(wèn)題中的運(yùn)用。在日常生活中，解決問(wèn)題的方法學(xué)生很容易找到，而且會(huì)找到解決問(wèn)題的不同的策略，這里的關(guān)鍵是讓學(xué)生理解優(yōu)化的思想，形成從多種方案中尋找最優(yōu)方案的意識(shí)，提高學(xué)生的解決問(wèn)題的能力。例1討論烙餅時(shí)怎樣操作最省時(shí)間，讓學(xué)生體會(huì)在解決問(wèn)題中優(yōu)化思想的應(yīng)用。教材首先給出一幅

19、生動(dòng)有趣的情境圖，讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)：3張餅的烙法，最好的方法是先烙1，2號(hào)餅的正面，接著烙1號(hào)餅的反面和3號(hào)餅的正面，最后烙2，3號(hào)餅的反面，這種方法只需9分鐘。然后還可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上獨(dú)立完成：如果要烙的是4張餅，5張餅10張餅，怎樣安排最節(jié)省時(shí)間？再通過(guò)小組討論交流發(fā)現(xiàn)：如果要烙的餅的張數(shù)是雙數(shù)，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數(shù)是單數(shù)，可以先2個(gè)2個(gè)的烙，最后3張餅按上面的最優(yōu)方法烙，最節(jié)省時(shí)間。例2分析家里來(lái)客人需要沏茶時(shí)，怎樣安排各種事情能讓客人盡快喝上茶；繼續(xù)討論如何用優(yōu)化的思想選擇合理、快捷的解決問(wèn)題的方法。教材在情境圖下給出了沏茶所要做的各種工序，以及做每件事情所需的

20、時(shí)間。然后呈現(xiàn)學(xué)生們討論怎樣安排的場(chǎng)面。在這些內(nèi)容中包含了解決這一問(wèn)題的思考方法：首先要明確沏茶的大致順序，也就是說(shuō)哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時(shí)做，能同時(shí)做的事盡量同時(shí)做，這樣才能節(jié)省時(shí)間。教材還提示可以用流程圖的方式表示解決問(wèn)題的順序或方案，教給學(xué)生設(shè)計(jì)方案的具體方法。例3安排的是在碼頭卸貨時(shí)，按照怎樣的順序卸貨能讓三艘船總的等候時(shí)間最少；讓學(xué)生從中體會(huì)運(yùn)籌思想在解決問(wèn)題中的作用。教材沒(méi)有給出答案，而是讓學(xué)生自己來(lái)解決。這里卸貨順序的種數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題，一共有6種不同的方案，方案卸貨順序船1的等候時(shí)間（時(shí)）船2的等候時(shí)間（時(shí)）船3的等候時(shí)間（時(shí)）等候時(shí)間的總和（時(shí)）1船1船

21、2船388+48+4+1332船1船3船288+1+48+1303船2船1船34+844+8+1294船2船3船14+1+844+1225船3船1船21+81+8+41236船3船2船11+4+81+4119學(xué)生可以計(jì)算出每種方案中三艘貨船的等候時(shí)間的總和各是多少，從而找出最優(yōu)的卸貨順序。然后引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)：依次從等候時(shí)間較少的船開(kāi)始卸貨，就能使總的等候時(shí)間最少。例4呈現(xiàn)了“田忌賽馬”的故事。這個(gè)故事學(xué)生可能已經(jīng)了解，但是并不是從數(shù)學(xué)的角度去理解的。在這里，通過(guò)這個(gè)故事讓學(xué)生體會(huì)對(duì)策論方法在實(shí)際中的應(yīng)用。教材首先引導(dǎo)學(xué)生回憶這個(gè)故事，并讓學(xué)生把田忌在賽馬中使用的方法通過(guò)表格的形式列出來(lái)，齊王

22、田忌本場(chǎng)勝者第一場(chǎng)上等馬下等馬齊王第二場(chǎng)中等馬上等馬田忌第三場(chǎng)下等馬中等馬田忌通過(guò)比較讓學(xué)生看到：雖然在同等級(jí)的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬；如果拿同等級(jí)的馬進(jìn)行比賽田忌一定會(huì)輸，但是田忌所采用的策略卻讓他贏了。從而讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)策論的方法在這場(chǎng)比賽中的重要性。接下來(lái)讓學(xué)生思考：田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？并讓學(xué)生把田忌所有可以采用的策略列出來(lái)，通過(guò)對(duì)照來(lái)找到答案。田忌可以采用的策略一共有6種，但只有一種也就是他所使用的方法是唯一可以獲勝的。第一場(chǎng)第二場(chǎng)第三場(chǎng)獲勝方齊王上等馬中等馬下等馬齊王田忌1上等馬中等馬下等馬齊王田忌2上等馬下等馬中等馬齊王田忌3中等馬上等馬下等馬齊王田忌

23、4中等馬下等馬上等馬齊王田忌5下等馬上等馬中等馬田忌田忌6下等馬中等馬上等馬齊王（田忌1代表他的第一種策略）最后，教材讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)田忌的這種策略在生活中還有哪些應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)策論方法在生活中的應(yīng)用。（比如乒乓球團(tuán)體比賽）教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的事例，初步體會(huì)運(yùn)籌思想和對(duì)策論方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。2使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決問(wèn)題策略的多樣性，形成尋找解決問(wèn)題最優(yōu)方案的意識(shí)。3讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。4使學(xué)生逐漸養(yǎng)成合理安排時(shí)間的良好習(xí)慣。建議：運(yùn)籌思想和對(duì)策方論的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)

24、思想方法，在這里只是讓學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的事例，初步體會(huì)運(yùn)籌思想和對(duì)策方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。學(xué)生只要能從解決問(wèn)題的多種方案中尋找出最優(yōu)的方案，初步體會(huì)優(yōu)化思想的應(yīng)用就可以了，并不要求學(xué)生一看到問(wèn)題就能從優(yōu)化的角度給出最優(yōu)的方案。另外老師在教學(xué)中也不要使用運(yùn)籌、優(yōu)化和對(duì)策等數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言進(jìn)行描述。四下數(shù)學(xué)廣角“*植樹(shù)問(wèn)題”例1是探討關(guān)于一條線(xiàn)段的植樹(shù)問(wèn)題并且兩端都要栽樹(shù)的情況，讓學(xué)生先通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖來(lái)發(fā)現(xiàn)：在一條路上植樹(shù)，如果兩端都要栽的話(huà)，栽樹(shù)的棵樹(shù)都比平均分的份數(shù)也就是間隔數(shù)多1,正好與間隔點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。例2是在例1的基

25、礎(chǔ)上繼續(xù)探討關(guān)于一條線(xiàn)段的植樹(shù)問(wèn)題的另一種情況。教材給出動(dòng)物園里綠化隊(duì)在大象館和猩猩館之間的小路兩旁栽樹(shù)的問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際情況在這條小路的兩端都不栽樹(shù)。通過(guò)探索讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩端都不栽樹(shù)時(shí)，植樹(shù)的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。例2討論的是兩端都不栽樹(shù)的情形。例3是植樹(shù)問(wèn)題的另一種情況關(guān)于一個(gè)封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題。這里借助圍棋盤(pán)的最外層每邊都能放19個(gè)棋子，求圍棋盤(pán)最外層一共可以擺多少個(gè)棋子的問(wèn)題，介紹如何解決類(lèi)似的植樹(shù)問(wèn)題。教材用直觀(guān)圖的形式展示了兩個(gè)學(xué)生解決問(wèn)題的方法。一種方法是：先看上下兩個(gè)邊，每邊是19個(gè)棋子，然后再看左右兩邊，由于上下兩邊已經(jīng)包括了兩個(gè)端點(diǎn)，所以左右兩邊每邊都少了2個(gè)棋子，只有17個(gè)，

26、把四邊上的棋子加起來(lái)就可得到最外層總共的棋子數(shù)，即19+19+17+17=72。另一種想法是：每邊都只算一個(gè)端點(diǎn)，這樣每邊正好都是18個(gè)棋子，184=72得出結(jié)果。教材這里沒(méi)有給出解決關(guān)于封閉圖形植樹(shù)問(wèn)題的規(guī)律，而是用這種直觀(guān)的方式來(lái)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有不同的發(fā)展。如果學(xué)生可以接受的話(huà)，也可以讓他們自主探索這種植樹(shù)問(wèn)題中包含的規(guī)律，即栽樹(shù)的棵數(shù)正好等于間隔數(shù)。例如，圍棋盤(pán)最外層擺放的棋子數(shù)等于最外層每?jī)蓚€(gè)棋子間的間隔數(shù)，最外層每邊有18個(gè)間隔，最外層總共擺放的棋子數(shù)是184=72。教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生通過(guò)生活中的事例，初步體會(huì)解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法。2初步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中

27、探索規(guī)律、找出解決問(wèn)題的有效方法的能力。3讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。建議：本單元就是讓學(xué)生通過(guò)生活中的簡(jiǎn)單事例，初步體會(huì)解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法和它在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，應(yīng)從實(shí)際問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的分析、思考過(guò)程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。但是，也要注意不要對(duì)例題進(jìn)行過(guò)多的變式、提高問(wèn)題的難度，造成教學(xué)要求過(guò)高。五上數(shù)學(xué)廣角“*數(shù)字編碼”數(shù)字編碼和我們的生活緊密相關(guān)，比如郵政編碼、身份證號(hào)碼、電話(huà)號(hào)碼等，在

28、這些號(hào)碼中都蘊(yùn)含著數(shù)字編碼的思想，同時(shí)也為我們的生活提供了很多便利。運(yùn)用數(shù)字或者符號(hào)來(lái)描述事物，可以比較簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表示出事物蘊(yùn)含的客觀(guān)規(guī)律，也便于我們分類(lèi)查詢(xún)和統(tǒng)計(jì)。 在這一單元我們主要是通過(guò)一些生活中的事例向?qū)W生滲透數(shù)字編碼思想，通過(guò)觀(guān)察、比較、猜測(cè)來(lái)探索數(shù)字編碼的簡(jiǎn)單方法，并通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)加以應(yīng)用。例1是通過(guò)了解郵政編碼的結(jié)構(gòu)和含義來(lái)初步體會(huì)數(shù)字編碼的方法，教材向同學(xué)們介紹了郵政編碼的結(jié)構(gòu)：郵政編碼由六位數(shù)字組成，前兩位數(shù)字表示省（直轄市、自治區(qū)）；前三位數(shù)字表示郵區(qū)；前四位數(shù)字表示縣（市），最后兩位數(shù)字表示投遞局（所）。 如448268。它的前兩位數(shù)表示省、自治區(qū)、直轄市，如44表示湖北

29、??；前三位數(shù)表示郵區(qū)代號(hào)，如448表示湖北省荊門(mén)郵區(qū)；前四位數(shù)表示縣（市）的編號(hào)，如4482代表湖北省荊門(mén)市沙洋縣郵局；最后兩位代表郵件投遞局（所）， 所以448268表示的就是湖北省荊門(mén)市沙洋縣五里郵電支局的投遞局。例2是通過(guò)了解身份證號(hào)碼中蘊(yùn)含的一些簡(jiǎn)單信息和編碼的含義進(jìn)一步體會(huì)數(shù)字編碼的方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)字編碼在我們?nèi)粘Ｉ钪械膹V泛應(yīng)用。每個(gè)公民一出生，就有一個(gè)身份證號(hào)碼。公民身份號(hào)碼是每個(gè)公民唯一的、終身不變的身份代碼，由公安機(jī)關(guān)按照公民身份號(hào)碼國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)編制的。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生小組交流討論，對(duì)身份證號(hào)碼的組成，數(shù)字的排列，每個(gè)數(shù)字表示的含義等問(wèn)題進(jìn)行思考。然后得出：身份證號(hào)碼是由18位數(shù)字

30、組成：前6位為行政區(qū)劃代碼，第7至14位為出生日期碼，第15至17位為順序碼，第18位為校驗(yàn)碼。例如510402行政區(qū)劃代碼，19620330出生日期碼，522是順序碼，1是校驗(yàn)碼。倒數(shù)第2位數(shù)字表示性別，雙數(shù)表示女性，單數(shù)表示男性。注意這里不要求學(xué)生掌握每個(gè)數(shù)字所代表的含義以及編排方法，有些學(xué)生不易理解的（比如校驗(yàn)碼）讓學(xué)生知道就可以了。根據(jù)身份證號(hào)碼，我們可以辨別身份，例如：（出示題目）先看第一個(gè)身份證號(hào)碼，1940年出生的可能是爺爺、奶奶，倒數(shù)第二位是單數(shù)，說(shuō)明是男性，因此這是爺爺?shù)纳矸葑C號(hào)碼，其余同理講解。例3和例4是在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過(guò)兩個(gè)實(shí)

31、踐活動(dòng)來(lái)運(yùn)用數(shù)字或字母進(jìn)行編碼，加深對(duì)數(shù)字編碼思想的理解。例3是讓學(xué)生給學(xué)校的每一個(gè)學(xué)生編一個(gè)學(xué)號(hào)，讓學(xué)生思考并分組討論學(xué)號(hào)中要體現(xiàn)的內(nèi)容，比如入學(xué)年份、年級(jí)、班級(jí)、班級(jí)序號(hào)、性別等，然后再根據(jù)這些內(nèi)容來(lái)設(shè)計(jì)編碼的方法，比如說(shuō)可以用1表示男生，2表示女生。教材這里只是提供了一些范例，學(xué)生可以有各自不同的設(shè)計(jì)方案，例4是讓學(xué)生給班里或?qū)W校圖書(shū)角的書(shū)籍編一個(gè)書(shū)號(hào)，和例3相比，更復(fù)雜一些，是用符號(hào)和數(shù)字的組合進(jìn)行編碼，這種編碼在生活中也是處處可見(jiàn)，比如汽車(chē)的車(chē)牌號(hào)、火車(chē)的車(chē)次、飛機(jī)的航班號(hào)以及商品的型號(hào)等，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。這種編碼比較有代表性的就是圖書(shū)的檢

32、索號(hào)，在圖書(shū)館里有成千上萬(wàn)冊(cè)的圖書(shū)，為了便于查詢(xún)和統(tǒng)計(jì)，我們給圖書(shū)也編了一個(gè)“書(shū)號(hào)”檢索號(hào)。如果熟悉了圖書(shū)的分類(lèi)及檢索方法后，就可以快速、有效地查閱自己需要的圖書(shū)。教材在這里給出一些范例，比如用字母表示書(shū)的類(lèi)別，用A表示童話(huà)故事書(shū)，還可以用序號(hào)代表捐書(shū)人的信息。學(xué)生還可以設(shè)計(jì)不同的信息和編碼方案，這里主要是讓學(xué)生體會(huì)用字母也可以進(jìn)行編碼，進(jìn)一步探索編碼的方法，經(jīng)歷用字母和數(shù)字一起進(jìn)行編碼的過(guò)程。練習(xí)中的第3題介紹國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)，它是國(guó)際上通用的比較科學(xué)合理的一種圖書(shū)編碼系統(tǒng)，外文簡(jiǎn)稱(chēng)ISBN。ISBN是由13個(gè)數(shù)字組成的，其中978代表圖書(shū)，中間的9個(gè)數(shù)字分成3組，分別表示組號(hào)、出版社號(hào)、書(shū)序號(hào)

33、，最后一個(gè)數(shù)字是校驗(yàn)碼；各部分之間用“-”或空位隔開(kāi)。其中組號(hào)是代表一個(gè)國(guó)家、地區(qū)或語(yǔ)種的編號(hào)，這個(gè)編號(hào)是由國(guó)際ISBN中心設(shè)置和分配，中國(guó)為“7”。出版社號(hào)是由地區(qū)或國(guó)家的ISBN中心設(shè)置和分配的，可以多達(dá)7位數(shù)，如人民教育出版社的出版社號(hào)是“107”。書(shū)名號(hào)是由該出版者出版的每種出版物的編號(hào)。檢驗(yàn)號(hào)是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)編號(hào)的最后一位數(shù)字。教學(xué)目標(biāo)是：1通過(guò)生活中的事例(如郵政編碼、身份證號(hào)碼、電話(huà)號(hào)碼,車(chē)牌號(hào))，使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)字編碼思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。2讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、比較、猜測(cè)來(lái)探索數(shù)字編碼的簡(jiǎn)單方法，學(xué)會(huì)用數(shù)進(jìn)行編碼，初步培養(yǎng)抽象、概括能力。3讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)在日常生活中的廣泛應(yīng)

34、用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，初步培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。4 使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣，初步學(xué)會(huì)表達(dá)和交流解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果。建議：數(shù)字編碼是一種抽象的數(shù)學(xué)思想方法，在這里只是讓學(xué)生通過(guò)日常生活中的一些實(shí)例，初步體會(huì)數(shù)字編碼在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，并通過(guò)觀(guān)察、比較、猜測(cè)來(lái)探索數(shù)字編碼的簡(jiǎn)單方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)進(jìn)行編碼，初步培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力。學(xué)生只要能從郵政編碼、身份證號(hào)碼等具體實(shí)例中初步了解蘊(yùn)含其中的一些簡(jiǎn)單信息和編碼的含義，探索出數(shù)字編碼的簡(jiǎn)單方法，并能在實(shí)踐活動(dòng)中加以應(yīng)用就可以了，并不要求學(xué)生掌握編碼中每個(gè)數(shù)字的信息和含義。另外學(xué)生在實(shí)踐中可以有不同

35、的編碼方法，教師要允許學(xué)生采用不同的形式，并且要放手讓學(xué)生親身去體會(huì)、經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和實(shí)踐能力。教師只是在必要時(shí)給以一定的點(diǎn)撥、引導(dǎo)。五下數(shù)學(xué)廣角“*找次品”例1安排了從5個(gè)物品中找次品，僅要求學(xué)生說(shuō)出找次品的方法，不需要進(jìn)行規(guī)律總結(jié)，從而讓學(xué)生感受解決問(wèn)題策略的多樣性；例2通過(guò)讓學(xué)生探索和比較找次品的多種方法，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化策略解決問(wèn)題的有效性。教學(xué)時(shí)，可先讓學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)，使其在試驗(yàn)、研討的過(guò)程中自主探索解決問(wèn)題的最優(yōu)方法。在學(xué)生匯報(bào)、交流時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)找次品的最優(yōu)策略主要基于以下兩點(diǎn)：一是把待測(cè)物品分成3份；二是要分得

36、盡量平均，能夠均分的就平均分成3份，不能均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。例如：教學(xué)目標(biāo)1. 通過(guò)觀(guān)察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化的方法解決問(wèn)題的有效性。2. 感受到數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)建議：實(shí)際教學(xué)時(shí)，多給學(xué)生一些時(shí)間，讓他們充分地操作、試驗(yàn)、討論、研究，找到解決問(wèn)題的多種策略。教師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)把待測(cè)物品平均分成3份稱(chēng)的方法最好，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行猜測(cè)：這種方法在待測(cè)物品的數(shù)量更大時(shí)是否也成立呢？從而可引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行歸納、推理等數(shù)學(xué)思考活

37、動(dòng)。這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生逐步脫離具體的實(shí)物操作，轉(zhuǎn)而采用列表、畫(huà)圖等方式進(jìn)行較為抽象的分析，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過(guò)渡。六上數(shù)學(xué)廣角“*雞兔同籠問(wèn)題”由于“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，不便于學(xué)生進(jìn)行探究，所以教材以化繁為簡(jiǎn)的思想為指導(dǎo)，先在例1中安排一道數(shù)據(jù)較小的“雞兔同籠”問(wèn)題讓學(xué)生探索解決的方法。在分析解答部分，教材首先呈現(xiàn)了學(xué)生最“樸素”的想法猜測(cè)。分別猜測(cè)雞、兔各有多少只，然后驗(yàn)證腳的只數(shù)是否對(duì)應(yīng)，通過(guò)這種不斷地猜測(cè)、嘗試最終找到答案，例1的表格可幫助學(xué)生按順序?qū)ふ掖鸢?，雖然也可以解決問(wèn)題，但當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)過(guò)程頗為繁瑣。因此引導(dǎo)學(xué)生思考更具有邏輯性和一般性的解法，教材中主要呈現(xiàn)了最典型的“假設(shè)

38、法”和列方程的解法?！凹僭O(shè)法”是一種算術(shù)方法，但有其獨(dú)特的特點(diǎn)，是一個(gè)假設(shè)計(jì)算推理解答的過(guò)程。例1中就是通過(guò)假設(shè)籠子里都是雞，然后通過(guò)計(jì)算實(shí)際與假設(shè)情況下總腳數(shù)之差，進(jìn)而推理出雞、兔的只數(shù)。實(shí)際上“假設(shè)法”可以有很多巧妙的思路，“閱讀資料”中介紹的“抬腿法”也是其中之一。列方程則是一種代數(shù)解法，通過(guò)假設(shè)雞或兔任何一個(gè)量為x，然后根據(jù)只數(shù)與腳數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系列出方程并求解即可。在日常生活中，“雞兔同籠”問(wèn)題有很多的變式，教材在“做一做”中安排的日本民間流傳的“龜鶴問(wèn)題”以及租船、植樹(shù)等實(shí)際問(wèn)題均與“雞兔同籠”本質(zhì)相同。教學(xué)目標(biāo)1. 了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。2. 嘗試用不同

39、的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題（羅列的方法、假設(shè)的方法、列方程的方法），并使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。3. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。建議1. 注意滲透化繁為簡(jiǎn)的思想。教材先編排了例1，通過(guò)化繁為簡(jiǎn)的思想，幫助學(xué)生先探索出解決該類(lèi)問(wèn)題的一般方法后，再解決孫子算經(jīng)中數(shù)據(jù)較大的原題。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注意使學(xué)生體會(huì)這一點(diǎn)。2. 適當(dāng)把握教學(xué)要求。解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，教材展示了學(xué)生逐步解決問(wèn)題的過(guò)程，即猜測(cè)、列表假設(shè)或方程解。其中假設(shè)和列方程解是解決該類(lèi)問(wèn)題的一般方法?！凹僭O(shè)法”有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，列方程解則有助于學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。因此在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生選用

40、哪種方法均可，不強(qiáng)求用某一種方法。六下數(shù)學(xué)廣角“*抽屜原理：”在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類(lèi)與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題。例如，任意13人中，至少有兩人的出生月份相同。任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^(guò)生日。在這類(lèi)問(wèn)題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說(shuō)明是通過(guò)什么方式把這個(gè)存在的物體（或人）找出來(lái)。這類(lèi)問(wèn)題依據(jù)的理論，我們稱(chēng)之為“抽屜原理”?！俺閷显怼钡睦碚摫旧聿⒉粡?fù)雜，甚至可以說(shuō)是顯而易見(jiàn)的。例如，要把三個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)兩個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)蘋(píng)果。這樣的道理對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，也是很容易理解的。但“抽屜原理”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的

41、，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題。本單元用直觀(guān)的方式，介紹了“抽屜原理”的兩種形式。例1描述的是最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”：“4支鉛筆放入3個(gè)文具盒”，教材呈現(xiàn)了兩種思考方法。第一種方法是用操作的方法進(jìn)行枚舉。通過(guò)直觀(guān)地?cái)[鉛筆，發(fā)現(xiàn)把4枝鉛筆分配到3個(gè)文具盒中一共只有四種情況（數(shù)的分解），即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結(jié)果的三個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)是不小于2的。第二種方法采用的是“反證法”或“假設(shè)法”的思路，即假設(shè)先在每個(gè)文具盒中放1枝鉛筆，3個(gè)文具盒里就放了3枝鉛筆。還剩下1枝，放入任意一個(gè)文具盒，那么這個(gè)文具盒中就有2枝鉛筆了。這種方法比第一種方法更為抽象，更

42、具一般性。在解決了“4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒”的問(wèn)題以后，可讓學(xué)生思考：把5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒，結(jié)果是否一樣呢？把6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒呢？把100枝鉛筆放進(jìn)99個(gè)文具盒呢？引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論：只要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多1，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。接著，可以繼續(xù)提問(wèn)：如果要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多2，多3，多4呢？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把 m個(gè)物體任意分放進(jìn)n 個(gè)空抽屜里（m n， n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。例2描述了“抽屜原理”更為一般的形式：“5本書(shū)放入2個(gè)抽屜”，學(xué)生仍然可以采用枚舉的方法，把5分解成兩個(gè)數(shù)，有（5，0），（4，1），（3，2

43、）三種情況。在任何一種結(jié)果中，總有一個(gè)數(shù)不小于3。更具一般性的仍然是假設(shè)的方法，即先把5本書(shū)“平均分成2份”。利用有余數(shù)除法52=21可以發(fā)現(xiàn)，如果每個(gè)抽屜放進(jìn)2本，還剩1本。把剩下的這1本放進(jìn)任何一個(gè)抽屜，該抽屜里就有3本書(shū)了。研究了“把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜”的問(wèn)題后，進(jìn)一步提出“如果一共有7本書(shū)，9本書(shū)，情況會(huì)怎樣？”的問(wèn)題，讓學(xué)生利用前面的方法進(jìn)行類(lèi)推，得出“7本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)4本書(shū)，9本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)5本書(shū)”的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生歸納出：把多于 kn個(gè)物體任意分放進(jìn) n個(gè)空抽屜里（k是正整數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少（k+1）個(gè)物體

44、。例3是“抽屜原理”的具體應(yīng)用，也是運(yùn)用“抽屜原理”進(jìn)行逆向思維的一個(gè)典型例子。教學(xué)時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生思考本例的問(wèn)題與前面所講的抽屜原理是否有聯(lián)系，有什么樣的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“抽屜問(wèn)題”，找出這里的“抽屜”是什么，“抽屜”有幾個(gè)，再應(yīng)用前面所學(xué)的“抽屜原理”進(jìn)行反向推理。例如，在本例中，根據(jù)例1中的結(jié)論“只要分的物體個(gè)數(shù)比抽屜數(shù)多，就能保證一定有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)球”就能推斷“要保證有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)球，分的物體個(gè)數(shù)至少比抽屜數(shù)多1”?，F(xiàn)在，“抽屜數(shù)”就是“顏色數(shù)”，結(jié)論就變成了：“要保證摸出兩個(gè)同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色種數(shù)多1?！?在教學(xué)中，在實(shí)際問(wèn)題和“抽屜問(wèn)題”之

45、間架起一座橋梁并不是一件容易的事。如果學(xué)生在理解時(shí)存在比較大的困難時(shí)，也可以引導(dǎo)他們這樣思考：球的顏色一共有兩種，如果只取兩個(gè)球，會(huì)出現(xiàn)三種情況：兩個(gè)紅球、一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球、兩個(gè)藍(lán)球。如果再取一個(gè)球，不管是紅球還是藍(lán)球，都能保證三個(gè)球中一定有兩個(gè)同色的。教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)建議：1應(yīng)讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過(guò)程。在小學(xué)階段，雖然并不需要學(xué)生對(duì)涉及到“抽屜原理”的相關(guān)現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，但仍可引導(dǎo)學(xué)生用直觀(guān)的方式對(duì)某一具體現(xiàn)象進(jìn)行“就事論事”式的解釋。可以鼓勵(lì)

46、學(xué)生借助學(xué)具、實(shí)物操作或畫(huà)草圖的方式進(jìn)行“說(shuō)理”。2應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個(gè)問(wèn)題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問(wèn)題”的一般模型。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。3要適當(dāng)把握教學(xué)要求。“抽屜原理” 的應(yīng)用廣泛且靈活多變，因此，用“抽屜原理”來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些困難。例如，有時(shí)要找到實(shí)際問(wèn)題與“抽屜問(wèn)題”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“抽屜”，要用幾個(gè)“抽屜”。因此，教學(xué)時(shí)，不必過(guò)于追求學(xué)生“說(shuō)理”的嚴(yán)密性，只要能結(jié)合具體問(wèn)題把大致意思說(shuō)出來(lái)就可以了，更要

47、允許學(xué)生借助實(shí)物操作等直觀(guān)方式進(jìn)行猜測(cè)、驗(yàn)證。從對(duì)數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容的梳理中我們可以看出兩點(diǎn)：每一個(gè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容認(rèn)知目標(biāo)相當(dāng)明確；數(shù)學(xué)思想方法的滲透是與解決問(wèn)題緊密聯(lián)系的。數(shù)學(xué)廣角立足數(shù)學(xué)思想方法的滲透，應(yīng)該明確三點(diǎn)： 數(shù)學(xué)思想是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)廣角教學(xué)的指導(dǎo)思想； 不能只滿(mǎn)足于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，還要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造；數(shù)學(xué)思想不可能像數(shù)學(xué)知識(shí)那樣一步到位，它需要有一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過(guò)程。三、 “數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)策略怎樣讓每一位學(xué)生能體驗(yàn) “數(shù)學(xué)思想方法”呢？這是每一位數(shù)學(xué)教師在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”時(shí)都應(yīng)該思考的問(wèn)題。這幾年我也上了數(shù)學(xué)廣角的公開(kāi)課，從這些課中能體會(huì)到要真正發(fā)揮“數(shù)學(xué)廣角”滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用，我們每一位數(shù)學(xué)教師需要做到以下四條策略。策略一：要提升數(shù)學(xué)教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。有人說(shuō)，要給學(xué)生一杯水，教師必須有一桶水。有人說(shuō)，要給學(xué)生一杯水，教師必須有長(zhǎng)流不息的小溪水。做一名有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教師，是時(shí)代的要求，也是促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生發(fā)展的迫切需