2017年全國(guó)考研數(shù)學(xué)三真題

1、2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試真題試卷數(shù)學(xué)三試題一、選擇題:18小題每小題4分，共32分1若函數(shù)在處連續(xù)，則（A）（B）（C）（D）2二元函數(shù)的極值點(diǎn)是（）（A）（B）（C）（D）3設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則（A）（B）（C）（D）4若級(jí)數(shù)收斂，則（）（A）（B）（C）（D）5設(shè)為單位列向量，為階單位矩陣，則（A）不可逆（B）不可逆（C）不可逆（D）不可逆6已知矩陣，則（A）相似，相似（B）相似，不相似（C）不相似，相似（D）不相似，不相似7設(shè)，是三個(gè)隨機(jī)事件，且相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立的充分必要條件是（）（A）相互獨(dú)立（B）互不相容（C）相互獨(dú)立（D）互不相容8設(shè)為來(lái)自正態(tài)總

2、體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若，則下列結(jié)論中不正確的是（）（A）服從分布（B）服從分布（C）服從分布（D）服從分布二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）910 差分方程的通解為11 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本，其中產(chǎn)量為，則邊際成本為.12 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知，則13 設(shè)矩陣，為線性無(wú)關(guān)的三維列向量，則向量組的秩為14設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，若，則三、解答題15（本題滿分10分）求極限16（本題滿分10分）計(jì)算積分，其中是第一象限中以曲線與軸為邊界的無(wú)界區(qū)域17（本題滿分10分）求18（本題滿分10分）已知方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，確定常數(shù)的取值范圍19（本題滿分

3、10分）設(shè)，為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1）證明的收斂半徑不小于（2）證明，并求出和函數(shù)的表達(dá)式20（本題滿分11分）設(shè)三階矩陣有三個(gè)不同的特征值，且（1）證明：；（2）若，求方程組的通解21（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，求的值及一個(gè)正交矩陣22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為（1）求概率；（2）求的概率密度23（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做了次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)參數(shù)（1）求的概率密度；（2）利用一階矩求的矩估計(jì)量；（3）

4、求參數(shù)最大似然估計(jì)量2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試真題試卷數(shù)學(xué)三試題答案一、選擇題:18小題每小題4分，共32分1解：，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足所以應(yīng)該選（A）2解：，解方程組，得四個(gè)駐點(diǎn)對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)只有在點(diǎn)處滿足，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以應(yīng)該選（D）3解：設(shè)，則，也就是是單調(diào)增加函數(shù)也就得到，所以應(yīng)該選（C）4解：iv時(shí)顯然當(dāng)且僅當(dāng)，也就是時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是關(guān)于的二階無(wú)窮小，級(jí)數(shù)收斂，從而選擇（C）5解：矩陣的特征值為和個(gè)，從而的特征值分別為；顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選（A）6解：矩陣的特征值都是是否可對(duì)解化，只需要關(guān)心的情況對(duì)于矩陣，秩等于1，也就是矩陣

5、屬于特征值存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是可以對(duì)角化，也就是對(duì)于矩陣，秩等于2，也就是矩陣屬于特征值只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是不可以對(duì)角化，當(dāng)然不相似故選擇（B）7解：顯然，與相互獨(dú)立的充分必要條件是，所以選擇（C）8解：（1）顯然且相互獨(dú)立，所以服從分布，也就是（A）結(jié)論是正確的；（2），所以（C）結(jié)論也是正確的；（3）注意，所以（D）結(jié)論也是正確的；（4）對(duì)于選項(xiàng)（B）：，所以（B）結(jié)論是錯(cuò)誤的，應(yīng)該選擇（B）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9解：由對(duì)稱性知10解：齊次差分方程的通解為；設(shè)的特解為，代入方程，得；所以差分方程的通解為11解：

6、答案為平均成本，則總成本為，從而邊際成本為12解：，所以，由，得，所以13解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無(wú)關(guān)，所以向量組的秩為214解：顯然由概率分布的性質(zhì)，知，解得，三、解答題15（本題滿分10分）解：令，則，16（本題滿分10分）解：17（本題滿分10分）解：由定積分的定義18（本題滿分10分）解：設(shè)，則令，則，所以在上單調(diào)減少，由于，所以當(dāng)時(shí)，也就是在上單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)，進(jìn)一步得到當(dāng)時(shí)，也就是在上單調(diào)減少，也就是得到19（本題滿分10分）解：（1）由條件也就得到，也就得到也就得到，所以收斂半徑（2）所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)，由和函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以也就是有解微分方程，得，由于，得所以20（本題滿分11分）解：（1）證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是假若時(shí)，則是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因?yàn)?，也就是線性相關(guān)，也就只有（2）因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量由于，所以基礎(chǔ)解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)21（本題滿分11分）解：二次型矩陣因?yàn)槎涡偷臉?biāo)準(zhǔn)形為也就說(shuō)明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為通過(guò)分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣22（本題滿分11分）解：（1）所以（