布萊克-斯科爾斯模型課件

1、布萊克斯科爾斯模型,BS Model,布萊克-斯科爾斯模型,一. 金融資產的價格特征,布萊克-斯科爾斯模型,正態(tài)分布現象在自然界和社會中是一種常見現象。那么，金融資產的價格是否也具有正態(tài)分布的特點呢？ 符合正態(tài)分布的變量一般可以取負值，金融資產的價格就不可能取負值。因此價格不符合正態(tài)分布的假設。 但收益卻可以取負值，收益通常符合正態(tài)分布的假設,布萊克-斯科爾斯模型,在現實金融市場上，絕大多數的金融產品如價格、利率等的變化，都呈對數正態(tài)分布。BS模型就是以此假定作為基礎。 假定： 投資者以100元的價格買入某種股票，如果股價一開始上升10%，然后又下跌10%，股價是否回到初始狀態(tài)100元呢？最終

2、結果是99元，而不是100元,布萊克-斯科爾斯模型,計算結果如下： 價格上漲10%：10010%10, S1=100+10=110 價格下降10%：110（10）11, S2=110 - 11=99 結果：價格小于初始水平,布萊克-斯科爾斯模型,也可以將相對價格相乘而獲得同樣的結果，即： 110/100=1.10 以及 99/110=0.90 相對價格的乘積為： 1.100.90=0.99 再將此結果乘以初始價格就是所得到結 果,布萊克-斯科爾斯模型,我們還可以取相對價格的對數之和計算： ln(110/100)0.0953 ln(99/110) 0.1054 根據兩個數字的對數之和等于其乘積的

3、對數，有： ln (110/100)(99/110) 0.0101 由于， 與前一種方法計算結果相同,布萊克-斯科爾斯模型,在金融領域，采用相對價格的對數比采用相對價格本身計算，應用更為廣泛。 首先，將相對價格的對數定義為收益： （1,布萊克-斯科爾斯模型,例如：當初始價格為100，第一期收益提高（10%），第二期收益下降（10%），由式（1）計算得到： 價格回到初始水平,布萊克-斯科爾斯模型,收益通常符合正態(tài)分布。 例如，投資者以100元的價格買入一種股票，投資收益增長10%的可能性或概率，與收益減少-10%的可能性同樣存在。所以，收益符合正態(tài)分布的特征,布萊克-斯科爾斯模型,收益正態(tài)分布,

4、隨機密度,收益,布萊克-斯科爾斯模型,現在，我們求證價格分布的特征。 設：價格每年上漲10%，四年內價格分別如下： 100; 110.52; 122.14; 134.99; 149.18。 后一年的價格變動幅度大于前一年的價格變動幅度。 再看： 價格每年下降10%,四年內價格分別如下： 100; 90.48; 81.87; 74.08; 67.03。 后一年的價格變動幅度小于前一年的價格變動幅度,布萊克-斯科爾斯模型,連續(xù)價格變動的刻度標示,100,110.52,122.14,134.99,149.18,90.48,81.87,74.08,67.03,連續(xù)價格遞增,連續(xù)價格遞減,布萊克-斯科爾

5、斯模型,從上述分析可知，價格的分布將是扭曲的正態(tài)分布，稱之為對數正態(tài)分布。價格上漲時，分布呈擴張型態(tài)；價格下跌時，分布呈壓縮型態(tài),布萊克-斯科爾斯模型,價格對數正態(tài)分布,隨機密度,價格,布萊克-斯科爾斯模型,現在我們回到收益定義：“收益為相對價格的對數”，由于收益呈正態(tài)分布，滿足： （2） 式中， 均值，這里指年收益率 方差開根，這里指年收益標準差,布萊克-斯科爾斯模型,由上式（2）可知，價格的對數（不僅相對價格的對數）也是正態(tài)分布，因為： （3） 其中S0是常數, ln(S0)=0,布萊克-斯科爾斯模型,由式（2），還可得到： 以及預期收益： （5,布萊克-斯科爾斯模型,根據期望值的對數與對

6、數的期望值之間的關系，如果x是一隨機變量，則有： ln E(x) = E ln(x) + 0.5 var ln(x) 其中,布萊克-斯科爾斯模型,所以，相對價格的期望就可以表達如下,布萊克-斯科爾斯模型,小結,利用相對價格的自然對數估算收益。 式（1） 收益遵循正態(tài)分布。式（2） 價格遵循對數正態(tài)分布。式（4） 相對價格的期望表達式（6,布萊克-斯科爾斯模型,二. 期權定價的BS模型,布萊克-斯科爾斯模型,金融資產的合理價格是這種資產的期望值。這一原理同樣適用于期權。 期權到期時的合理價格就是可能出現的每一種價值與其概率的乘積之和。 期權可以取任意多的價值，所以應該采用連續(xù)分布。 在連續(xù)分布條

7、件下，某一范圍的特定結果的概率應由該段曲線以下的面積來表示,布萊克-斯科爾斯模型,根據看漲期權的定義，期權到期時的期望值是,布萊克-斯科爾斯模型,期權到期時，基礎資產價格有兩種可能： 1. 如果 期權到期時溢價，并且,ST X,max（STX,0）STX,布萊克-斯科爾斯模型,2. 如果 期權到期時損價，并且,ST X,max（STX,0）0,布萊克-斯科爾斯模型,如果把P定義為STX的概率，那么（7）式可以重新表達為： 其中， EST|STX 當ST X時，ST的期望值。 P ST X的概率,布萊克-斯科爾斯模型,上式（）就是看漲期權到期時的期望值。那么，在期權交易之初的合理價格就是對式（）

8、的貼現值。 于是，期權的價格表達如下,布萊克-斯科爾斯模型,至此，我們可以將期權定價的復雜問題轉化為兩個相對簡單的問題： . 確定即期權到期時溢價的概率。 . 確定EST|STX 即期權到期時溢 價的話，基礎資產的期望值,布萊克-斯科爾斯模型,以上兩個問題的答案可以從基礎金融資產價格呈對數正態(tài)分布的特征出發(fā)來求解,布萊克-斯科爾斯模型,導出概率 這一問題是要求解期權到期時，基礎資產價格超過期權執(zhí)行價格的概率。 這一問題的性質等同于：求解同樣時期收益超出某種既定值的概率。由于收益呈正態(tài)分布，比起對數正態(tài)分布更容易處理，故我們先從收益入手,布萊克-斯科爾斯模型,此前，我們已經將收益定義為相對價格的

9、對數，所求出的概率必須滿足,布萊克-斯科爾斯模型,在正態(tài)分布條件下，變量大于某種既定值xc的概率可由下式表達,布萊克-斯科爾斯模型,如何求解上式中的和呢？ 1. 的求解。 請回顧在前面式（）中，已經給出求解相對價格期望值的表達式。如果我們以 則可以將公式（）改寫為如下形式,布萊克-斯科爾斯模型,據此，我們可以將公式（）表述如下： 這就是所要求解的平均收益的表達式,布萊克-斯科爾斯模型,在前述式（）中，收益的標準差被定義為 將式（）和式（）合并，有,布萊克-斯科爾斯模型,正態(tài)分布的對稱性意味著： N（d）=N（） 于是，我們所要求解的概率，就表述如下,布萊克-斯科爾斯模型,的確定 為了求出基礎金

10、融資產到期時的期望值 EST|STX的表達式，需要將正態(tài)分布曲線 從至的值加總起來。期望值公式的推導 過程比較復雜，這里給出最終結果如下,布萊克-斯科爾斯模型,其中,布萊克-斯科爾斯模型,期權定價兩大問題的匯總,回顧一下，期權定價要解決的兩大問題： . 確定即期權到期時溢價的概率。 . 確定EST|STX 即期權到期時溢 價的話，基礎資產的期望值。 現在，我們可以將這兩部分的計算公式（）和（）代入前面的期權定價公式（），就是看漲期權的定價模型,布萊克-斯科爾斯模型,期權定價模型,看漲期權的模型,布萊克-斯科爾斯模型,三.模型的基本假設,收益呈正態(tài)分布，價格呈對數正態(tài)分布。 基礎金融資產的交易數

11、量不限。 允許空頭出售。 期權有效期內，基礎資產不支付紅利或股息，且無其它任何形式的收益。 無風險利率，復利計息。 歐式期權,布萊克-斯科爾斯模型,沒有交易成本、稅收及任何額外費用。 基礎資產價格的變動具有連續(xù)性。 價格和利率的波動率為常數,布萊克-斯科爾斯模型,模型的最大優(yōu)點： .容易計算 .定價較為合理可靠 在實務中，當實際情形與模型的嚴格假設條件不一致時，只需對模型作簡單的調整即可加以應用。無需采用更為復雜的定價模型。所以，得到廣泛的運用,布萊克-斯科爾斯模型,例如，現實條件下，金融資產的價格分布并非滿足嚴格的對數正態(tài)假設，而是“胖尾”分布，原因在于市場價格有時會出現跳躍性變化。如何在期

12、權定價時反映出市場價格的這種跳躍式變化呢？ 一般處理：不是另外重構一個新的模型直接反映這種“胖尾”特征，而是直接在模型基礎上，插入一個較大的波動率數值，就可對溢價和損價期權定價。結果，相對于平價期權而言，溢價和損價期權的價格提高了，這恰好反映了價格波動率較大的事實,布萊克-斯科爾斯模型,四.跌漲平價定理,由上所述，我們已經求出看漲期權的定價公式。如何求解看跌期權的定價公式呢？我們可以利用看漲期權與看跌期權之間的內在聯系，導出看跌期權的定價公式。不需要建立獨立的模型考慮看跌期權的定價問題 跌漲平價定理 構造由若干筆交易構成的組合金融資產,布萊克-斯科爾斯模型,組合金融資產的構造方式如下： 出售一

13、份歐式看漲期權，到期時間為，執(zhí)行價格為。 買入一份具有同樣期限和執(zhí)行價格的歐式看跌期權。 借入一筆資金，數額為。以無風險利率計息。 買入基礎金融資產,布萊克-斯科爾斯模型,在上述資產組合中，如果假定基礎 資產的初始價格為0，看漲期權的價格 為，看跌期權的價格為。那么，按 上述方式構造的組合所產生的現金流 為：（這里假定具有相同執(zhí)行價格的期 權具有相同的期權費或期權價格,布萊克-斯科爾斯模型,期權到期時，這樣一筆資產組合的價值到底如何呢？ 。如果t ，看漲期權將被執(zhí)行，交付基礎資產，收取執(zhí)行價格，正好用于償還所借資金。看跌期權到期時無內在價值。資產組合的現金流量凈值為零。 。如果t ，看跌期權將

14、被執(zhí)行，交付基礎資產，收取執(zhí)行價格，正好用于償還所借資金。看漲期權到期時無內在價值。資產組合的現金流量凈值也為零,布萊克-斯科爾斯模型,如果t ，看漲期權與看跌期權均無內在價值，可以在市場上以通行價格出售基礎資產，獲取出售所得，正好用于償還所借資金。資產組合的現金流量凈值還是為零。 由此可見，無論期權到期時，基礎金融資產的市場價格如何，上述資產組合的交易凈值始終為零。 如果一種資產組合的最終結果為零，則其初始價值也應該為零，否則就有套利機會存在,布萊克-斯科爾斯模型,因此： 由此，我們就可以從看漲期權的定價分析中 直接導出看跌期權的價格,布萊克-斯科爾斯模型,跌漲平價定理的基礎是“風險中性”假

15、設。其核心是將期權與基礎金融資產按一定的比例組合成無風險資產組合。 無風險資產組合是指：不管市場價格出現什么變化，最終的金融結果相同。因此對未來的現金流量要以無風險利率貼現。 無風險資產組合與投資者風險偏好無關，因此在風險回避型投資者和風險偏好型投資者看來，無風險資產的價值相等,布萊克-斯科爾斯模型,風險中性”假設并不是說：所有金融資產都會按照無風險利率增值，而是說不管我們采用無風險利率還是采用某種更高的利率，所得出的期權價格將是相同的。如果選擇某種較高的利率，基礎資產就以較快的收益率增值，但同時期權的價格也以較快的速度增值，兩種效應互為抵消,布萊克-斯科爾斯模型,五. 結語,模型是當今期權定價理論的基石。這一模型首次為期權定價提供了一種有效而可靠的工具。此后發(fā)展擴大到對許多不同類型的期權定價。 以外匯領域的貨幣期權為例，其基礎資產是外匯。如果外匯是貨幣存款的話，應該獲得相應利息收入。這一實際情形與模型的假設條件不符,布萊克-斯科爾斯模型,為了對這種期權定價，就需對標準的模型進行修正，修正后的模型就適合對貨幣期權定價,布萊克-斯科爾斯模型,而且，