統計學教案習題05方差分析

1、.第五章 方差分析一、教學大綱要求（一）掌握內容1方差分析基本思想（1） 多組計量資料總變異的分解，組間變異和組內變異的概念。（2） 多組均數比較的檢驗假設與F值的意義。（3）方差分析的應用條件。2常見實驗設計資料的方差分析 （1）完全隨機設計的單因素方差分析：適用的資料類型、總變異分解（包括自由度的分解）、方差分析的計算、方差分析表。（2）隨機區(qū)組設計資料的兩因素方差分析：適用的資料類型、總變異分解（包括自由度的分解）、方差分析的計算、方差分析表。（3）多個樣本均數間的多重比較方法： LSD-t檢驗法；Dunnett-t檢驗法；SNK-q檢驗法。（二）熟悉內容多組資料的方差齊性檢驗、變量變換

2、方法。（三）了解內容兩因素析因設計方差分析、重復測量設計資料的方差分析。二、教學內容精要(一) 方差分析的基本思想1 基本思想 方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根據資料的設計類型，即變異的不同來源將全部觀察值總的離均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某個因素的作用（或某幾個因素的交互作用）加以解釋，如各組均數的變異SS組間可由處理因素的作用加以解釋。通過各變異來源的均方與誤差均方比值的大小，借助F分布作出統計推斷，判斷各因素

3、對各組均數有無影響。2分析三種變異（1）組間變異：各處理組均數之間不盡相同，這種變異叫做組間變異（variation among groups），組間變異反映了處理因素的作用（處理確有作用時 ），也包括了隨機誤差（ 包括個體差異及測定誤差 ）, 其大小可用組間均方（MS組間）表示，即 MS組間= ， 其中，SS組間= ，=k-1為組間自由度。k表示處理組數。（2）組內變異：各處理組內部觀察值之間不盡相同，這種變異叫做組內變異(variation within groups)，組內變異反映了隨機誤差的作用，其大小可用組內均方 () 表示， ，其中, ，為組內均方自由度。 （3）總變異：所有觀察值

4、之間的變異（不分組），這種變異叫做總變異(total variation)。其大小可用全體數據的方差表示， 也稱總均方(MS總 )。按方差的計算方法，MS總= ，其中SS總=, k為處理組數，為第i組例數，=N-1為總的自由度， N表示總例數。（二）方差分析的應用條件（1） 各樣本是相互獨立的隨機樣本，且來自正態(tài)分布總體。（2） 各樣本的總體方差相等，即方差齊性(homoscedasticity)。（三）不同設計資料的方差分析1完全隨機設計的單因素方差分析（1）資料類型：完全隨機設計(completely random design)是將受試對象完全隨機地分配到各個處理組。設計因素中只考慮一個

5、處理因素，目的是比較各組平均值之間的差別是否由處理因素造成。(2) 方差分析表：見表5-1。FF時，拒絕H0: 。表5-1 完全隨機設計方差分析計算表來源SSMSF值組間SS組間MS組間= F=組內(誤差)SS組內=SS總 SS組間=-=N- kMS組內=總計SS總= N 1 2隨機區(qū)組設計的兩因素方差分析 （1）資料類型：隨機區(qū)組設計（randomized block design）是將受試對象按自然屬性（如實驗動物的窩別、體重，病人的性別、年齡及病情等）相同或相近者組成單位組（區(qū)組），然后把每個組中的受試對象隨機地分配給不同處理。設計中有兩個因素，一個是處理因素，另一個是按自然屬性形成的單

6、位組。單位組的選擇原則是“單位組間差別越大越好，單位組內差別越小越好”。 （2）方差分析表：見表5-2。F處理F時，拒絕H0: 。表5-2 隨機區(qū)組設計方差分析計算表變異來源SSMSF值處理組間 SS處理= k-1MS處理= F處理 = 單位組間 SS單位= b-1MS單位=F單位 = 誤差SS誤差= SS總- SS處理- SS單位=- =N-k-n+1MS誤差= 總計 SS總 = N-13多個樣本均數的多重比較如果方差分析結果表明各組間有顯著差別，則需要進一步進行兩兩比較，也稱均數間的多重比較（multiple comparison）。進行兩兩比較的方法主要有：（1） LSD-t檢驗：稱為最

7、小顯著差異t檢驗。適用于k組中某一對或某幾對在專業(yè)上有特殊意義的均數間差異的比較。檢驗統計量為t值，自由度為方差分析表中的誤差自由度，查t界值表。 其中 （5-1）（2） Dunnett-t檢驗：它適用于k-1個試驗組與一個對照組均數差別的多重比較，檢驗統計量為t值，自由度為方差分析表中的誤差自由度，查Dunnet-t界值表。 ，其中= （5-2） （3）SNK-q檢驗：在方差分析結果拒絕H0時采用。適用于所有組均數的兩兩比較。檢驗統計量為q，自由度為比較組數a和方差分析表中的誤差自由度，查q界值表。 其中， (5-3)4多組資料方差起行檢驗當各組標準差相差較大（如1.5倍）時，需檢驗資料是否

8、滿足方差齊性的條件。5. 變量變換當資料不能滿足方差分析的條件時，如果進行方差分析，可能造成錯誤的判斷。因此對于明顯偏離上述應用條件的資料，可以通過變量變換的方法來加以改善。常用的變量變換方法有： （1）對數變換 對數變換不僅可以將對數正態(tài)分布的數據正態(tài)化，還能使數據方差達到齊性，特別是各樣本的標準差與均數成比例或變異系數接近于一個常數時。變換公式為： (5-4)當原始數據中有小值或零時，可用（2）平方根變換 常用于使服從Possion分布的計數資料或輕度偏態(tài)的資料正態(tài)化；當各樣本的方差與均數呈正相關時，可使資料達到方差齊性。變換公式為： (5-5)當原始數據中有小值或零時，可用 （3）倒數變

9、換 常用于數據兩端波動較大的資料，可使極端值的影響減小。變換公式為： (5-6) （4）平方根反正弦變換 常用于服從二項分布的率或百分比資料。一般地，當總體率較?。?0%）時，通過平方根反正弦變換，可使資料接近正態(tài)，且達到方差齊性的要求。變換公式為： (5-7)（5）秩轉換后，采用秩和檢驗比較組間差別（祥見第九章）。6兩因素析因設計方差分析處理含有兩因素兩水平的全面組合。例如治療腫瘤術后病人，可采用4種方法：既不放療也不化療（a0b0）；放療不化療（a1b0）；不放療化療（a0b1）；既放療又化療（a1b1）。設放療為A因素（兩水平），化療為B因素（兩水平），則構成22析因設計，目的是分析A的

10、主效應，B的主效應及AB的交互作用。7重復測量資料的方差分析受試對象隨機分組后，多次測量某一觀察指標，以比較處理效應在不同時間點有無變化。如試驗組和對照組的輕度高血壓病人入院前、治療后1天、2天、3天、4天的血壓變化。設處理分組為A因素，重復測量的時間點為B因素，目的是分析A的主效應和AB的交互作用。三、典型試題分析1完全隨機設計資料的方差分析中，必然有（ ）ASS組內SS組間 BMS組間MS組內CMS總=MS組間+MS組內 DSS總=SS組間+SS組內答案：D評析 本題考點：方差分析過程中離均差平方和的分解、離均差平方和與均方的關系。方差分析時總變異的來源有：組間變異和組內變異，總離均差平方

11、和等于組間離均差平方和與組內離均差平方差之和，因此，等式SS總=SS組間+SS組內是成立的。離均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式關系，因此C選項不成立。A、B選項不一定成立。D選項為正確答案。 2單因素方差分析中，當P0.05時，可認為（ ）。A各樣本均數都不相等 B各總體均數不等或不全相等C各總體均數都不相等 D各總體均數相等答案：B評析 本題考點：方差分析的檢驗假設及統計推斷。方差分析用于多個樣本均數的比較，它的備擇假設（H1）是各總體均數不等或不全相等，當P0.05時，接受H1，即認為總體均數不等或不全相等。因此答案選B。 3. 以下說法中不正確的是（ ）A方差除以其自由度就是均

12、方B方差分析時要求各樣本來自相互獨立的正態(tài)總體C方差分析時要求各樣本所在總體的方差相等D完全隨機設計的方差分析時，組內均方就是誤差均方 答案：A 評析 本題考點：方差分析的應用條件及均方的概念。 方差就是標準差的平方，也就是均方，因此選項A是錯誤的。選項B、C是方差分析對資料的要求，因此選項B和C都是正確的。在完全隨機設計的方差分析中，組內均方就是誤差均方，D選項也是正確的。 4. 當組數等于2時，對于同一資料，方差分析結果與t檢驗結果（ ） 。A.完全等價且F = t B.方差分析結果更準確 C.t檢驗結果更準確 D.完全等價且 答案：D 評析本題考點：方差分析與t檢驗的區(qū)別與聯系。對于同一

13、資料，當處理組數為2時，t檢驗和方差分析的結果一致且，因此，正確答案為D。 5. 完全隨機設計與隨機單位組設計相比較（ ）。 A.兩種設計試驗效率一樣 B.隨機單位組設計的誤差一定小于完全隨機設計 C.隨機單位組設計的變異來源比完全隨機設計分得更細 D.以上說法都不對 答案：C。 評析：本題考點：兩種設計及其方差分析的區(qū)別。兩種設計不同，隨機區(qū)組設計除處理因素外，還考慮了單位組因素。進行方差分析時，變異來源多分解出一項：單位組間變異。因此C選項為正確答案。四、習 題（一） 名詞解釋 1均方 2方差分析基本思想 3總變異 4組間變異 5組內變異 6完全隨機設計 7隨機區(qū)組設計（二） 單項選擇題1

14、 兩樣本均數的比較，可用（ ）。A方差分析 Bt檢驗C兩者均可 D方差齊性檢驗2配伍組設計的方差分析中，配伍等于（ ）。A總-誤差 B總-處理C總-處理+誤差 D總-處理-誤差 3在均數為，標準差為的正態(tài)總體中隨機抽樣，（ ）的概率為5%。 A1.96 B C D. 4當自由度（1,2）及顯著性水準都相同時，方差分析的界值比方差齊性檢驗的界值（ ）。A大 B小 C相等 D不一定 5方差分析中變量變換的目的是（ ）。A方差齊性化 B曲線直線化 C變量正態(tài)化 D以上都對 6下面說法中不正確的是（ ）。 A方差分析可以用于兩個樣本均數的比較 B完全隨機設計更適合實驗對象變異不太大的資料 C在隨機區(qū)組

15、設計中，每一個區(qū)組內的例數都等于處理數 D在隨機區(qū)組設計中，區(qū)組內及區(qū)組間的差異都是越小越好 7隨機單位設計要求（ ）。 A單位組內個體差異小，單位組間差異大 B單位組內沒有個體差異，單位組間差異大 C單位組內個體差異大，單位組間差異小 D單位組內沒有個體差異，單位組間差異小 8完全隨機設計方差分析的檢驗假設是（ ）。 A各對比組樣本均數相等 B各對比組總體均數相等 C各對比組樣本均數不相等 D各對比組總體均數不相等 9完全隨機設計、隨機區(qū)組設計的SS和及自由度各分解為幾部分（ ）。 A2，2 B2，3 C2，4 D3，3 10配對t檢驗可用哪種設計類型的方差分析來替代（ ）。 A完全隨機設計

16、 B隨機區(qū)組設計 C兩種設計都可以 DAB都不行 （三）簡答題1t檢驗和方差分析的應用條件？2如何合理選擇檢驗水準？3以t檢驗為例，說明檢驗假設中和P的區(qū)別。 （四）計算題1某湖水在不同季節(jié)氯化物含量測定值如表5-3所示。問不同季節(jié)氯化物含量有無差別？若有差別，進行32個水平的兩兩比較。 表5-3 某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L）春夏秋冬22.619.118.919.022.822.813.616.921.024.517.217.616.918.015.114.820.015.216.613.121.918.414.216.921.520.116.716.221.221.219.614.8

17、167.9159.3131.9129.3 588.40888832 20.99 19.9116.4916.16 18.393548.513231.952206.272114.1111100.843.53 8.564.513.47 2根據表5-4資料說明大白鼠感染脊髓灰質炎病毒后，再做傷寒或百日咳接種是否影響生存日數？若結論為“有影響”，請做多重比較（與對照組比）。表5-4 各組大鼠接種后生存日數傷寒百日咳對照 56 8 76 9 8710 9810 981010911109121110121110141211169284112288101010309.28.411.29.68867321306

18、29244.42.935.733有三種抗凝劑（A1，A2，A3）對一標本作紅細胞沉降速度（一小時值）測定，每種抗凝劑各作5次，問三種抗凝劑對紅細胞沉降速度的測定有無差別？ A1：15 11 13 12 14 A2：13 16 14 17 15 A3：13 15 16 14 124用Dunnett-t法檢驗下表中四個處理組均數與對照組的均數的差別。表5-5 家免腦損傷后大腦左半球組織水含量（%）試驗分組nS對照（未損傷）878.860.43損傷后0.5小時579.650.68損傷后3小時579.770.66損傷后6小時880.940.75治療組979.610.66 5將36只大白鼠按體重相近的原

19、則配為12個單位組，各單位組的3只大白鼠隨機地分配到三個飼料組。一個月后觀察尿中氨基氮的排出量（mg）。經初步計算，。試列出該實驗數據的方差分析表。6將18名原發(fā)性血小板減少癥患者按年齡相近的原則配為6個單位組，每個單位組中的3名患者隨機分配到A、B、C三個治療組中，治療后的血小板升高見表5-6，問3種治療方法的療效有無差別？表5-6 不同人用鹿茸草后血小板的升高值 （104/mm3）年齡組ABC13.86.38.024.66.311.937.610.214.148.6 9.214.756.4 8.113.066.2 6.913.47某研究人員以0.3ml/kg劑量純苯給大鼠皮下注射染毒，每周

20、3次，經45天后，使實驗動物白細胞總數下降至染毒前的50%左右，同時設置未染毒組。兩組大鼠均按照是否給予升高白細胞藥物分為給藥組和不給藥組，試驗結果見下表，試作統計分析。表5-7 試驗效應指標（吞噬指數）數據未染毒組染毒組 不給藥 給藥 不給藥 給藥3.803.881.851.943.903.842.012.254.063.962.102.033.853.921.922.103.843.802.042.08五、 習題答題要點（一） 名詞解釋 1均方：均方差（MS）或方差，是由離均差平方和被自由度相除而得。 2方差分析：方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是根據資料

21、的設計類型，即變異的不同來源將全部觀察值總的離均差平方和與自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某個因素的作用（或某幾個因素的交互作用）加以解釋。通過各變異來源的均方與誤差均方比值的大小，借助F分布作出統計推斷，判斷各因素對觀測指標有無影響。 3總變異：樣本中全部實驗單位差異稱為總變異。其大小可以用全部觀察值的均方（方差）表示。 4組間變異：各處理組樣本均數之間的差異，受處理因素的影響，這種變異稱為組間變異，其大小可用組間均方表示。 5組內變異： 各處理組內部觀察值大小不等，這種變異稱為組內變異，可用組內均方表示。 6完全隨機設計：只考慮一個處理因素，將全部受試對象隨

22、機分配到各處理組，然后觀察實驗效應，這種設計叫做完全隨機設計。 7隨機區(qū)組設計：事先將全部受試對象按自然屬性分為若干區(qū)組，原則是各區(qū)組內的受試對象的特征相同或相近，且受試對象數與處理因素的水平數相等。然后再將每個區(qū)組內的觀察對象隨機地分配到各處理組，這種設計叫做隨機區(qū)組設計。（二） 單項選擇題 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.B 9.B 10.B （三） 簡答題 1 t檢驗和方差分析均要求各樣本來自相互獨立的正態(tài)總體且各總體方差齊。 2設置檢驗水準應根據研究目的，結合專業(yè)知識和研究設計要求，在末獲得樣本信息之前決定，而不應受到樣本結果的影響。3以t檢驗為例，和P都是

23、用t分布尾部面積大小表示，所不同的是：表示I型錯誤的概率，即H0為真而被錯誤地拒絕的概率值。是在統計分析時，根據I型錯誤危害的大小，預先規(guī)定的，即規(guī)定統計結果為“接受 H1” 時的誤判率的界限值為（即檢驗水準）。P值是由實際樣本得出的統計結果為“接受 H1” 時誤判率。根據P與的大小關系作出“不拒絕H0”或“拒絕H0”的統計推斷。 （四）計算題 1完全隨機設計單因素芳差分析解：H0：4個季節(jié)湖水中氯化物含量相等，即1=2=3=4 H1：4個季節(jié)湖水中氯化物含量不等或不全相等。=0.05表5-8 方差分析表變異來源SSMSF總變異組間變異組內變異281.635141.170140.4653132

24、847.0575.0179.380查F界值表，。因F所以P0.05。按=0.05水準，拒絕H0，接受H1，認為不同季節(jié)湖水中氯化物含量不同或不全相同。用SNK-q檢驗進行各組均數間兩兩比較。 H0：任意兩對比組的總體均數相等，A=BH1：AB=0.05表5-9 四個樣本均數順序排序組別春夏秋冬位次20.99119. 91216.49316.164表5-10 四組均數兩兩比較q檢驗對比組兩均數之差組數q值P值1 , 41 , 31 , 22 , 42 , 33 , 44. 834. 501. 083. 303. 420. 334323226. 0995. 6821.3644. 7354. 319

25、0. 4170.010.050.010.05春與夏、秋與冬湖水中氯化物含量P0.05，按=0.05水準，不拒絕H0，即不能認為春與夏、秋與冬季湖水中氯化物含量有差別。而其它4組均有P0.01，按=0.05水準，拒絕H0，接受H1，即認為春夏兩季湖水中氯化物含量高于秋冬兩季。 2完全隨機設計單因素芳差分析H0：大白鼠感染脊髓灰質炎病毒后，再接種傷寒或百日咳菌苗生存日數相等 H1：大白鼠感染脊髓灰質炎病毒后，再接種傷寒或百日咳菌苗生存日數不等或不全相等 =0.05 表5-11方差分析表變異來源SSMSF總變異組間變異組內變異159.2 41.6117.629 22720.80 4.364.77查F界值表，。因F 得P 0.05，按=0.05水準，拒絕H0，接受H1，認為大白鼠感染脊髓灰質炎病毒后，再接種傷寒或百日咳菌苗對生存日數有影響用Dunnet-t檢驗方法進行均數間多重比較：H0：任一組與對照組總體均數相同 H1：任一組與對照組總體均數不同=0.05由Dunnett-t檢驗公