培優(yōu)專練之全等三角形中的等腰旋轉(zhuǎn)

1、培優(yōu)專練之全等三角形中的等腰旋轉(zhuǎn)(附提示）1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若BCA=90，則BC+AC的值為_ 【提示】可將OBC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90，所得的圖形與OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.2已知等腰直角中，點為斜邊的中點，.（1）如圖，點在邊上，與的延長線交于點，探索、的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論. （2）如圖，點在邊上，與交于點，探索、的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論. 【提示】(1)，連結(jié)OC，過點O作，交CB的延長線于點H，證明，繼而根據(jù)線段的和差即可證得結(jié)論；(

2、2)如圖，連結(jié)OC，過點O作，同理可證，繼而根據(jù)線段的和差進(jìn)行推導(dǎo)即可.3如圖，在四邊形中，對角線平分，求證：. 【提示】如圖，過點D作，交BA的延長線于E，交BC的延長線于F，證明為等腰直角三角形，繼而證明，即可得結(jié)論.4如圖，在中，為銳角，點為直線上一動點，以為直角邊且在的右側(cè)作等腰直角三角形，.（1）如果，.當(dāng)點在線段上時，如圖1，線段、的位置關(guān)系為_，數(shù)量關(guān)系為_當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖2，中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.（2） 如圖3，如果，點在線段上運動。探究：當(dāng)多少度時，？5如圖，在四邊形ABCD中，C=60，A=30，CD=BC（1）求B+D的度數(shù)（2）連接AC，探究AD

3、，AB，AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）若BC=2，點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足DE2=CE2+BE2，求點E運動路徑的長度【提示】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理計算即可； （2）如圖，將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60，得到QDC，連接AQ，證明QDA=90，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論； （3）如圖中，將BCE繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60，得到CDF，連接EF，想辦法證明BEC=150即可解決問題. 6如圖，O為正方形ABCD對角線的交點，E為AB邊上一點，F(xiàn)為BC邊上一點，EBF的周長等于BC的長（1）若AB=12，BE=3，求EF的長；（2）求EOF的度數(shù)；【提示】（1）設(shè)BF=x，則FC=12

4、-x，根據(jù)EBF的周長等于BC的長得出EF=9-x，RtBEF中利用勾股定理求出x的值即可得；（2）在FC上截取FM=FE，連接OM首先證明EOM=90，再證明OFEOFM（SSS）即可解決問題；7問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，B+D180，ABAD，BAD，以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且EAF，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)BADBD90時”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為_（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)

5、量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由（3）解決問題如圖（3），在ABC中，BAC90，ABAC4，點D，E均在邊BC上，且DAE45，若BD，請直接寫出DE的長【提示】（1）將ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到ADG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AEAG，BEDG，BAEDAG，根據(jù)EAF=BAD可得BAE+DAF45，即可得出EAFFAG，利用SAS可證明AFEAFG，可得EF=FG，進(jìn)而可得EF=BE+FD；（2）將ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDH，根據(jù)BAD，EAF可得BAE+FAD，進(jìn)而可證明FAHEA

6、F，利用SAS可證明AEFAHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）將AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到AEB，連接DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BEEC，AEAE，CABE，EACEAB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ABCACB45，BC4，即可求出EBD90，利用SAS可證明AEFAHF，可得DEDE，利用勾股定理求出DE的長即可的答案. 8已知：ABC和ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點M，連接BM和DM（1）如圖1，如果點D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是 ；（2）將圖1中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷（1

7、）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由【提示】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM=DM=EC，再利用1=2，3=4，BMD=2（1+3），即可得出答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)首先得出8=BAD，再利用SAS證明ABDCBF，進(jìn)而得出BD=BF，ABD=CBF，DBF=ABC=90，即可得出BM與DM的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系 9已知在矩形ABCD中，ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EPPD）（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G求證：PG=PF；探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PGPF，交射線DA于點G，你認(rèn)為（1）中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由【提示】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)證HPGDPF（ASA），