2015年高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)選修4-5-不等式選講

1、大理知新教育選修45不等式選講一知識(shí)梳理1兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)ab_；ab_；ab，那么_；如果_，那么ab.即ab_.(2)傳遞性：如果ab，bc，那么_(3)可加性：如果ab，那么_(4)可乘性：如果ab，c0，那么_；如果ab，cb0，那么an_bn(nN，n1)(6)開方：如果ab0，那么_(nN，n1)3絕對(duì)值三角不等式(1)性質(zhì)1：|ab|_.(2)性質(zhì)2：|a|b|_.性質(zhì)3：_|ab|_.4絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_.(3)

2、|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立也可以表述為：兩個(gè)_的算術(shù)平均_它們的幾何平均(3)利用基本不等式求最值對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，它們的積P取得最_值；如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，它們的和S取得最_值6三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式(1

3、)定理如果a，b，c均為正數(shù)，那么_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均_它們的幾何平均(2)基本不等式的推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均_它們的幾何平均，即_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立7柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個(gè)向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)

4、數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立8證明不等式的方法(1)比較法;求差比較法; 知道abab0，ababb，只要證明_即可，這種方法稱為求差比較法;求商比較法;由ab01且a0，b0，因此當(dāng)a0，b0時(shí)要證明ab，只要證明_即可，這種方法稱為求商比較法(2)分析法 從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的_，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法(3)綜合法 從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，即“由因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法(4)反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式_的

5、假設(shè)；第二步：從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立(5)放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞，以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得到欲證不等式成立(6)數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對(duì)一切自然數(shù)成立二例題講解例1不等式|2x1|x2|0的解集為_例2不等式1|x1|3的解集為_例3.設(shè)不等式|x2|a(aN*)的解集為A，且A，A.則a的值為_例4已知a、b、m均為正數(shù)，且a0，且abbc

6、ca1.求證：(1)abc；(2) ()絕對(duì)值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.思維啟迪本題不等式為|xa|xb|c型不等式，解此類不等式有三種方法：幾何法、分區(qū)間(分類)討論法和圖象法規(guī)范解答解方法一如圖所示，設(shè)數(shù)軸上與1,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，那么A，B兩點(diǎn)的距離和為2，因此區(qū)間1,1上的數(shù)都不是不等式的解設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1，到A，B兩點(diǎn)的距離和為3，A1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x.4分1x1x3，得x.同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A，B兩點(diǎn)距離之和為3，B1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x，x1x(1)3.x.從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1，B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都大于3；點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1

7、的右邊的任何點(diǎn)到A，B的距離之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為(x1)(x1)3，解得：x.3分當(dāng)1x0，求證：2a3b32ab2a2b.3若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.4(2013課標(biāo)全國)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.5設(shè)不等式|2x1|1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小6(2013遼寧)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x

8、a)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值B組專項(xiàng)能力提升1若nN*，Sn，求證：Sn.2(2013課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍3(2012福建)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.4設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：abc2. 答案要點(diǎn)梳理1ab0ab0ab02(1)bababc(3)acbc(4)acbcac(6)3(1)|a|b|(2)|ab|a|b|a|b|4(1)x|axa或x01(2)充

9、分條件(4)相反(5)放大或縮小夯基釋疑1x|1x12.(4，2)(0,2)314.Mbc題型分類深度剖析例1解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2x3時(shí)，f(x)3無解；當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時(shí)，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0跟蹤訓(xùn)練1解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.(2)當(dāng)a2時(shí)，

10、f(x)|x2|，設(shè)g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以當(dāng)x5；當(dāng)3x2時(shí)，g(x)5；當(dāng)x2時(shí)，g(x)5.綜上可得，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5方法二(1)同方法一(2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當(dāng)且僅當(dāng)3x2時(shí)等號(hào)成立)，得g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5例2證明由于2xy(x)(y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2

11、()2()2(3x22y2)()6611，|2xy|，2xy.跟蹤訓(xùn)練2解由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，x2y2取得最小值，由方程組解得因此當(dāng)x，y時(shí)，x2y2取得最小值，最小值為.例3證明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)(1)(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，兩邊同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.跟蹤訓(xùn)練3證明(1)要證abc，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcc

12、a)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2 (當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)證得原不等式成立(2) .在(1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明.即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc時(shí)等號(hào)成立)原不等式成立練出高分A組1解|x3|x4|9，當(dāng)x3時(shí)，x3(x4)9，即4x4時(shí)，x3x49，即40，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3證明假設(shè)a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，

13、所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.4證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.6解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(

14、x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.B組1證明n(n1)n2，Sn12n.又n，Sn(1)(2)(n).Sn.2解(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，則，f(x)|2x1|2xa|當(dāng)x時(shí)，f