最全的圓錐曲線軌跡方程求法

1、圓錐曲線軌跡方程的解法目錄一題多解2一直接法3二. 相關(guān)點(diǎn)法6三. 幾何法10四. 參數(shù)法12五. 交軌法14六. 定義法16一題多解設(shè)圓C：（x1）2+y2=1，過原點(diǎn)O作圓的任意弦OQ，求所對弦的中點(diǎn)P的軌跡方程。一直接法設(shè)P（x,y），OQ是圓C的一條弦，P是OQ的中點(diǎn)，則CPOQ，x0,設(shè)OC中點(diǎn)為M（），則|MP|=|OC|=，得（x）2+y2=(x0)，即點(diǎn)P的軌跡方程是（x）2+y2= (0x1)。二定義法OPC=90，動(dòng)點(diǎn)P在以M（）為圓心，OC為直徑的圓（除去原點(diǎn)O）上，|OC|=1，故P點(diǎn)的軌跡方程為（x）2+y2=(0x1)3 相關(guān)點(diǎn)法設(shè)P（x,y）,Q(x1,y1)，其

2、中x10,x1=2x,y1=2y,而（x11）2+y2=1(2x1)2+2y2=1,又x10,x0,即（x）2+y2=(0x1）四參數(shù)法設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為y=kx,代入圓的方程（x1）2+kx2=1，即（1+k2）x22x=0,設(shè)點(diǎn)P（x,y），則消去k得（x）2+y2=(0x1）另解 設(shè)Q點(diǎn)（1+cos,sin），其中cos1,P(x,y)，則消去得（x）2+y2=(0x1）一直接法 課本中主要介紹的方法。若命題中所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知條件能直接發(fā)生關(guān)系，這時(shí)，設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)后，就可根據(jù)命題中的已知條件研究動(dòng)點(diǎn)形成的幾何特征，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用幾何或代數(shù)的基本公式、定理等列出含有、的關(guān)系式。從

3、而得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為直接法。 例題1等腰三角形的定點(diǎn)為，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程。練習(xí)一1.已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足。求點(diǎn)的軌跡方程。2. 線段AB的長等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？3.動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2（即：）。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？4.動(dòng)點(diǎn)P到一高為h的等邊ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離的平方和等于它到頂點(diǎn)C的距離平方，求點(diǎn)P的軌跡？5.點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是。求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。7.已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌

4、跡方程。8.過原點(diǎn)作直線和拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。二. 相關(guān)點(diǎn)法利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解，就得到原動(dòng)點(diǎn)的軌跡。例題2已知一條長為6的線段兩端點(diǎn)A、B分別在X、Y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段AB上，且AM : MB=1 : 2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。練習(xí)二1.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)M的軌跡方程。 2.設(shè)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)。求點(diǎn)M的軌跡方程。3.設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，當(dāng)點(diǎn)P在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程。4.已知ABC的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A在曲線上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心G的軌跡

5、方程。 5.已知A、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，且、，求E點(diǎn)的軌跡方程。6.ABC的三邊AB、BC、CA的長成等比數(shù)列，且，點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為、，求定點(diǎn)A的軌跡方程。7.已知點(diǎn)，P是圓O：上任意一點(diǎn)，P在x軸上的射影為Q ，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為C，求軌跡C的方程。 8.已知橢圓上任意一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q ，點(diǎn)M在PQ上，且，點(diǎn)M的軌跡為C，求曲線C的方程。9.如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)。（I） 若動(dòng)點(diǎn)M滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程；（II）在軸上是否存

6、在定點(diǎn)C，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。三. 幾何法求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的幾何特征與平面幾何中的定理及有關(guān)平面幾何知識(shí)有著直接或間接的聯(lián)系，且利用平面幾何的知識(shí)得到包含已知量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式，化簡后就可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方程的方法稱為幾何法。例題3已知定點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，AOP的平分線交于Q點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。練習(xí)三1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BC1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線。2.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是，過點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的

7、直線CB與Y軸交于點(diǎn)B。設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程。 3.已知經(jīng)過點(diǎn)的直線，經(jīng)過的直線為，若，求與交點(diǎn)S的軌跡方程。4.求圓心在拋物線（）上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程。5.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線方程。6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點(diǎn)P的軌跡方程。四. 參數(shù)法有時(shí)候很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間關(guān)系。如果借助中間量（參數(shù)），使之間的關(guān)系建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，這便可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例題4 過不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的動(dòng)直線交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、B，過A、B坐

8、標(biāo)軸的垂線交于點(diǎn)P，求交點(diǎn)P的軌跡方程。練習(xí)四1.過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線、，若交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。2.一個(gè)動(dòng)圓的解析式為，求圓心的軌跡方程。3.過圓O：外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。 4.點(diǎn)，B、C是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且ABAC，求BC中點(diǎn)P的軌跡方程。五. 交軌法 求兩條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，可選擇同一個(gè)參數(shù)及動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)X、Y分別表示兩條曲線方程，然后聯(lián)立消去參數(shù)便得到交點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為交軌法。例5 已知直線過定點(diǎn)，且是曲線的動(dòng)弦P1P2的中垂線，求直線與動(dòng)弦P1P2交點(diǎn)M的軌跡方程。練習(xí)五 1.

9、求兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程。2.當(dāng)參數(shù)m隨意變化時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程。3.設(shè)A1、A2是橢圓的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)。求直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程。4.已知雙曲線=1 (m0，n0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線交雙曲線于點(diǎn)P、Q。求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程。5.已知橢圓，直線l：，P是L上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，有點(diǎn)Q在OP上，且滿足，當(dāng)P在L上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。六. 定義法求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件滿足某種已知曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種

10、求軌跡方程的方法叫定義法。常見已知曲線：（1）圓：到定點(diǎn)的距離等于定長（2）橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）（3）雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)的距離）（4）拋物線：到定點(diǎn)與定直線距離相等。例題61.設(shè)圓的圓心為A，直線過點(diǎn)且與x軸不重合，交圓A于C、D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E。證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程。 2.已知ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，C 為動(dòng)點(diǎn)，且滿足。求點(diǎn)C的軌跡。練習(xí)六 1.已知圓M：，圓N：，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C。求C的方程。 2.動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離與它到點(diǎn)（2，1）的距離之比為，則點(diǎn)P的軌跡是什么？ 3.點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1。