結構可靠度例題

1、 例題一 某鋼橋一受彎構件截面抗力R(抵抗彎矩)和荷載效應S(最大彎矩)的統(tǒng)計參數(shù)為均值 R= 2.34103kNm S= 1.16103kNm 方差 R= 0.281103kNm S= 0.255103kNm現(xiàn)假設R,S均服從正態(tài)分布,試求其可靠指標和對應的失效概率。解: 將已知數(shù)據(jù)代入 = R-SR2+S2=2.34103-1.16103(0.281103)2+(0.255103)2=3.109查標準正態(tài)分布表 (3.109)=0.99905，Pf=(-)=1-()=1-(3.109)=1-0.99905=0.00095。例題二 某鋼橋一受彎構件截面抗力R(抵抗彎矩)和荷載效應S(最大彎矩

2、)的統(tǒng)計參數(shù)為均值 R= 2.34103kNm S= 1.16103kNm 方差 R= 0.281103kNm S= 0.255103kNm現(xiàn)假設R,S均服從對數(shù)正態(tài)分布,試求其可靠指標和對應的失效概率Pf。解： lnR-lnSR2+S2 R=RR=0.2812.34=0.12 S=SS=0.2551.16=0.22 lnR-lnSR2+S2= ln(2.34103)-ln(1.16103)0.122+0.222=2.80 Pf=(-)=1-()=1-(2.80)=1-0.99740=0.0026。例一和例二表明：隨即變量分布類型，對失效概率或結構可靠指標計算是有影響的。分析結果表明：Pf10

3、-3(3.09)時，F(xiàn)z(z)的分布類型對Pf的影響不敏感，即Z假設什么樣的分布,計算出的Pf都在同一數(shù)量級上，其精度足夠了。Pf大時，Z可以不考慮其實際分布形式，采用合理又方便的分布形式來計算Pf。這樣計算簡便，得到工程上接受的結果。但Pf10-5(4.26)時Fz(z)的分布類型對Pf的影響十分敏感，計算Pf時必須考慮起分布,否則得到誤差大或得到錯誤結果。例題三 若鋼梁承受的確定性彎矩M=210 kNm，鋼梁的抵抗矩W和屈服強度f都是隨機變量，已知其分布類型和統(tǒng)計參數(shù)為抵抗矩W：正態(tài)分布，W= 692cm3 ，W=0.02屈服強度f：正態(tài)分布，f=390MPa ，f=0.07用中心點法和驗

4、算點法計算該鋼梁的可靠指標及f和W的驗算點之值f和W。 解：1 中心點法(1) 采用抗力作為功能函數(shù)Z=fW-M= fW-210 kNm Z=fW-M=fW-210=59.88 kNmZ=(f W)2+(W f)2=f 2W 2(W2+f2) =(390)2(0.022+0.072) =19.65106 Nmm=ZZ=3.047(2) 采用應力作為功能函數(shù)Z=f-MWZf-MW=86.5MPaZ=(f)2+(MW2W)2=(ff)2+(MWW)2 =(3900.07)2+(2101030.02)2 =27.97MPa=ZZ=3.0932 驗算點法驗算點法計算步驟:(1) 列出極限狀態(tài)方程g(X

5、1，X2，Xn)=0,并給出所有基本變量Xi的分布類型和統(tǒng)計參數(shù)xi和xi；(2) 假定Xi和的初始值，一般取Xi的初始值為Xi的均值xi，相當于初始值為0；(3)求極限狀態(tài)方程對各基本變量Xi的偏導數(shù)，并用Xi的值代入，得到方向余弦 cosXi=-gxipxi1n(gxipxi)2 (4)按公式g(Xi+XicosXi)=0 求解；(5)計算新的Xi值 Xi=Xi+XicosXi重復第3步到第5步計算，直到前后兩次計算的在容許誤差范圍內(0.001)。按抗力列功能函數(shù)極限狀態(tài)方程 Z=g(f,W)= fW-210106(Nmm)f=ff=3900.07=27.30MPaw=ww=6920.0

6、2=13.84MPa由 g(X1，X2，Xn)=0 (P驗算點處坐標) Xi=i+XiXi=i+XicosXi -gfpf=-W27.30，-gwpw=-f13.84，cosf=-gfpf(gfpf)2+(gwpw)2=-27.3W(27.3W)2+(13.84f)2 (a)cosw=-gwpw(gfpf)2+(gwpw)2=-13.84f(27.3W)2+(13.84f)2 (b)f=f+fcosf=390+27.3cosf (c)W=w+wcosw=692+13.84cosw (d)由 Z=g(f, W)= fW-(Nm) 將(c) ，(d)代入簡化后得：2cosfcosw+(50cosf

7、+ 14.29cosw)+158.4=0 (e)現(xiàn)用迭代法求解 第一次迭代： 取 f=f=390(MPa)，W=w=692(cm3) 求cosf，coswcosf=-27.3W(27.3W)2+(-13.84f)2=-27.3692(27.3692)2+(13.84390)2=-0.9615cosw=-27.3f(27.3W)2+(13.84f)2=-13.84390(27.3692)2+(13.84390)2=-0.2747驗算 cos2f+cos2w=1 cosf，cosw代入 (e)得0.26422-51.97+158.4=0 解得=3.095第二次迭代： f=f+fcosf=390+2

8、7.33.095(-0.9615)=309 W=w+wcosw=692+13.843.095(-0.2747)=680 cosf=-27.3W(27.3W)2+(13.84f)2=-27.3680(27.3680)2+(13.84309)2=-0.9745cosw=-27.3f(27.3W)2+(13.84f)2=-13.84309(27.3680)2+(13.84309)2=-0.2245驗算 cos2f+cos2w=1代入(e)得21882+51.9+158.4=0 解得=3.092，與第一次相差0.0030.01。第三次迭代： f=308(MPa)，W=682(cm3) cosf=-09

9、748，cosw=-0.2232 =3.092 與第二次迭代相同，其實第二次結果已滿足工程精度。 故求得=3.092，f=308(MPa)，W=682(cm3)查表得失效概率Pf=1-(3.092)=1-0.9993=0.0007。討論：(1) 中心點法由于采用不同的功能函數(shù)計算結果不一致,但兩種功能函數(shù)是完全等價的；(3) 極限狀態(tài)方程是非線性的 例題四 承受恒載作用的薄壁型鋼梁，極限狀態(tài)方程為Z=g(f，W，M)=fW-M=0，其中fW、M都按隨機變量考慮,已知他們的分布類型和統(tǒng)計參數(shù)： 彎 矩M： 正態(tài)分布， M=13kNm， M=0.91 kNm； 抵抗矩W： 正態(tài)分布， W=54.7

10、2cm3，w=2.74 cm3； 鋼材強度f ：正態(tài)分布， f=380MPa，f=30.4 MPa。 試求該梁的可靠指標及相應的失效概率Pf。解：三個正態(tài)變量的非線性方程。 -gfpf=30.4WMPa -gwpw=-2.74fcm3 -gMpM=910(kNmm)cosf=-30.4W(30.4W)2+(2.74f)2+9102cosW=-2.74f(30.4W)2+(2.74f)2+9102cosM=910(30.4W)2+(2.74f)2+9102 f=f+fcosf=380+30.4cosf (MPa) W=w+wcosw=54.72+2.74cosw (cm3) M=M+McosM=

11、13000+910cosM (kNmm)代入極限狀態(tài)方程： f W- M=0 化簡后得83.32cosfcosw+(1041 cosw+1664 cosf-910 cosM)+7793.6=0假定 f、 W的初值為 f=380， W=54.72 求得30.812-2163.3+7793.6=0解得 =3.81 f=290.9 W=49.69 M=14459重復 第二次迭代： f=290.9 W=49.69 M=14459 cosf=-0.781 cosw=-0.412 cosM=0.4702 26.812-2156+7793.6=0解得 =3.79第三次迭代： f=289.2 W=50.44

12、M=14622解得 =3.80 (可認為已收斂)失效概率Pf=1-(3.80)=7.23510-5。比較中心點法計算結果差異： Z=fW-M=38054.72-13000=7793.6 (kNmm) z=(wf)2+(fw)2+M2 =(54.7230.4)2+(3802.74)2+9102=2163.2 =Zz=7793.62163.2=3.60， Pf=1-(3.60)=1.59110-5。 中驗=3.603.80=0.947， 相差10左右。例題五 若鋼梁承受的確定性彎矩M=210 kNm，鋼梁的抵抗矩W和屈服強度f都是隨機變量，已知其分布類型和統(tǒng)計參數(shù)為抵抗矩W：正態(tài)分布，W= 692

13、cm3 ，W=0.02屈服強度f：對數(shù)正態(tài)分布，f=390MPa ，f=0.07計算該鋼梁的可靠指標及f和W的驗算點之值f和W。解： 功能函數(shù)為 Z=g(f，W，M)=fW-M= fW-210106=0 (Nmm) f為對數(shù)正態(tài)變量，需要在驗算點P( f，W)處轉換為當量正態(tài)變量， f,= f(1-ln f+lnf1+f2)= f(6.9637- ln f) f,= fln(1+f2)=0.07 fcosf=-Wf,(Wf,)2+(fw)2cosW=-ff,(Wf,)2+(fw)2 f=f+f,cosf=f,+f,cosf W=W+WcosW=692+13.84cosW代入方程 f W-M=0

14、 化簡得 f,2 cosf cosW+(50f,cosf+f, cosW)+50f,-15173=0采用迭代法計算 f=f， W= W， 相當=0 計算如下表迭代次數(shù)Xi0XiXi,Xi,cosXi1fW039069227.313.84389692-0.9615-0.27473.0502fW3.05308.968021.6313.84380.1692-0.9625-0.27963.4020.3523fW3.402309.467721.6613.84380.2692-0.9599-0.28033.4060.004失效概率Pf=1-(3.406)=3.310-4。 用中心點法(假設Z為正態(tài)分布)

15、計算得=3.047。 第四節(jié) 橋梁結構可靠度設計初步 可靠性設計就是已知確定的設計(目標)可靠指標，求出抗力R，然后進行截面設計。 若抗力R和荷載效應S為正態(tài)分布，已知荷載效應S的統(tǒng)計參數(shù)s和s，以及抗力的變異系數(shù)R R- S=R2+S2=(RR)2+(SS)2 當給定可靠指0時，可求得R，進而進行截面設計。對于受彎構件 截面抗力R=fW， 其均值 R= f W，當已知材料的強度 f時，即可求出截面的抵抗矩均值W。極限方程為非線性，或設計變量含有非正態(tài)變量，求R的過程就是求可靠指標的逆運算。其中包含求驗算點坐標P及當量正態(tài)化的雙重迭代計算，計算非常復雜，需要利用計算程序完成。例題六 鋼桁架下弦桿承受的拉力N服從正態(tài)分布，N=320kN，N=0.22，