姜啟源-數(shù)學(xué)模型第五版-第1章ppt課件

1、用數(shù)學(xué)方法解決任何一個實際問題，都必須在實際與數(shù)學(xué)之間架設(shè)一座橋梁,數(shù)學(xué)各門科學(xué)的基礎(chǔ)；社會進步的工具,解決過程實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)問題的求解；數(shù)學(xué)解答回歸實際問題,這個全過程稱為數(shù)學(xué)建模為實際問題建立數(shù)學(xué)模型,第一章 建立數(shù)學(xué)模型,1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 1.3 建模示例之一 包餃子中的數(shù)學(xué) 1.4 建模示例之二 路障間距的設(shè)計 1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放穩(wěn)嗎 1.6 數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟 1.7 數(shù)學(xué)模型的特點和分類 1.8 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)課程 和參加競賽,第 一章 建立數(shù)學(xué)模型,玩具、照片、飛機、火箭模型,實物模型,

2、水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機,物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖,符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分 進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型,我們常見的模型,你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程,答：船速為20km/h,甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h， 從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少,x=20 y =5,航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù),用符號表示有關(guān)量（x, y分別表示船速和水速,用物理定律（勻速運動的距離等于速

3、度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5,回答原問題（船速為20km/h,數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling,對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)， 運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)表述,建立數(shù)學(xué)模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,歐幾里德,幾何原本,光反射定律,阿基米德,浮力定律,杠桿原理,伽利略,牛頓,落體定律,慣性原理,萬有引力定律,微積分,數(shù)學(xué)建模歷史悠久,直到20世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)建模才逐漸得到普遍重視和廣泛應(yīng)

4、用，并且進入大學(xué)的課堂,1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義,計算機技術(shù)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展,為數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用 提供了強有力的工具,數(shù)學(xué)迅速進入一些諸如經(jīng)濟、生態(tài)、人口、地質(zhì)等 領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地,科技進步與社會發(fā)展的推動,高新技術(shù)中數(shù)學(xué)建模與科學(xué)計算是必不可少的手段 數(shù)學(xué)科學(xué)是關(guān)鍵的、普遍的、可應(yīng)用的技術(shù),數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)順應(yīng)時代發(fā)展的潮流,數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用,分析與設(shè)計,預(yù)報與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學(xué)建模,計算機技術(shù),知識經(jīng)濟,為教育改革注入強大活力,數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育,數(shù)學(xué)教育應(yīng)培養(yǎng)兩種能力：算數(shù)學(xué)(計算、推導(dǎo)、 證明)和用數(shù)學(xué)(分析、解決實際問題,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)

5、體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者,讓學(xué)生參加將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際的嘗試, 參與發(fā)現(xiàn) 和創(chuàng)造的過程,數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)符合教育改革的需要,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者,通常，1kg餡, 1kg面, 包100個餃子,問題,分析,直觀認(rèn)識“大餃子包的餡多”,但是：“用的面皮也多”,需要比較：餃子從小變大時餡和面增加的數(shù)量關(guān)系,今天，餡比 1kg多, 1kg面不變, 要把餡包完,應(yīng)多包幾個(每個小些), 還是少包幾個(每個大些),1.3 建模示例之一 包餃子中的數(shù)學(xué),體積V、面積S 一個大餃子,V和 nv 哪個大,V比 nv大多少,定性分析,定量結(jié)果,分析,建立餡、皮與數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系,餡體積，皮表

6、面積,體積v、面積s n個小餃子,1.皮的厚度一樣,2.餃子的形狀一樣,R 大皮半徑,r 小皮半徑,1),(2),(3,假設(shè),建模,消去S, s, k,體積與面積的聯(lián)系半徑（特征半徑,解釋,V 比 nv 大 (n1)大餃子包得餡多,定性分析,定量結(jié)果,若100個餃子包1kg餡, 50個餃子能包多少餡,應(yīng)用,n1=100, n2=50,50個餃子能包1.4kg餡,n1v1=1(kg), n2v2=,n2v2,討論,餃子數(shù)量減少一倍，真的就能多包40%的餡嗎,餃子越大，面皮應(yīng)該越厚,若100個餃子包1kg餡, 50個餃子能包1.4kg餡,可以對“皮的厚度隨著半徑變大而增加”的數(shù)量關(guān)系作出合理、簡化

7、的假設(shè)，重新建模,用數(shù)學(xué)語言(體積和表面積)表示現(xiàn)實對象(餡和皮,作出簡化、合理的假設(shè)(厚度一樣，形狀一樣,利用問題蘊含的內(nèi)在規(guī)律(體積和表面積與半徑間 的幾何關(guān)系,包餃子建模過程的基本、關(guān)鍵步驟,日常生活中有哪些可用這個模型解釋的現(xiàn)象,校園、居民小區(qū)道路需要限制車速設(shè)置路障,限制車速40km/h, 相距多遠設(shè)置一個路障,汽車過路障時速度接近零, 過路障后加速,車速達到40km/h時讓司機看到下一路障而減速, 至路障處車速又接近零,如此循環(huán)以達到限速的目的,背景,問題,分析,1.4 建模示例之二 路障間距的設(shè)計,加速度、減速度,方法一 查閱資料,方法二 進行測試,加速行駛的測試數(shù)據(jù),減速行駛的

8、測試數(shù)據(jù),相鄰路障之間汽車作等加速運動和等減速運動,假設(shè),路障間距的設(shè)計,加速行駛：距離s1，時間t1, 加速度a1,減速行駛：距離s2，時間t2, 減速度a2,限速vmax,相鄰路障間行駛總距離,給定vmax，由測試數(shù)據(jù)估計a1，a2,建模,s,路障間距,路障間距的設(shè)計,t = cv+d,最小二乘法,設(shè)計路障間距67m,大致線性關(guān)系,計算,測試數(shù)據(jù)作圖,a1=1/c1，a2=-1/c2,d1 , d2 0,1m/s= 3.6km/h,vmax=11.1(m/s,c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556 (m,66.5,估算,s2/m,s2/m,作出簡化、合理的假設(shè)(等加速

9、和等減速行駛,利用問題蘊含的內(nèi)在規(guī)律(時間、距離、速度、 加速度之間的物理關(guān)系,路障設(shè)計中還有可用數(shù)學(xué)建模研究的問題嗎,路障間距建模過程的基本、關(guān)鍵步驟,根據(jù)測試數(shù)據(jù)估計模型的參數(shù)(加速度和減速度,問題,不平的地面上的椅子， 通常三只腳著地 放不穩(wěn),討論椅子能放穩(wěn)的條件,挪動幾下，使四只腳著地椅子放穩(wěn),1.5 建模示例之三 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,模型假設(shè),四腿一樣長,椅腳與地面點接觸,四腳連線呈正方形,地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面,地面相對平坦,椅子在任意位置至少三只腳著地,椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,模型建立,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用表示椅子位置,四只腳

10、著地,距離是的函數(shù),四個距離(四只腳,A,C 兩腳與地面距離之和 f(,B,D 兩腳與地面距離之和 g(,兩個距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點旋轉(zhuǎn),f() , g()是連續(xù)函數(shù),對任意, f(), g()至少一個為0,已知：f() , g()連續(xù), 對任意, f() g()=0 , 且 g(0)= f(/2)= 0, f(0) 0 , g(/2)0,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,g(0)=0，f(0) 0， f(/2)=0, g(/2)0,模型建立,椅子旋轉(zhuǎn)900, 對角線AC和BD互換,證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0,一種簡單的證明方法,2）由

11、 f, g 連續(xù)可得 h連續(xù),1）令 h()= f()g(), 則 h(0)0，h(/2)0,4）因為 f(0) g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0,模型求解,3）據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 ( 0 0 /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0),結(jié)論：在模型假設(shè)條件下，將椅子繞中心旋轉(zhuǎn)，一定能找到四只腳著地的穩(wěn)定點,機理分析,測試分析,二者結(jié)合,機理分析建立模型結(jié)構(gòu), 測試分析確定模型參數(shù),白箱,黑箱,灰箱,機理分析主要通過案例研究學(xué)習(xí).建模主要指機理分析,數(shù)學(xué)建模的基本方法,1.6 數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型準(zhǔn)備,模型假設(shè),模型

12、構(gòu)成,模型求解,模型分析,模型檢驗,模型應(yīng)用,模 型 準(zhǔn) 備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個 比較清晰 的問題,模 型 假 設(shè),針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗,與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)建模的全過程,現(xiàn)實對象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實對

13、象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,實踐,數(shù)學(xué)世界,兩次“翻譯,現(xiàn)實世界,將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題,將數(shù)學(xué)解答“翻譯”回實際對象,1.7 數(shù)學(xué)模型的特點和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進性,模型的強健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預(yù)制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數(shù)學(xué)模型的特點,數(shù)學(xué)模型的分類,應(yīng)用領(lǐng)域,人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài),數(shù)學(xué)方法,初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計,表現(xiàn)特性,描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,確定和隨機,靜態(tài)和動態(tài),線性和非線性,離散和連續(xù),技術(shù)大致有章可循,數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù),藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則,

14、著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的意識和能力,1.8 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 學(xué)習(xí)課程和參加競賽,數(shù)學(xué)建模的意識 對于日常生活和工作中那些需要 或者可以用數(shù)學(xué)知識分析、解決的實際問題，能夠 敏銳地發(fā)現(xiàn)并從建模的角度去積極地思考、研究,想象力,洞察力,判斷力,創(chuàng)新意識,數(shù)學(xué)建模的能力,比較廣博的數(shù)學(xué)知識,深入實際調(diào)查研究的決心和能力,如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,學(xué)別人的模型（學(xué)習(xí)、分析、改進、推廣,做自己的模型（實際題目，參加競賽,對于案例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎，在學(xué)懂的基礎(chǔ)上可以作哪些研究,學(xué)別人的模型,1. 模型假設(shè)中哪些條件是本質(zhì)的, 哪些是非本質(zhì)的,四腳連線呈長方形可以嗎,椅腳連線呈正方形,地面高度連續(xù),椅子至少三

15、只腳著地,是,是,非,2. 建模的關(guān)鍵是什么,變量表示椅子的位置,函數(shù) f(), g() 表示椅腳與地面的距離,椅子的旋轉(zhuǎn)軸在哪里，它在旋轉(zhuǎn)過程中怎樣變化,3. 建模過程中有無不嚴(yán)謹(jǐn)之處,親自動手，踏踏實實地做幾個實際題目 不妨從包餃子這樣的簡單問題開始,做自己的模型,提倡在實際生活中發(fā)現(xiàn)、提出問題，建立模型,數(shù)學(xué)建模競賽為提高用建模方法分析、解決實際問題的能力，搭建了廣闊的平臺,1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會 （CSIAM） 組織舉辦首次競賽,1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦（每年9月,全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,網(wǎng)址：http:/,2017年全國1400多所院校、36000多隊參賽,我國高校規(guī)模最大的課外科技活動,內(nèi)容,賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中簡化的實際問題,答卷：用數(shù)學(xué)建模解決問題全過程的論文,形式,3名大學(xué)生組隊、3天內(nèi)完成的通訊比賽,可使用任何死材料，不可與隊外他人討論,宗旨,創(chuàng)新意識 團隊精神 重在參與 公平競爭,標(biāo)準(zhǔn),假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性,全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,參加數(shù)學(xué)建模競賽的三個階段,賽前準(zhǔn)備 學(xué)習(xí)有關(guān)知識、方法和軟件；題目研討（及模擬）；組隊磨合,三天參賽 吃透題意，發(fā)揮正常，注