高中數(shù)學(xué)《變化率與導(dǎo)數(shù)綜合》學(xué)案1北師大版選修2-2

1、變化率與導(dǎo)數(shù)變化率問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的增量的概念2.理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義學(xué)習(xí)重點(diǎn)函數(shù)的增量瞬時速度、切線的斜率、邊際成本學(xué)習(xí)難點(diǎn)極限思想教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課1. 瞬時速度問題 1：一個小球自由下落，它在下落3 秒時的速度是多少？析：大家知道，自由落體的運(yùn)動公式是s1 gt 2 （其中 g 是重力加速度） .2當(dāng)時間增量t 很小時，從 3 秒到（ 3t ）秒這段時間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3 秒時的速度 .從 3 秒到（ 3t ）秒這段時間內(nèi)位移的增量：s s(3t )s(3)4.9(3t) 24.9322

2、9.4t 4.9( t ) 2從而， vs29.44.9 t .ts 越接近 29.4s 無限趨從上式可以看出，t 越小，米/秒；當(dāng)t 無限趨近于 0 時，ts 的極限是 29.4.t近于 29.4 米 / 秒.此時我們說，當(dāng)t 趨向于 0 時，t當(dāng) t 趨向于0 時，平均速度s 的極限就是小球下降 3 秒時的速度，也叫做t瞬時速度 .一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是s s（ t），則物體在t 到（ tt ）這段時間內(nèi)的平均速度為s s(tt ) s(t ) . 如果t 無限趨近于 0 時，s 無限趨近于某個常數(shù)a，就說當(dāng)tttt 趨向于 0 時，s 的極限為 a，這時 a 就是物體在時刻t 的瞬時

3、速度 .t2. 切線的斜率問題 2：p（ 1,1）是曲線 yx 2 上的一點(diǎn)， q 是曲線上點(diǎn) p 附近的一個點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) q 沿曲線逐漸向點(diǎn) p 趨近時割線 pq 的斜率的變化情況 .析：設(shè)點(diǎn) q 的橫坐標(biāo)為 1x ，則點(diǎn) q 的縱坐標(biāo)為（1x ） 2，點(diǎn) q 對于點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)用心愛心專心1的增量（即函數(shù)的增量）y (1x) 212x( x) 2 ，所以，割線 pq 的斜率 kpqy2x(x)22x .xx由此可知，當(dāng)點(diǎn)q 沿曲線逐漸向點(diǎn)p 接近時，x 變得越來越小，k pq 越來越接近 2；當(dāng)點(diǎn) q 無限接近于點(diǎn)p 時，即x 無限趨近于0 時， k pq 無限趨近于 2.這表明，割線 pq

4、無限趨近于過點(diǎn)p 且斜率為2 的直線 .我們把這條直線叫做曲線在點(diǎn)p 處的切線 .由點(diǎn)斜式，這條切線的方程為：y2 x1.一般地，已知函數(shù)yf ( x) 的圖象是曲線c，p（ x0 , y0 ）， q（ x0x, y0y ）是曲線 c 上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)q 沿曲線逐漸向點(diǎn)p 接近時，割線pq 繞著點(diǎn) p 轉(zhuǎn)動 .當(dāng)點(diǎn) q 沿著曲線無限接近點(diǎn)p，即x 趨向于0 時，如果割線pq 無限趨近于一個極限位置pt，那么直線 pt 叫做曲線在點(diǎn)p 處的切線 .此時，割線pq 的斜率 kpqypt 的無限趨近于切線x斜率 k，也就是說，當(dāng)x 趨向于0 時，割線pq 的斜率 kpqy的極限為 k.x3.邊際成本問

5、題 3：設(shè)成本為 c，產(chǎn)量為 q，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為c( )3q210，我們來研究q當(dāng) q 50時 ， 產(chǎn) 量 變 化 q 對 成 本 的 影 響 . 在 本 問 題 中 ， 成 本 的 增 量 為 ：cc (50q)c (50)3(50q) 210(350 210) 300q 3(q) 2.產(chǎn)量變化q 對成本的影響可用：c3003 q 來刻劃，q 越小，c 越接近300；當(dāng)qqq 無限趨近于0 時，c 無限趨近于300，我們就說當(dāng)q 趨向于 0 時，c 的極限是 300.qq我們把c 的極限300 叫做當(dāng) q 50 時 c (q)3q 210 的邊際成本 .q一般地，設(shè) c 是成本，

6、q 是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為c c（ q），當(dāng)產(chǎn)量為 q0時，產(chǎn)量變化q 對成本的影響可用增量比cc (q0q)c (q0 )如果q 無限qq刻劃 .用心愛心專心2c趨近于 0 時，無限趨近于常數(shù)a ，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱a 為邊際成本 .它表明當(dāng)產(chǎn)量為q0 時，q增加單位產(chǎn)量需付出成本a （這是實(shí)際付出成本的一個近似值）.二、小結(jié)瞬時速度是平均速度s 當(dāng)t 趨近于0 時的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜t率是割線斜率y 當(dāng)x 趨近于 0 時的極限；邊際成本是平均成本c 當(dāng) q 趨近于 0 時的xq極限 .三、練習(xí)與作業(yè)：1.某物體的運(yùn)動方程為s(t )5t 2 （位移單位： m，時間單位： s）求它在 t 2s 時的速度 .2.判斷曲線 y2x 2 在點(diǎn) p（ 1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.3.已知成本c 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為c2q 25，求當(dāng)產(chǎn)量q80 時的邊際成本 .4.一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h（單位： m）與時間t（單位： s）之間的函數(shù)關(guān)系為ht 2 ，求 t 4s 時此球在垂直