蘇教版(理科數(shù)學(xué))推理與證明單元測試

1、名校名 推薦提升 (36)推理與 明一、 1. 若 a,b,c是不全相等的 數(shù), 求 :a 2+b2+c2ab+bc+ca. 明 程如下 :因 a,b,c r, 所以 a2+b2 2ab,b 2+c2 2bc,c 2+a2 2ac,又因 a,b,c 不全相等 ,所以以上三式至少有一個“=”不成立 ,所以將以上三式相加得2(a222+b +c )2(ab+bc+ac),所以 a2+b2+c2ab+bc+ca. 此 法是 (b) 中 . 資 源 庫(a) 分析法(b) 合法(c) 分析法與 合法并用(d) 反 法解析 : 由已知條件入手 明 成立, 足 合法的定 . 故 b.2.(2016 南模

2、) 比平面內(nèi)“垂直于同一條直 的兩條直 互相平行”的性 , 可得出空 內(nèi)的下列 ( d)垂直于同一個平面的兩條直 互相平行;垂直于同一條直 的兩條直 互相平行;垂直于同一個平面的兩個平面互相平行;垂直于同一條直 的兩個平面互相平行.(a) (b)(c) (d) 解析 : 垂直于同一個平面的兩條直 互相平行, 正確 .垂直于同一條直 的兩條直 不一定平行, 也可能是相交直 、異面直 , 故不正確 .垂直于同一個平面的兩個平面不一定平行, 也可能是相交平面 , 如 角 , 故不正確 .垂直于同一條直 的兩個平面互相平行,正確 .3. 按照 1 圖 3的 律 , 第 10 個 中 點(diǎn)的個數(shù) (b )

3、(a)36(b)40(c)44(d)52解析 : 因 根據(jù) 形 , 第一個 有 4 個點(diǎn) , 第二個 有 8 個點(diǎn) , 第三個 有 12 個點(diǎn) , , 所以第 10 個 有 10 4=40 個點(diǎn) , 故 b.4. 在 abc中, 不等式+ +成立 ; 在四 形 abcd中 , 不等式+ + 成立 ; 在五 形 abcde中,+ + + 成立 . 猜想在 n 形中 , 成立的不等式 (c)(a)+1名校名 推薦(b) + + (c) + + (d) + + 解析 : 通 察 不等式左 多 形的各個內(nèi)角的倒數(shù)之和, 右 的分子 數(shù)的平方,分母 多 形的內(nèi)角和, 而 n 形的內(nèi)角和 (n-2) ,

4、故猜想在n 形中成立的不等式 + +, 故選 c.5. 用反 法 明命 “ f(x)=x 3+3|x-a|(a r) 數(shù) , 方程 f(x)=0 至少有一個 根” 時 ,正確的假 是 (a)(a) 方程 f(x) 沒有 根(b) 方程 f(x)=0至多有一個 根(c) 方程 f(x)=0至多有兩個 根(d) 方程 f(x)=0恰好有兩個 根解析 : 由反 法 明命 的格式和步 , 可知 方程f(x)=0沒有 根 , 故 a.6. 設(shè) x,y, 0, 三個數(shù) +,+,+(c)(a) 都大于 2 (b) 至少有一個大于 2(c) 至少有一個不小于2(d) 至少有一個不大于2解析 : 假 三個數(shù)都小

5、于2,則+2 ， f(8) 5，f(16)3. 察上10 n 正整數(shù)， f(n) 1 23n22述 果，按照上面 律，可推 f(128).解析： 察 f(2)3，f(4)2 ，f(8) 5，f(16)3 可知，等式及不等式右 的數(shù)構(gòu)成首 3，公2221319差 的等差數(shù)列，故f(128) 6 .22229答案： 23 x4 x1 的解”有如下解 思路： 3 x4 x11.“求方程 ()( )f( x) ( ) () ， f( x)在 r 上 5555減，且 f(2) 1，所以原方程有唯一解x 2. 比上述解 思路，方程x6 x2 (x 2)3 (x2)的解集 3名校名 推薦3 x， f(x)是

6、奇函數(shù)，且 增函數(shù)，由方程6232解析： 令 f( x) xx x (x 2) x 2得 f(x )f(x 2)，故 x2x 2，解得 x 1,2，所以方程的解集 1,2 答案： 1,212 察下列等式：11 2 3 n 2n(n1)；111 3 6 2n(n 1)6n(n 1)( n2)；111 4 10 6n(n 1)(n2) 24n(n 1)(n 2)(n 3)；可以推 ， 1 5 15 1.24n(n1)(n2)(n3) 11解析：根據(jù)式子中的 律可知，等式右 5 43 2 1n(n 1)( n2)( n3)( n4) 120n(n1)( n2)( n 3)(n4) 1答案：n(n1)

7、( n 2)( n 3)(n 4)三、解答 10(2017 西運(yùn)城山4 月模 改 )宋元 期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著四元玉 中提出了一個“茭草形段” ：“今有茭草六百八十束，欲令落一形( 同 )之， 底子幾何？”他在 一 中探 了“ ”中的落一形 (“落一形”即是指 上一束，下一 3 束，再下一 6 束， )成三角 的堆 ，故也稱三角 ，如 ，表示從上往下第二 開始的每 茭草束數(shù)，求本 中三角 倒數(shù)第二 茭草 束數(shù) 多少？解析 由 意得，從上往下第n 茭草束數(shù) 12 3 nn n1，2n n 1 680，1 3 6 21111即 26n n1 2n 1 2n n 1 6n(n 1)(n

8、2) 680，n(n 1)(n 2) 15 16 17，n 15.4名校名 推薦故倒數(shù)第二層為第14 層，該層茭草總束數(shù)為14 15 105.2答案 10513已知函數(shù)y f(x)滿足：對任意a， b r， a b，都有 af(a) bf(b)af(b) bf(a) ，試證明： f(x)為 r 上的單調(diào)遞增函數(shù)證明 設(shè)任意 x1， x2 r，取 x1 x1f(x2) x2 f(x1) ，x1 f(x1) f(x2) x2f(x2) f(x1)0 ， f( x2) f(x1)(x2 x1)0，x10 ，即 f(x2 )f(x1)y f( x)為 r 上的單調(diào)遞增函數(shù)14 abc 的內(nèi)角 a， b， c 所對的邊分別為a，b， c.(1)若 a， b， c 成等差數(shù)列，證明：sina sinc 2sin(ac)；(2)若 a， b， c 成等比數(shù)列，求cosb 的最小值解 (1) 證明： a，b， c 成等差數(shù)列， ac 2b.由正弦定理得sinasinc 2sinb.sinb