第七章第三節(jié)空間平面與直線及其方程PPT課件

1、高等數(shù)學(xué),第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,7.3空間平面和空間直線,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,7.3空間平面與空間直線及其方程,二、平面的方程,五、平面束方程,三、空間直線的方程,四、空間上點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,一、曲面、曲線與方程,一、曲面、曲線與方程,在空間解析幾何中,任何曲面或曲線都可看成具有某種性質(zhì),的點(diǎn)的集合,在選定空間直角坐標(biāo)系后,某一曲面或曲線上的點(diǎn),或,有下述關(guān)系,1,或方程組,或方程組,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,1)中的方程(或方程組)就稱為曲面(或曲線 )的方程,

2、而曲面(或曲線 )則稱為(1)中的方程(或方程組)的圖形,空間解析幾何主要有兩個(gè)基本問(wèn)題,1)已知一曲面或曲線作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面或曲線的方程,2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀,必要時(shí)需作圖,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,那么,二、平面的方程,1）平面的法向量的定義,凡是與平面垂直的非零向量稱為該平面的法向量,2）平面的點(diǎn)法式方程,平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè),它們都垂直于平面內(nèi)的任一向量,1、平面的點(diǎn)法式方程,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn),且垂直于非零向量,稱式為平面的點(diǎn)

3、法式方程,求該平面的方程,則有,故,任取點(diǎn),若,此時(shí)點(diǎn)M 的坐標(biāo),不滿足方程,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.1,于是可取平面 的法向量為,利用點(diǎn)法式得平面 的方程為,解,平面 的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量,又,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.1,于是可取平面 的法向量為,利用點(diǎn)法式得平面 的方程為,解,平面 的法向量垂直于該平面內(nèi)任一向量,又,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,求過(guò)三點(diǎn),即,為平面 上任一點(diǎn),的平面 的方程,解法二,則,

4、于是,從而得,設(shè),一般情況,過(guò)三點(diǎn),的平面方程為,平面的三點(diǎn)式方程,2、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,方程稱為平面的一般方程,則方程可化為,由此可知,而,不妨設(shè),任一三元一次方程的圖形總是一個(gè)平面,為該平面的,一個(gè)法向量,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,特殊情形,表示過(guò)原點(diǎn)的平面,同理,表示平行于y 軸的平面,表示平行于x 軸的平面,表示平行于 zox 面的平面,書(shū)上P21,方程為,方程為,其法向量為,該平面平行z 軸,方程,方程,方程為,方程,表示平行于 yoz 面 的平面,同理,方程,它表示平行于 xoy 面的平面,7.3 空間平面與空間直

5、線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,設(shè)平面的方程為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,例7.3.2,分析,可用平面的一般方程做,或平面的點(diǎn)法式方程做,其中,求該平面的方程,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,將,代入所設(shè)方程得,此式稱為平面的截距式方程,見(jiàn)書(shū)上P21,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,求過(guò)不在同一直線上三點(diǎn),的平面的方程,例,解,則,于是有,即,此式為平面的三點(diǎn)式方程,例7.3.3,解,可設(shè)所求平面的方程為,又平面過(guò)點(diǎn),即,故,代入所設(shè)方程并消去,得所求的平面方程為,7.3 空間平面與空

6、間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,三、空間直線的方程,1.空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程,1) 直線的方向向量的定義,與直線平行的非零向量,稱為這條直線的一個(gè)方向向量,直線的方向向量有無(wú)數(shù)多個(gè),方向數(shù),7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,2)空間直線的點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程,故有,說(shuō)明,則,此式稱為直線的點(diǎn)向式方程(也稱為對(duì)稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為,某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零,求該直線的方程,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,則,直線方程為,此式稱為空間直線的參數(shù)方程

7、,例如,設(shè),直線方程為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,因此其一般方程為,2.空間直線的一般方程,空間直線可視為兩個(gè)不平行平面交線,不唯一,此式稱為空間直線的一般方程,這條直線的一個(gè)方向向量為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.4,從而所求直線的方程為,故所求直線的一個(gè)方向向量可取為,解,求過(guò)兩點(diǎn),的方程,與,此式稱為直線的兩點(diǎn)式方程,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,的直線,直線的三種方程間的相互轉(zhuǎn)化,1）直線的點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程相互間易轉(zhuǎn)換,2）

8、要把點(diǎn)向式方程轉(zhuǎn)化成一般方程也很方便,便是直線的一般方程,只要把點(diǎn)向式方程的連等式寫(xiě)成方程組形式,例如,3）怎樣把一般方程轉(zhuǎn)化成點(diǎn)向式方程,法1,先找直線上一點(diǎn),再找直線的方向向量,法2,先找直線上兩點(diǎn)A, B,就是直線的方向向量,由,得,即,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.5,解,用點(diǎn)向式方程及參數(shù)方程表示直線,解得,再求直線的方向向量,分析,先找直線上一點(diǎn),再找直線的方向向量,可取,先在直線上找一點(diǎn),代入原方程組得,令,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,故所給直線的點(diǎn)向式方程為,得直線的參數(shù)

9、方程為,令,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,四、空間上點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,1、空間兩平面的位置關(guān)系,兩平面法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角,它們的法向量分別為,和,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,即,空間兩平面的位置關(guān)系只有三種,相交,特別地,相交、平行或重合,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.6,設(shè)所求平面的法向量為,求它的方程,解法1,且垂直于平面,已知平面的法向量為,由于兩平面垂直,所以,故可取,則所求平面的方程為,即,有,

10、7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.6,代入(1)式,且垂直于平面,設(shè)所求平面的法向量為,即,則所求平面方程為,故,求它的方程,一平面通過(guò)兩點(diǎn),解法2,和,得,即,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,2. 空間兩直線的位置關(guān)系,則兩直線的夾角 滿足,兩直線的方向向量的夾角(通常取銳角)稱為兩直線的夾角,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,與,上的點(diǎn),則,且,空間兩直線的位置關(guān)系只有四種,異面、相交、平行或重合,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七

11、章 向量代數(shù)與空間解析幾何,特別地,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.7,求以下兩直線的夾角,解,則兩直線夾角 的余弦為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,3.空間直線與平面的位置關(guān)系,當(dāng)直線與平面垂直時(shí),當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為,平面 的法向量為,直線和它在平面上的投影直線的,則,或,規(guī)定其夾角為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,則直線與平面的夾角 滿足,特別地,空間直線與平面的位置關(guān)系只有三種,相交、平行或直線在平面上,7.3

12、 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,解,的直線的方程,例7.3.8,又兩直線垂直,所以,從而,直線L的參數(shù)方程為,它的一個(gè)方向向量,所求直線與直線L的交點(diǎn)可設(shè)為,則,就是所求直線的一個(gè)方向向量,即有,解得,于是,故所求的直線的方程為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,4.平面(或直線)外一點(diǎn)到平面(或直線)的距離公式,1) 平面外一點(diǎn)到平面的距離公式,因平面法向量為,如圖,書(shū)上P27,設(shè)垂足為,所以,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,此式為點(diǎn)到平面的距離公式,于是,7.3

13、 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,2）直線外一點(diǎn)到直線的距離公式,的距離為,書(shū)上P28-29,在直線 L 上任取一點(diǎn),事實(shí)上,過(guò)點(diǎn) M1作直線 L的方向向量,四邊形的面積為,M1為L(zhǎng)上任一點(diǎn),7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.9,直線 L的方向向量,解,點(diǎn),為直線 L上一點(diǎn),則,所以點(diǎn)M0到直線 L的距離為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,五、平面束方程,過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束,設(shè)直線 L的方程為,過(guò)直線 L的平面束方程為,為任意實(shí)數(shù),它表示(除

14、平面(2)外的)所有過(guò)直線 L的平面,易知(3)式中x, y, z的系數(shù)不全為零,方程(3)就表示過(guò)直線 L的不同平面,從而它表示平面,事實(shí)上,直線 L上的點(diǎn)都滿足方程(3,于是當(dāng) 不同時(shí),7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,過(guò)直線 L的所有平面的平面束方程為,注,是不全為零的任意實(shí)數(shù),7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,例7.3.10,解法1,分析,求直線,在平面,上的投影直線的方程,過(guò)直線L作垂直于平面的平面1,則與1 的交線即為,投影直線,關(guān)鍵是求出平面1 (即投影平面)的方程,設(shè)過(guò)直線L的平面束方程為,其中為待定常數(shù),7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,平面(1)垂直于平面,故有,即,代入(1)式，得與平面 垂直的平面(即投影平面)的方程為,即,故投影直線的方程為,7.3 空間平面與空間直線及其方程,高等數(shù)學(xué) 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何,解法2,直線L的一個(gè)方向向量為,平面的法向量為,過(guò)直線L且垂直于平面的平面(即投影平面)1,的法向量可取為,再求直線L上一個(gè)點(diǎn),代入直線L的方程得,令,解得,7.3 空間平面與空間直線及其方程