金融工程7維納過程與伊藤引理2011ppt課件

1、1,第12章 維納過程和伊藤引理,2,教學(xué)目的與要求 掌握隨機(jī)變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點(diǎn)，掌握維納過程的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握一般維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。掌握Ito過程的特征,3,教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 一、馬爾科夫過程與效率市場(chǎng)的關(guān)系。 二、維納過程、一般維納過程與此同時(shí)Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)系和變化。 三、Ito定理及其運(yùn)用,4,期權(quán)的估值,歐式期權(quán)的到期收益 Max (STX, 0) ST不確定，所以期權(quán)到期的收益也不確定。 期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值？ 風(fēng)險(xiǎn)中性估值 期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值未來收益折現(xiàn)后的期望值 cE Max

2、 (STX, 0) 問題 ST的分布是怎樣的？ 只有確定ST的分布才能確定c的價(jià)值,5,12.1弱式效率市場(chǎng)假說與馬爾可夫過程,效率市場(chǎng)假說 1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場(chǎng)假說。該假說認(rèn)為： 投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬； 證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息； 市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的。 效率市場(chǎng)分類 效率市場(chǎng)假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。 弱式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過

3、平均收益率的收益,6,半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。 強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息(包括“內(nèi)幕信息”)對(duì)挑選證券都沒有用處。 效率市場(chǎng)假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對(duì)此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說,7,馬爾可夫過程 弱式效率市場(chǎng)假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程(Markov Stochastic Process)來表述。 馬爾科夫過程(Markov proc

4、ess)是一種特殊類型的隨機(jī)過程。 未來的預(yù)測(cè)只與變量的當(dāng)前值有關(guān)，與變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式不相關(guān)。 股價(jià)的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場(chǎng)有效性(the weak form of market efficiency)相一致： 一種股票的現(xiàn)價(jià)已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價(jià)格記錄。 如果弱型市場(chǎng)有效性正確的話，技術(shù)分析師可通過分析股價(jià)的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不可能的。 是市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)保證了弱型市場(chǎng)有效性成立,8,12.2維納過程（ Wiener Process,布朗運(yùn)動(dòng)起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國(guó)植物學(xué)家Ro

5、bert Brown命名。 描述布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程的定義是維納(wiener)給出的，因此布朗運(yùn)動(dòng)又稱維納過程 股價(jià)行為模型通常用布朗運(yùn)動(dòng)來描述。 布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式,9,維納過程（ Wiener Process,維納過程（Wiener Process） 性質(zhì)一：股票價(jià)格的變動(dòng)是一個(gè)正態(tài)變量與時(shí)間的乘積 （服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布） 性質(zhì)二：任意兩個(gè)不重疊時(shí)段的股票價(jià)格變動(dòng)相互獨(dú)立 從性質(zhì)一，我們知道z服從正態(tài)分布，性質(zhì)2則隱含z遵循馬爾科夫過程。 維納過程/布朗運(yùn)動(dòng)的特征 股票價(jià)格在任意時(shí)段變動(dòng)的均值都為0。 股票價(jià)格在某一時(shí)段變動(dòng)的方差等于時(shí)間的長(zhǎng)度,10,程序：維納過程的模

6、擬,假定股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，即dS=dt+dz，其中和均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，也就是說，在短時(shí)間t后，S值的變化值S為 假定股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即dS=dt+dz,其中和均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，也就是說，在短時(shí)間t后，ln(S)值的變化值ln(S)為,11,當(dāng)股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)的走勢(shì)圖,12,當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)的走勢(shì)圖,13,股票價(jià)格的一般變動(dòng),一般化的維納過程 變量本身隨著時(shí)間的推移會(huì)有定量的增長(zhǎng)at 除了時(shí)間價(jià)值之外的變動(dòng)為布朗運(yùn)動(dòng),14,12.3 股票價(jià)格的一般變動(dòng),股票價(jià)格的變動(dòng) 股票價(jià)格有隨時(shí)間推移增長(zhǎng)的穩(wěn)定趨勢(shì) 股票“實(shí)際”價(jià)格變動(dòng)為布

7、朗運(yùn)動(dòng),布朗運(yùn)動(dòng)股票價(jià)格,指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)股票價(jià)格,上證指數(shù),18,12.4 Itos Lemma,Itos Lemma 假設(shè)存在一個(gè)伊藤過程： 如果G是x和t的函數(shù)，即：G=G(x,t) 那么： 期權(quán)及其他衍生證券的價(jià)格變動(dòng) 股票價(jià)格服從維納過程： 那么,19,證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)過程服從,其中,利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，G(x,t)可以展開為,20,因此，上式可以改寫為,保留1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng),21,其中（忽略高階項(xiàng),22,因此，可得,由此得到,代入前述公式可得到伊藤引理,23,12.5 股票價(jià)格的對(duì)數(shù)正態(tài)特性,對(duì)數(shù)正態(tài)分布 股票價(jià)格服從維納過程 股票價(jià)格的分布為對(duì)數(shù)正

8、態(tài)分布 公式,24,關(guān)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布,定義G=lnS，由于： 所以有： 即： 顯然G為一個(gè)廣義維納過程，其漂移率為常數(shù) ，波動(dòng)率為常數(shù) 。 因此，lnS的變化服從正態(tài)分布，不難知道,25,對(duì)數(shù)正態(tài)分布,幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析,在很短的時(shí)間t后，證券價(jià)格比率的變化值 為： 可見，在短時(shí)間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征 其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為,幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（2,但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)： 多期收益率的乘積問題，服從正態(tài)分布的變量的乘積并不服從正態(tài)分布。而由于總的連續(xù)復(fù)利收益率等于各期收益率的加和，因此仍為正態(tài)分布。 因此，盡管是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)

9、差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差,幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（3,如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的隨機(jī)過程： 這個(gè)隨機(jī)過程的特征： 普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。 在任意時(shí)間長(zhǎng)度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。 從自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論,1）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（

10、當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在Tt期間G的變化為： 這意味著： 進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 這正好與作為預(yù)期收益率的定義相符,2）股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布,由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。 將t與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為，則,結(jié)論,幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程,32,1

11、2.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬,有關(guān)蒙特卡羅方法的由來 取名于摩納哥的著名賭城 擲色子是一個(gè)隨機(jī)事件 蒙特卡羅方法 任何涉及隨機(jī)采樣的數(shù)值方法 不僅僅用于有關(guān)隨機(jī)的問題 估計(jì) 圓周率 優(yōu)化問題 40年代美國(guó)Los Alamos 實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家用于核武器的研究 代表人物：馮諾依曼,經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法,Monte Carlo 方法 在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，如果我們對(duì)某種估計(jì)方法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不是很了解，而又要用到該種方法時(shí)，可以用Monte Carlo 方法來解決. 在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子: 對(duì)聯(lián)立方程偏誤的定量研究. 確定Dickey-Fuller 檢驗(yàn)的臨界值. 確定在自相關(guān)檢驗(yàn)中樣本大小對(duì)檢驗(yàn)功效的影

12、響,經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法,Monte Carlo 方法 在金融中的例子: 奇異期權(quán)的定價(jià). 確定宏觀環(huán)境對(duì)金融市場(chǎng)的影響. 風(fēng)險(xiǎn)管理建模: 壓力測(cè)試，例如，確定最小資本要求,模擬中的“隨機(jī)數(shù),進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)的關(guān)鍵是要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)。例如模擬樣本為100的隨機(jī)趨勢(shì)過程的DF統(tǒng)計(jì)量的分布，若試驗(yàn)1萬次，則需要生成200萬個(gè)隨機(jī)數(shù)。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機(jī)數(shù)一般是服從N(0,1)分布的隨機(jī)數(shù)。 計(jì)算機(jī)所生成的隨機(jī)數(shù)并不是“純隨機(jī)數(shù)”，而是具有某種相同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)，即某種“偽隨機(jī)數(shù)”（pseudo-random number）

13、。生成隨機(jī)數(shù)的程序稱作“偽隨機(jī)數(shù)生成系統(tǒng)”。實(shí)際上計(jì)算機(jī)不可能生成純隨機(jī)數(shù),模擬的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要通過計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)。 常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一樣。 若干例子見圖,圖1 隨機(jī)游走序列 圖2 帶趨勢(shì)項(xiàng)的隨機(jī)游走序列,圖3 三維圖圓環(huán) 圖4 空間曲面,圖5 投幣1000次的概率值模擬 圖6 生長(zhǎng)曲線,圖7 二元正態(tài)分布 圖8 蒲豐問題,39,12.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn),我們從幾個(gè)例子來看 例1：兩個(gè)I(1)變量相關(guān)系數(shù)分布的蒙特卡羅模擬,未達(dá)到N 圖11 蒙特卡羅模擬過程示意圖,EViews程序如下

14、,workfile corr u 1 500 series result for !i=1 to 500 smpl 1 100 series x=nrnd series y=nrnd series xx series yy scalar sum1=0 scalar sum2=0 for !counter=1 to 100 sum1=sum1+x(!counter) sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1 yy(!counter)=sum2 next scalar r=cor(xx,yy) result(!i)=r next result.hist,定義一

15、個(gè)非時(shí)間序列（u）工作文件，corr，容量為500。 定義一個(gè)空序列result，用來存儲(chǔ)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。 !i為控制變量，通過一個(gè)for循環(huán)語句使計(jì)算進(jìn)行500次。 把樣本范圍設(shè)置成100。 生成兩個(gè)互不相關(guān)的白噪聲序列x、y，樣本容量100。 定義兩個(gè)空的序列xx和yy，樣本容量也是100。 定義兩個(gè)標(biāo)量sum1和sum2，初始值為0。 !counter為控制變量，在這個(gè)for循環(huán)中，分別對(duì)序列x和y進(jìn)行一次累加生成兩個(gè)一階單整的序列，將結(jié)果分別放到序列xx和yy中。 累加一次。 計(jì)算序列xx和yy的相關(guān)系數(shù)，并將結(jié)果放到標(biāo)量r中。 將相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果放到序列result中，在這個(gè)fo

16、r循環(huán)中，這個(gè)操作要進(jìn)行500次。 顯示序列result的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計(jì)量,圖13 兩個(gè)非相關(guān)I(1) 序列的相關(guān)系數(shù)的分布,例2：DW統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬,例3（利用模擬方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)） 設(shè)股票價(jià)格St服從風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的幾何Brown運(yùn)動(dòng),其離散化形式為,根據(jù)金融工程理論，設(shè)現(xiàn)在股票價(jià)格為S0，T時(shí)刻到期（單位天），敲定價(jià)為K的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為,MC方案：按照（1）遞推產(chǎn)生n條風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的軌道，提取出ST (n)；（2,44,對(duì)一個(gè)大眾型歐式看漲期權(quán)的定價(jià). 具體步驟如下: 確定標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程. 通常假設(shè)該過程為具有漂移的隨機(jī)游走，即要確定漂移和波動(dòng)參數(shù).

17、同時(shí)要確定行權(quán)價(jià)格K 及到期日T. 產(chǎn)生T 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，作為誤差項(xiàng), ut N(0,1). 構(gòu)造T 個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的觀測(cè)值,例3:利用模擬方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià),45,記錄在時(shí)刻 T時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格ST. 對(duì)一個(gè)看漲期權(quán)如果 ST K, 則價(jià)值為ST - K, 然后用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn). 重復(fù) 1到 4步 N 次, 取 N 重復(fù)的平均值，這個(gè)平均值就是該歐式看漲期權(quán)的價(jià)格. 對(duì)于更加復(fù)雜期權(quán)的定價(jià)可以按同樣思路進(jìn)行,例:利用模擬方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)(續(xù),有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器,隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器能夠產(chǎn)生在區(qū)間0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù) Excel中 在excel中可以采用RAND（）產(chǎn)生一個(gè)0和1之間的隨機(jī)數(shù)， 累積正態(tài)分布分布的反函數(shù)為NORMSINV。 所以，EXCEL中從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機(jī)抽樣的方法是：NORMSINV（RAND（） STATA中 生成（0，1）之間偽隨機(jī)數(shù)的命令為uniform 每運(yùn)行”di uniform()”命令一次，就可以得到一個(gè)隨機(jī)數(shù) . simulate exp_list , reps(#) saving(filename , replace) seed(#) : command 例 simulate max=r(max), reps(10000) nodots:seq3，效果就是重復(fù)一萬次，取平均數(shù),有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器