從數(shù)學思想方法的培養(yǎng)角度審視小學數(shù)學競賽的訓(xùn)練與輔導(dǎo)(孫)

1、-知識改變生活 精品word文檔 值得下載 值得擁有-從數(shù)學思想方法的培養(yǎng)角度審視小學數(shù)學競賽的訓(xùn)練與輔導(dǎo)講稿湖塘中心小學 孫國祥、方程和函數(shù)思想方程和函數(shù)是初等數(shù)學代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，我將二者放在一起進行討論。1、方程與函數(shù)思想在教材中的具體應(yīng)用。方程思想：含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件：一個是含有未知數(shù)，另一個是必須是等式。經(jīng)常有小學老師有這樣的疑問：判斷=0 和=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的

2、個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學符號（常用、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。函數(shù)思想：集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，如果對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱y是的函數(shù)，記作y()。其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，y叫做函數(shù)或因變量，與相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學的角度出發(fā)的，自變

3、量只有一個，與之對應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學里學習的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學里不學習多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：rh。半徑和高有一對取值，體積就會相應(yīng)地有一個取值。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應(yīng)法則，從而構(gòu)建

4、函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的觀點。2、方程和函數(shù)的關(guān)系：方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學數(shù)學到中學數(shù)學，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和自變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如246。而函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)一定的法則相對應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和

5、列表法等，如集合為大于等于1 、小于等于10的整數(shù)，集合為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個集合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用y2表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。12345678910y2468101214161820人們運用方程思想，一般關(guān)注的是通過設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學問題和實際問題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才300年。方程和函數(shù)的聯(lián)系。方程和函數(shù)

6、雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是它們也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程abyc0和一次函數(shù)ykb之間。如果方程的解在實數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實數(shù)。那么方程abyc0經(jīng)過變換可轉(zhuǎn)化為yx,在直角坐標系里畫出來的圖象都是一條直線。因此，可以說一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)ykb中的函數(shù)值等于0，那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為kb0，這就是一元一次方程。因此，可以說求這個一元一次方程的解，實際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求一次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標的值。一般地，就初等數(shù)學而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的自變量的值

7、，或者說求函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標的值。3、方程與函數(shù)思想在數(shù)學競賽題中的具體應(yīng)用。所謂方程的思想是指在求解數(shù)學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系中找到相等關(guān)系，用數(shù)學符號化的語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不定方程，然后解方程（組）或不定方程從而使問題獲解。方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當設(shè)定未知數(shù)，把所研究的問題中已知量和未知量這間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決。當一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進行研究以解決這個問題。把未知數(shù)當已知數(shù)，讓所設(shè)未知數(shù)的字母和已知數(shù)一樣參加運算，這種思想方法是數(shù)學中常用的重要方法之一，是代數(shù)解法的重要

8、標志，與算數(shù)方法相比，更體現(xiàn)順向思維與邏輯推理的特質(zhì)。一般來說，當理解題意的過程中有明顯的符號化的等量關(guān)系的時候均可以考慮將某個未知量予以賦值或代換賦值從來與已知量之間建立一種等式后用方程的思想方法求解。特別是有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用算術(shù)方法求解比較困難。此時，如果能恰當?shù)丶僭O(shè)一個未知量為x（或其它字母）當然這也是一種賦值思想的體現(xiàn)，并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，能使數(shù)量關(guān)系清晰明了、但小學生對繁雜的方程解法的掌握應(yīng)是關(guān)鍵。所以這類思想的培養(yǎng)之初，還得進行必要的解方程能力的訓(xùn)練。案例1：商店有

9、膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7.5元，布鞋每雙5.9元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問：膠鞋有多少雙？分析與解：此題幾個數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來，用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達出來。設(shè)膠鞋有x雙，則布鞋有（46-x）雙。膠鞋銷售收入為7.5x元，布鞋銷售收入為5.9（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：設(shè)有膠鞋x雙，則有布鞋（46-x）雙。7.5x-5.9（46-x）=10， 7.5x-271.4+5.9x=10， 13.4x=281.4， x=21。答：膠鞋有21雙。在案例1中，求膠鞋有多少雙，我們設(shè)膠鞋有x雙；像那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)

10、什么，這種方法叫直接設(shè)元法；為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡便。在小學階段，大多數(shù)題目可以使用直接設(shè)元法。案例2：一群學生進行籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數(shù)統(tǒng)計的部分情況如下表：還知道至少投進3個球的人平均投進6個球，投進不到8個球的人平均投進3個球。問：共有多少人參加測驗？分析與解：設(shè)有x人參加測驗。由上表看出，至少投進3個球的有（x-7-5-4）人，投進不到8個球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進球數(shù)不到3個的人的進球數(shù)加上至少投進3個球的人的進球數(shù)，07+15+24+6（

11、x-7-5-4）= 5+8+6（x-16）= 6x-83，也等于進球數(shù)不到8個的人的進球數(shù)加上至少投進8個球的人的進球數(shù)，3（x-3-4-1）+83+94+101，= 3（x-8）+24+36+10= 3x+46。由此可得方程6x-83=3x+46， 3x=129， x=43（人）。模擬練習1：1.某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計劃修建住宅多少座？解：直接設(shè)，計劃修建住宅x座。80x-40=(30x+40)2 x=62.教室里有若干學生，走了10個女生后，男生是女生人

12、數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？解：設(shè),最初有X名女生。 2（x-10）-9 5=x-10 x=153.大、小兩個水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？解：設(shè)，小池的容積是X噸，則大沲注滿水為1.5x噸，由兩沲水共有水量可得方程： 1.5x+5=x+30 x=50 大沲：50+30=80(噸)4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、

13、女孩各有多少人？解：設(shè)，女孩子有X人。（x-1）2-1=x+5 x=8 男=(8-1) 2=14解二：設(shè)有X個男孩子，因為每個人看不到自己的帽子，根據(jù)男孩子看的情況，有女孩（X-5-1）個，再根據(jù)女孩看的情況，可列方程X=（X-5-1）-126.教室里有若干學生，走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的1.5倍，又走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個學生？解：設(shè)，教室里原有女生X人。 1.5（x-10）=4(x-10-10) x=26 男生=1.5(x-10)=24人 共有：26+24=50人7.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公

14、羊與母羊的只數(shù)比是97；過了一會跑走的公羊又回到了羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是75。這群羊原來有多少只？解：設(shè)，這群羊原來有x+1只。 9/(9+7)x+1=7/(7+5)x x=48 則x+1=49只接下來我們來看這樣一個案例：案例3：學校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？分析與解：設(shè)需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。這個方程有兩個未知數(shù)，我們沒有學過它的解法，但由4y和66都是偶數(shù)，推知7x也是偶數(shù)，從而x是偶數(shù)。當x=2時，由72+4y=66解得y=13

15、，所以x=2，y=13是一個解。因為當x增大4，y減小7時，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個解x=2，y=13，當x增大4，y減小7時，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一個解。所以本題安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。在方程7x+4y=66中，對于x的任何值，都可以得到y(tǒng)=，也就是說，方程7x+4y=66有無數(shù)個解。由于這類方程的解的不確定性，所以稱這類方程為不定方程。根據(jù)實際問題列出的不定方程，往往需要求整數(shù)解或自然數(shù)解，這時的解有時有無限個，有時有有限個，有時可能是唯一的，有時甚至無解。例如：x-y=1有無限個解，因為只要x比y

16、大1就是解；3x+2y=5只有x=1，y=1一個解；3x+2y=1沒有解。由上看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到。限于小學生學到的知識的有限性，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。模擬練習2：1求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。解：X=13 y=1； X=7 y=11； X=10 y=6； X=1 y=21； X=4 y=16。共五組解。2用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？解：設(shè)“3元一個”買了X個，“7元一個”買了Y個。根據(jù)題意得：3X+7Y=100得：X=31 y=1； X=24 y=4； X=17 y=

17、7； X=10 y=10； X=3 y=13。共五組解。3五年級一班的43名同學去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？解：設(shè)大船有x條，小船有y條，根據(jù)題意得：7x+5y=43y=（43-7x）5得：X=4 y=3，所以有大船有4條，小船有3條。用方程的思想還可以解決很多數(shù)學競賽專例。如位值原則等。案例4：有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差666。求原來的兩位數(shù)。分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)前面，等于加了100；把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)后面，等于這個兩位數(shù)乘以10后再加1。設(shè)這個兩位數(shù)為

18、x。由題意得到（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666， 10x-x=666-1+100， 9x=765， x=85。原來的兩位數(shù)是85。案例5：將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。分析與解：設(shè)原來的三位數(shù)的三個數(shù)字分別是a，b，c。若由上式知，所求三位數(shù)是99的倍數(shù)，可能值為198，297，396，495，594，693，792，891。經(jīng)驗證，只有495符合題意，即原來的三位數(shù)是495。案例6：無限循環(huán)小數(shù)0.777和0.747474如何化成分數(shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析與解：根據(jù)小數(shù)和分數(shù)的

19、關(guān)系，有限小數(shù)化分數(shù)比較容易進行。由于無限小數(shù)的特點，不能直接用有限小數(shù)化分數(shù)的方法進行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點，循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)字，就把這個循環(huán)小數(shù)乘10的幾次方；它的左起第一個循環(huán)節(jié)就變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會改變；二者的小數(shù)部分相同，二者的差為循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如設(shè)0.777，那么107.777,求它們的差107，解方程，所以0.777。同理可得，10074，所以0.747474。最后用化歸的思想得出無限循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的規(guī)律：把循環(huán)節(jié)作為分子，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個9組成的幾位數(shù)。模擬練習3：1.有一個兩位數(shù)

20、，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)之和是970。求原來的兩位數(shù)。解：設(shè)原來的兩位數(shù)為X。（100+X）+（10X+1）=970 X=792.有一個三位數(shù)，將數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個四位數(shù)，將數(shù)碼3加在它的后面也可以得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)之差是2351，求原來的三位數(shù)。解：設(shè)原來的三位數(shù)為X。（10X+3）-（1000+X）=2351 X=3723.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的5倍比原數(shù)大6，求這個兩位數(shù)。解：設(shè)原來兩位數(shù)的兩個數(shù)字分別為 a,b。根據(jù)題意得：（a+b）5=10a+b+6b=（6 +5a）4 得：a=2，b=4；a=

21、6，b=9。經(jīng)檢驗，兩組解均符合題意。所以原來的兩位數(shù)為24或69。4.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的6倍比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)。解：設(shè)原來兩位數(shù)的兩個數(shù)字分別為 a,b。根據(jù)題意得：（a+b）6=10a+b-9 a=（9+5b）4得：a=6，b=3；a=11，b=7。經(jīng)檢驗，a=11，b=7不符合題意。所以原來的兩位數(shù)為63。5.一個三位數(shù)，抹去它首位數(shù)之后剩下的兩位數(shù)的4倍比原三位數(shù)大1，求這個三位數(shù)。解：設(shè)原來三位數(shù)的百位數(shù)字為a，后兩位值為X。根據(jù)題意得：4X=100a+X+1X=（100a+1）3得a=2，X=67。所以這個三位數(shù)為267。所謂函數(shù)的思想是指以函數(shù)概念為依托（并不涉及函

22、數(shù)），通過抓住數(shù)量關(guān)系中不變的量。從而即刻聯(lián)系出另外變化的量之間具體問題中變量與變量之間的關(guān)系的數(shù)學思想方法。函數(shù)的思想是對運動變化的動態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學在研究客觀事物中的重要作用。一般來說，在計算三角形的面積時，根據(jù)高相同（不變量），馬上可以運用函數(shù)的思想推出面積與底邊（變化的量）成正比；在計算行程問題時，根據(jù)時間相同（不變量），馬上可以推出路程與速度（變化的量）成正比等，而這種需要構(gòu)造一種數(shù)量之間的變化聯(lián)系的情形下時，均可以考慮運用狹義的函數(shù)的思想方法。先講講函數(shù)思想在形體中的應(yīng)用。案例7：如左下圖所示，三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長一倍到D，E，F(xiàn)，

23、兩兩連結(jié)D，E，F(xiàn)，得到一個新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。分析與解：想辦法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯(lián)系。連結(jié)FB（見右上圖）。因為CA=AF，利用高相同，面積與底邊成正比的函數(shù)思想，推出三角形ABC與三角形ABF等底等高，面積相等。因為AB=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF的面積是10+10=20（厘米2）。同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。所以三角形DEF的面積等于203+10=70（厘米2）。模擬練習4：1.如下左圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面積是1，則三角形A

24、BC的面積是多少？提示：如右上圖，SACF=SBCF，SBFD=SEFD=SCFE。2.如下中圖所示，四邊形ABCD的面積是1，將BA，CB，DC，AD分別延長一倍到E，F(xiàn)，G，H，連結(jié)E，F(xiàn)，G，H。問：得到的新四邊形EFGH的面積是多少？答：得到的新四邊形EFGH的面積是5。3如下右圖，三角形ABC的面積是30厘米2，AE=ED，BD=BC，求陰影部分的面積和。連FD，則三角形AFE面積=三角形FED面積; 三角形AEB面積=三角形EDB面積;所以，三角形AFB面積=三角形FDB面積；而三角形FDB面積=三角形FDC面積的2倍。設(shè)三角形FDC的面積為X，則三角形ABC的面積為2x+2x+x=5x;所