一類高考導數壓軸題的統(tǒng)一解法

1、一類高考導數壓軸題的統(tǒng)一解法 黑龍江省大慶實驗中學 姜本超導數常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.作為壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，利用導數證明不等式等，常伴隨對參數的討論，這也是難點之所在. 2011年全國新課標卷理科數學21題就是一道典型的以導數為背景，通過求最值分類討論解決恒成立問題。學生在思考的過程中會產生兩種常見的想法，但并不是每一種方法都能達到預期的效果，下面我們就來探討一下解決這類問題的統(tǒng)一方法。原題：（2011年高考試題全國新課標卷理科數學21題）已知函數，曲線在點處的切

2、線方程為（I）求的值；（II）如果當且時，求的取值范圍解：（I）略（II）由（）知考慮函數，則(i)設，由知，當時，而，故當時，可得；當時，從而當時，恒成立（ii）設由于當故而時，與題設矛盾（iii）設故當可得出矛盾綜合可得的取值范圍是評析：該題在解決的過程中是通過構造一個新的函數，通過討論該函數的單調性和零點，找出恒成立的范圍，再舉出反例將其它范圍舍去。在解決該類問題時還有一個常見的辦法，就是分離變量，下面我們試一試。解：分離變量得由于在時沒有意義，故變形為，令則，易知當時取到最小值所以，所以所以恒成立，故的取值范圍是評析：采用分離變量方法使計算過程變得簡單明了，但仔細觀察不難發(fā)現，這樣的分

3、離變量是有問題的，因為在時原函數是沒有意義的，我們并不知道在時的極限，并且要證明函數的連續(xù)性，這些知識超出了高中的學習范圍，是大學知識。事實證明，采用分離變量是存在問題的。對于這樣的類型題有兩個常見的方法可以選擇，方法一：利用導數性質判斷函數的單調性，研究函數的值域，分類討論得出結果。方法二：大學知識輔助分離變量法。在高中階段適合學生的是方法一，下面再舉一例：案例1：（2010年高考試題全國新課標卷理科數學21題）設函數（I）若求的單調區(qū)間.（）若時求的取值范圍.解：（I）略（）解：，若，則由（I）知所以，所以即若，由（I）知，則，即，當時，由于所以，所以當時不成立，故這道題的第二問是否也可以

4、采取分離變量的方法呢？我們可以嘗試一下：由已知得，令,由圖像知時取到極小值，且，由羅必塔法則可求得極限為，再根據函數的連續(xù)性可知.在高中階段我們并沒有學習求極限的方法，所以這道題不可以分離變量。那么2011年的高考題也有這樣的情況嗎？令，由函數圖像知時取得極小值，可對求極限，由羅必塔法則得，所以。還有其它的高考題具有同樣的特點嗎？案例2：（2007年高考試題全國卷理科數學22題）設函數（I）證明：的導數（）若對所有都有求的取值范圍。解：（）略（）令，則，（）若，當時，故在上為增函數，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數所以，時，即，與題設相矛盾綜上，滿足條件的的取

5、值范圍是該題若進行分離變量即，令，由圖像可知時取到極小值，但，由羅必塔法則可求得極限，所以，該題仍然可以用相同的方法解決。評析：以上三道高考題具有相同的特點，即第二問都可以通過討論的方式，一部分范圍是恒成立的，而另一部分范圍則需要舉出反例，舍去。在解決的過程中，通常還得用到恒等變形，適當放縮，所以難度都很大，在考場上想利用高中知識迅速準確的做對，都非常困難。在近五年高考中，全國卷共考了五次，不得不讓我們對它給予高度的重視和研究。探究一下這類問題的本質，他們都不是連續(xù)函數，在無意義的點是不連續(xù)的，該點是函數的間斷點，而且是函數的可去間斷點，在間斷點的兩側，該函數是單調函數，而且都是左減右增。利用大學知識，羅必塔法則可以求出該點的極限值，這三題的答案都是小于等于號，說明該極限值是一個極小值，這個極限值就是臨界值。此類問題以大學數學中的函數連續(xù)為背景，存在著一個可去間斷點，這個點就是討論的重點。在高中階段，無法求出極限值，極小值，只能通過分類討論等辦法，探求參數的取值范圍。由上面的幾道例題不難得出解決該類問題的統(tǒng)一方法，分兩步走：一、通過分類討論，探求使結論成立的參數范圍，證明其恒成立。二、通過舉出反例，將不符合要求的部分舍去。下面給出兩個練習題，供大家思考：練習1：（2010年全國理數