專題10-解三角形-三年(2017-2019)高考真題數(shù)學(xué)(理)分項匯編含解析

1、專題10 解三角形1【2018年高考全國理數(shù)】在中，則ABC D【答案】A【解析】因為所以，故選A.【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件，靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.2【2018年高考全國理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則ABCD【答案】C【解析】由題可知，所以，由余弦定理，得，因為，所以，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理與三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.3【2017年高考山東卷理數(shù)】在中，角A，B，C的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立

2、的是A B C D【答案】A【解析】由題意知，所以，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形. 首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有A，B，C的式子，再用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視.4【2019年高考全國卷理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為_【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，【名師點(diǎn)睛】本題易錯點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計算本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面

3、積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查5【2019年高考浙江卷】在中，點(diǎn)在線段上，若，則_，_【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在中應(yīng)用正弦定理，建立方程，進(jìn)而得解.解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征.6【2018年高考浙江卷】在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若，b=2，A=60，則sin B=_，c=_【答案】，3【解析】由正弦定理得，所以由余弦定理得（負(fù)值舍去）.【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多

4、為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.解答本題時，根據(jù)正弦定理得sinB，根據(jù)余弦定理解出c.7【2017年高考浙江卷】已知ABC，AB=AC=4，BC=2點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_【答案】【解析】取BC中點(diǎn)E，由題意：，ABE中，解得或（舍去）綜上可得，BCD面積為，【名師點(diǎn)睛】利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般思路：（1）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個

5、以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解8【2019年高考全國卷理數(shù)】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因為，所以（2）由（1）知，由題設(shè)及正弦定理得，即，可得由于，所以，故【名師點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.9【2019年高

6、考全國卷理數(shù)】ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若ABC為銳角三角形，且c=1，求ABC面積的取值范圍【答案】（1）B=60；（2）.【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得因為sinA0，所以由，可得，故因為，故，因此B=60（2）由題設(shè)及（1）知ABC的面積由正弦定理得由于ABC為銳角三角形，故0A90，0C90，由（1）知A+C=120，所以30C90，故，從而因此，ABC面積的取值范圍是【名師點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及正弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個條件的利用，考查的很全面，是一道很好的考題.10【2019年

7、高考北京卷理數(shù)】在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（BC）的值【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由余弦定理，得.因為，所以.解得.所以.（2）由得.由正弦定理得.在中，B是鈍角，所以C為銳角.所以.所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11【2019年高考天津卷理數(shù)】在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因為，得到，由余弦定理可得（2）由（1）可得，從而，故【名師點(diǎn)睛】本小

8、題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識考查運(yùn)算求解能力12【2019年高考江蘇卷】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.13【2019年高考江蘇卷】如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有

9、橋AB（AB是圓O的直徑）規(guī)劃在公路l上選兩個點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點(diǎn)選在D處？并說明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、Q兩點(diǎn)間的距離【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩

10、形，.因為PBAB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)OBP90時，在中，.由上可知，d15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，.此時，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PBA

11、B，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OHl，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因為BD=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（4，3），直線AB的斜率為.因為PBAB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（

12、4，0），則EO=45，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因為，所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)OBP90時，在中，.由上可知，d15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩

13、點(diǎn)間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.14【2018年高考全國理數(shù)】在平面四邊形中，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以.由題設(shè)知，所以.（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【名師點(diǎn)睛】求解此類問題的突破口：一是觀察所給的四邊形的特征，正確分析已知圖形中的邊角關(guān)系，判斷是用正弦定理，還是用余弦定理，求邊角；二是注意大邊對大角，在解三角形中的應(yīng)用.15【2017年高考

14、全國理數(shù)】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積為. （1）求sin Bsin C;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角

15、，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.16【2018年高考天津卷理數(shù)】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大?。唬?）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】（1）；（2）b=，=.【解析】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分13分（1）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因為，可得B=（2）在A

16、BC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因為ac，故因此， 所以， 【名師點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用解決三角形問題時，注意角的限制范圍17【2017年高考全國理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題設(shè)及，可得，故上式兩邊平方，整理得，解得(舍去)，（2）由得，故又，則由余弦定理及得：所以【名師點(diǎn)睛】解三角形問題是高考的高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主

17、要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理，三角形的面積公式等知識進(jìn)行求解解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者之間的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受命題者的青睞18【2018年高考北京卷理數(shù)】在ABC中，a=7，b=8，cosB=（1）求A；（2）求AC邊上的高【答案】（1）；（2）【解析】（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如圖所示，在ABC中，sinC=，h=，AC邊上的高為【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值

18、問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的，基本步聚是：第一步，定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步，定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊、角之間的互化；第三步，求結(jié)果.19【2017年高考天津卷理數(shù)】在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知，（1）求和的值；（2）求的值【答案】（1）的值為，的值為；（2）.【解析】（1）在中，因為，故由，可得由已知及余弦定理，有，所以由正弦定理，得所以，的值為，的值為（2）由（1）及，得，所以，故【名師點(diǎn)睛】（1）利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”可尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊

19、”可尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系可求角，利用兩角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函數(shù)值（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高頻考點(diǎn)，常與三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等相結(jié)合，利用正、余弦定理進(jìn)行解題20【2017年高考全國理數(shù)】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，a=2，b=2.（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，所以.在中，由余弦定理得，即.解得 (舍去)，.（2）由題設(shè)可得，所以.故面積與面積的比值為.又的面積為，所以的面積為.【名師點(diǎn)睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因為公式

20、中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.正、余弦定理在應(yīng)用時，應(yīng)注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.（1）由題意首先求得，然后利用余弦定理列方程，邊長取方程的正實(shí)數(shù)根可得；（2）利用題意首先求得的面積與的面積的比值，然后結(jié)合的面積可求得的面積為.21【2017年高考江蘇卷】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為32cm，容器的底面對角線AC的長為10cm，容器的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm分別在容器和容器中注入水，水深均為12c

21、m現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計） （1）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度； （2）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度【答案】（1）16 cm(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)；（2）20 cm(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處因為，所以，從而，記與水面的交點(diǎn)為，過作P1Q1AC，Q1為垂足，則P1Q1平面ABCD，故P1Q1=12，從而AP1=答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)（2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心由正棱臺的定義，OO1平面EFGH，所以平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG同理，平面E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處過G作GKE1G1，K為垂足，則GK =OO1=32因為EG = 14，E1G1= 62，所以KG1=，從而設(shè)則因為，所以在中，由正弦定理可得，解得因為，所以于是記EN