高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的基本公式推導(dǎo)

1、圓錐曲線的幾大大題特征公式：焦半徑、準(zhǔn)線、弦長(zhǎng)、切線方程、弦中點(diǎn)公式、極線方程 圓錐 曲線 的切 線 方程 在 歷年高考題中出現(xiàn)，但是在高中教材及資料都涉及較少。本文主要探索圓錐曲線的切線方程及其應(yīng)用。從而為解這一類題提供統(tǒng)一、清晰、簡(jiǎn)捷的解法。 【基礎(chǔ)知識(shí)1：切線方程、極線方程】 22換成yy，x換成(x+x)/xx，y2,y換成(y+y)/【1-0】公式小結(jié)：x2. 換成0000【1-1】 橢圓的切線方程 ： xxyy22xy00)yP(x,?1。 處的切線方程是 橢圓 上一點(diǎn)1? 0022 ab22abxxyy22xy00)y(x,P?1。過橢圓 外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 1?

2、0022 ab22ab22xy22222Aa?Bb?C?00C?Ax?Bx? 相切的條件是橢圓與直線1? 22ab(也就是下篇文檔所講的硬解定理公式=0的充要條件) 【1-2】雙曲線的切線方程： xxyy22xy00)x,yP(?1?。 上一點(diǎn)雙曲線處的切線方程是 1? 0022 ab22abxxyy22xy00),yP(x?1?。 外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 過橢圓1? 0022 ab22ab22xy22222Aa?Bb?C?00?AxBx?C 與直線橢圓相切的條件是1? 22ab【1-3】拋物線的切線方程： 2px?2y)xxp(?,y)yy?2P(x 上一點(diǎn)處的切線方程是物線 00

3、002y?2pxyy?2p(x?x) 處所引兩條切線是 外一點(diǎn)過拋物線 0022AC2pB?px2y?0?Bx?CAx? 拋物線與直線相切的條件是【1-4】 基礎(chǔ)知識(shí)的證明： 【公式一：曲線C上切點(diǎn)公式證明】 1、第1種證明思路：過曲線上一點(diǎn)的切線方程 P(x,y)y?y?k(x?x), 為聯(lián)立方程，令 的切上某一點(diǎn)處 線 方 程C設(shè)曲線000022)y(xxyy(x0000?1?0k的表達(dá)式，,最后得切線方程式 再代入原始式，得到 2222bbaak的表達(dá)式可以在草稿中巧用點(diǎn)差法求,具體見下）（注: 2、第2種證明思路：點(diǎn)差法(求斜率，其余跟第一種方法一樣) (x,y)y,()y,(xx 證

4、明：設(shè)某直線與曲線P，中點(diǎn)、N、MC交于兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為00221122?yx11?1,(1)? 222222x?xy?y?ab2121?.?0?(1)?(2)，得 則有 ? 22ab22xy?22?1.(2?)? 22ab?2y2yyy?y?yyy?y?yb002121?k.?,1212?又 MN2x?xx?x2xxx?xx?xa022101122122yybb00?k?k?) 弦中點(diǎn)公式的橢圓基本表達(dá)式。雙曲線則是 ( MNMN22xaxa002xb0k? 無限趨近時(shí)，P在橢圓C上。即得切線斜率當(dāng)M、N 2ay03、第三種證明思路(注意：僅供理解，考試使用可能分 （圓錐曲線切線證明）（同一目

5、錄下文章）可知圓上一點(diǎn)的切線方程。2 證明：由坐標(biāo)變幻，令x?a?x,y=b?y,22?yx22?+y1?1,從而得到變形后橢圓表達(dá)式?因?yàn)閳A方程為x 22bayyxx001因?yàn)閳A切線方程為xx+yy?1從而得到橢圓切線方程? 0022ba 1種證明思路中，拋物線證明過程中稍微有些不同。附言：第 切線斜率可用導(dǎo)數(shù)表示。22y?px2y 把消去。得到式子后，要利用00 稱為極線方程)【公式二：曲線外一點(diǎn)引切線，過切點(diǎn)作直線的通式證明】(x,y)(x,y)P(x,y。 A，B證明思路：過作兩條曲線C的切線，切點(diǎn)為221100Ax?By?C?0?11?l0C?Ax?Bx? 兩點(diǎn)直線方程為過A、。所以

6、B?ABAx?By?C?0?22證明(就舉橢圓為例) (x,y)(x,y),P(xy。作兩條曲線C的切線，切點(diǎn)為A ，B解：過221100xxyyxxyy1122?1?1。點(diǎn)切線過A: ，過B點(diǎn)切線： 2222ababxxyy00?l?1? 兩點(diǎn)直線、AB方程為過 AB22ab 【公式三：由公式一的思路可得】 【基礎(chǔ)知識(shí)2：焦半徑與準(zhǔn)線】(具體關(guān)系與內(nèi)容省略，詳情看圓錐曲線知識(shí)表格) 【1-0】 【1-1】焦半徑公式(具體推導(dǎo)用“兩點(diǎn)間距離公式”也可解決，之后類似“求長(zhǎng)度”的題型，求長(zhǎng)度式子寫“兩點(diǎn)間舉例公式”，結(jié)果可以直接靠背。對(duì)于焦半徑PF， aex?a大則在前左加右減。) (記憶：口訣：

7、橢圓F?ex?a 左減右加。左加右減，雙曲線上點(diǎn)P 雙曲線F2a?x?準(zhǔn)線距離a?ex)/e= 焦半徑與點(diǎn)到準(zhǔn)線距離關(guān)系如下。即( c推廣應(yīng)用: ?n,m?ktancos的值通過的值 比例 e的值 m?n1?cos?巧用公式) (注：雙曲線交于同側(cè)、拋物線類似 emn?1nm?cos 不過需要注意的是，雙曲線交于異側(cè)時(shí)，公式就變?yōu)?，具體自己推導(dǎo)吧 e?nm【基礎(chǔ)知識(shí)3：弦中點(diǎn)公式及系列類似結(jié)論拓展】(坐標(biāo)變幻只能用于證明部分內(nèi)容) 【結(jié)論一：弦中點(diǎn)公式】 (x,y)y,x(),x(y 設(shè)某直線與曲線【證明】：CP，、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為N、交于M中點(diǎn)00221122?yx11),(1?1? 2222

8、22yxy?x?ba2121?.?0?)(2(1)?，得 則有 ? 22ba22yx?22)(2?1.? 22ab?2yy2yy?y?yyyy?y?b002211?.?k,?1221?又 MN2xx?x2x?xxaxxx?x?00122111222yb0?k?k?即k) (常用 OPMNMN2ax0 結(jié)論：斜率不變的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，所得兩點(diǎn)中點(diǎn)的軌跡是一條過原點(diǎn)的直線。 【抽象理解型證明】 具體理解，可以用“坐標(biāo)系變幻理解”),y,y)(x(x，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、C交于M、N的直線與曲線證明：設(shè)某斜率為定值k2211),y(x P中點(diǎn)0022yx221?1?(x)+ (y)b?ya?x,y=

9、?x，令。 22ba倍y軸縮短bx軸縮短a倍， 變幻后， MN垂直，得到中點(diǎn)軌跡方程始終與?yb?yb?k?k?k?k?1又 MNOP?xa?xa 2bbb?k?k?kk? MNOPOPMN2aaa 【結(jié)論二：頂點(diǎn)連線斜率乘積公式】(用坐標(biāo)變幻好理解)(部分設(shè)元會(huì)用它比較方便) 2b?k?k,具體證明見下面的“拓展性證明”,若要抽象理解的話坐標(biāo)變幻后兩個(gè)垂直， BPAP2a2b?k?k證明方法和上面一樣。至于雙曲線，則是。結(jié)論可以直接背，不過引用的時(shí) BPAP2a候還得按照下面的方法老實(shí)推導(dǎo)。 【結(jié)論三：（上一結(jié)論的延伸）對(duì)稱點(diǎn)連線斜率乘積公式】(沒法用坐標(biāo)變幻) 證明：不建議設(shè)直線，直接設(shè)兩個(gè)元最后消元即可(此處只列橢圓的，雙曲