判別式、根系關(guān)系學(xué)生版

1、一元二次方程根的判別式（一）判別式定理及其逆定理定理1 方程有兩個不相等的實數(shù)根；定理2 方程有兩個相等的實數(shù)根；定理3 方程沒有實數(shù)根；定理4 方程有兩個實數(shù)根。一元二次方程根的判別式的應(yīng)用舉例1.不解方程，判斷方程根的情況。解題步驟：先算出判別式的值，再作出結(jié)論。例1 不解方程，判斷下列關(guān)于x的方程根的情況。 特別提醒：應(yīng)用判別式，必須先將一元二次方程化為一般形式。目的是為了正確的確定的值。例2 討論關(guān)于x的方程(m1)x22mx(m2)0的根的情況練習(xí)：討論關(guān)于的方程的根的情況。2.根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍。解題步驟：根據(jù)題意，利用判別式定理的逆定理得到相應(yīng)的方

2、程或不等式，再解方程或不等式得到待定系數(shù)的值或取值范圍。例3 取何值時，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？有兩個實數(shù)根？有實數(shù)根。特別提醒：若能確認(rèn)方程是一元二次方程則隱含二次項系數(shù)的條件，解題時不能遺漏，若不能確認(rèn)是一元二次方程則要分類討論。注意方程有兩個實數(shù)根和有實根的區(qū)別。例4 已知方程2x2(k9)x(k23k4)0有兩個相等的實數(shù)根，求k值，并求出方程的根例5 若關(guān)于x的方程x22(a1)x(a24a5)0有實數(shù)根，試求正整數(shù)a的值例6 已知兩個關(guān)于x的方程mx22(m2)x(m5)0， (m5)x22(m2)xm0 求：使方程沒有實數(shù)根且方程有兩個不相

3、等的實數(shù)根的m的取值范圍課堂練習(xí)1關(guān)于x的一元二次方程kx22x10有兩個不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是_3若方程(k21)x26(3k1)x720有兩個不同的正整數(shù)根，則整數(shù)k的值是 4若a，b，c互不相等，則方程(a2b2c2)x22(abc)x30（ ）(A)有兩個相等的實數(shù)根 (B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)沒有實數(shù)根 (D)根的情況不確定5已知關(guān)于x的方程x2(2m1)x(m2)20m取什么值時，(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根？(2)方程有兩個相等的實數(shù)根？(3)方程沒有實數(shù)根？6k取什么值時，方程4x2(k2)xk10有兩個相等的實數(shù)根？并求出這時方程的根。7已知關(guān)于x的方程x2x

4、2k10有實數(shù)根，求k的取值范圍。8若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍，9關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍。10關(guān)于的方程有實數(shù)根，求的取值范圍。一元二次方程根的判別式（二）3證明含字母系數(shù)的一元二次方程有、無實數(shù)根（有理根）。解題步驟：先求出判別式的表達(dá)式，然后對這個表達(dá)式進(jìn)行恒等變形，使之符號明朗化，再根據(jù)的符號性質(zhì)，得出相應(yīng)結(jié)論。例1 求證：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根。例2 已知是三角形的三邊，求證：關(guān)于的方程沒有實數(shù)根。例3 求證：無論k取何有理數(shù)，關(guān)于x的方程x2-2kx+4(k-1)=0都有有理數(shù)根.特別提醒：恒等變形時經(jīng)常需要配方或因式分解。4利用判別式判定三角形形狀

5、例4 a，b，c是三角形的三邊長，若方程組只有一組解，則這個三角形一定是_三角形練習(xí)：已知方程3x22(abc)xabbcac0有兩個相等的實數(shù)根，其中a，b，c是一個三角形的三條邊，求證：這個三角形是等邊三角形5利用判別式作幾何計算例5 已知RtABC的兩直角邊是方程的兩實根，試求這個直角三角形的周長課堂練習(xí)1對于k9的一切實數(shù)，關(guān)于x的方程(k5)x22(k3)xk0（ ）(A)沒有實數(shù)根 (B)有兩個相等的實數(shù)根(C)有兩個不相等的實數(shù)根 (D)不能肯定實數(shù)根的個數(shù)2已知a，b，c是ABC的三條邊長，且方程(cb)x22(ba)x(ab0有兩個相等的實數(shù)根，那么這個三角形是（ ）(A)等

6、邊三角形 (B)等腰三角形 (C)不等邊三角形 (D)直角三角形3m為何值時，關(guān)于x的方程(m21)x22(m1)x10有實數(shù)根4求證：關(guān)于x的方程x2(2k1)xk10有兩個不相等的實數(shù)根。5求證：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（一）(一)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理及其推論）1如果ax2bxc0(a0)的兩個根是x1，x2，那么2簡化的一元二次方程x2pxq0的根與系數(shù)的關(guān)系我們把二次項系數(shù)是1的方程叫做“簡化的一元二次方程”如果方程x2pxq0的兩根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q我們把這個定理叫做韋達(dá)定理的推論。（二）韋達(dá)定理的逆定理如果方

7、程x2pxq0的兩根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q由 x1x2p，x1x2q，可知p(x1x2)，qx1x2， 方程x2pxq0，即 x2(x1x2)xx1x20這就是說，以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2(x1x2)xx1x20(三)韋達(dá)定理的應(yīng)用1不解方程，確定方程的兩根之和與兩根之積。例1 不解方程，求出下列方程中的兩根之和，兩根之積。 2.已知方程的一個根，求出另一個根及待定系數(shù)。方法一：將根帶入方程，求出待定系數(shù)，再解方程或用韋達(dá)定理求另一根。方法二：由韋達(dá)定理得到關(guān)于方程的另一根與待定系數(shù)的方程組，再解方程組。例2 已知方程5x2kx60的一個根

8、是2，求它的另一個根及k的值練習(xí) 已知方程有一個根是，求k的值。3.不解方程，求已知方程的兩根的對稱輪換式的值。常見的一元二次方程的的兩根的對稱輪換式有：解題步驟：用韋達(dá)定理求出和的值，然后將這些代數(shù)式通過恒等變形用和來表示，再將和的值代入求值。(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2；例3 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x23x10兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和例4 ，是方程x23x50的兩個根，不解方程，求的值：4.已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中待定系數(shù)的值。例5 已知關(guān)于x的方程的兩實數(shù)根的平方和等于6，求k的值。說明：對于待定系數(shù)的一元二次方程，待定系數(shù)確定之后，

9、要檢驗判別式是否為非負(fù)數(shù)，若為負(fù)數(shù)，則相應(yīng)的待定系數(shù)的值要舍去。例6 關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，并且兩根之差的平方小于1，求m的取值范圍。例7 已知方程，如果方程兩根之差為5，求m的值。如果一個根是另一個根的兩倍，求m的值。說明：巧妙的設(shè)出方程的根，會簡化解題過程。課堂練習(xí)1已知方程x212xm0的一個根是另一個根的2倍，則m_2已知關(guān)于x的一元二次方程(k21)x2(k1)x10的兩根互為倒數(shù)，則k的取值是（ ）3已知方程x23xk0的兩根之差為5，則k_4設(shè)方程3x25xq0的兩根為x1和x2，且6x1x20，那么q的值等于（ ）5若關(guān)于x的方程3(x1)(x2m)x(m12)的兩

10、根之和等于兩根之積，則此方程的兩根為（ ）6已知關(guān)于x的二次方程x22px2q0有實數(shù)根，其中p，q都是奇數(shù)，那么它的根 （ ）(A)一定都是奇數(shù) (B)一定都是偶數(shù)(C)有可能是真分?jǐn)?shù) (D)有可能是無理數(shù)7(1)如果5是方程5x2bx100的一個根，求方程的另一個根及b的值8設(shè)x1，x2是方程2x24x30的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求下列各式的值：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（二）4已知方程的兩根，求作這個方程。注：一般習(xí)慣把系數(shù)化為整數(shù)。練習(xí)：5討論方程根的性質(zhì)。例2 當(dāng)k取何值時，方程有一根為零，兩根互為相反數(shù)，兩根互為倒數(shù)。例3 已知方程，（1）求證：方程必有兩個不相等的實數(shù)根（2）a取何值時，方程必有兩個正根（3）a取何值時，方程有兩個異號的實數(shù)根，并且負(fù)根的絕對值大？例4 如果關(guān)于x的方程2x23x5m0的兩個實數(shù)根都小于1，試求實數(shù)m的范圍6雜題選講例5 若a、b為互不相等的實數(shù)，且a23a1=0，b23b1=0，則的值為（ ）例6 已知實數(shù)a，b滿足條件，則 。例7 先閱讀下面第（1）題的解答過程，然后再解答第（2）題，（1）已知實數(shù)a、b滿足a2=22a，b2=22b，且ab，求+的值（2）已知p22p5=0 5q2+2q1=0，其中p、q為實數(shù)，求+的值例8 已知a、b是方程的兩個不相等的實數(shù)根，則的值為_例9 設(shè)，是方程的兩根，求下列各式