旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用1(含答案)

1、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用1如圖，直角梯形中，將腰以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至，連接、，的面積為3，則的長(zhǎng)為 【答案】52邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到正方形，兩圖疊成一個(gè)“蝶形風(fēng)箏”（如圖所示陰影部分），則這個(gè)風(fēng)箏的面積是（ ）。A2BC2D2 【答案】A3已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖（1）放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)GCEFB90，EABC30，ABDE4（1）求證：EGB是等腰三角形；（2）若紙片DEF不動(dòng)，問ABC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小_度時(shí)，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形（如圖（2）求此梯形的高圖（1）ABCEFFB（D）GGACED圖（2）分析：易求

2、得GBEE30，從而GBGE；由ACDE，ACBC得DEBC，從而DFB90EDF30，即旋轉(zhuǎn)的最小角度是30；容易求得CF，設(shè)圖（2）中CB交DE于點(diǎn)M，則FM，從而CM解：（1）證明：CEFB90，EABC30，EDF60，GBEE30，GBGEEGB是等腰三角形（2）解：在RtBEF中，由E30得BFBE2，EFBC4，BCCF 四邊形ACDE是以ED為底的梯形ACDE ACBCDEBCDFB90EDF30旋轉(zhuǎn)的最小角是30設(shè)圖（2）中CB交DE于點(diǎn)M，則FM CMCFFM，即此梯形的高為4如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC（1）試猜想AE與GC

3、有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由解（1）答：AEGC；證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H，在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC，ADE=CDG=90，DE=DG，ADECDG，1=2；2+3=90，1+3=90，AHG=180-（1+3）=180-90=90，AEGC（2）答：成立；證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，ADC=DCB=B=BAD=EDG=90，1=2=90-3；A

4、DECDG，5=4；又5+6=90，4+7=180-DCE=180-90=90，6=7，又6+AEB=90，AEB=CEH，CEH+7=90，EHC=90，AEGC5如圖1，在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)、在直線的異側(cè)，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，連接、。（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)（如圖2）。求證：；（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)、在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形的形狀及此時(shí)還成立嗎？不必說明理由.aABCPMNABCMNaPABCPNMa圖1圖2圖3【答案】（1）證明：如圖2

5、BM直線a于點(diǎn)M，CN直線a于點(diǎn)NBMN=CNM=90BMCNMBP=ECP又P為BC邊中點(diǎn)BP=CP又BPM=CPEBPMCPBPMCPEPM=PEPM=ME在RtMNE中，PN=MEPM=PN（2）成立。如圖3證明：延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)EBM直線a于點(diǎn)M，CN直線a于點(diǎn)NBMN=CNM=90BMN+CNM=180BMCNMBP=ECP又BPM=CPEBPMCPEPM=PEPM=ME則在直角三角形中，PM=MEPM=PN(3)四邊形MBCN是矩形PM=PN成立6如圖1，已知矩形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且.(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)保持圖1中的固定不變，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所在的直線到圖2中的

6、位置（當(dāng)垂線段、在直線的同側(cè)）.試探究線段、長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明；（3）保持圖2 中的固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所在的直線到圖3中的位置（當(dāng)垂線段、在直線的異側(cè)）.試探究線段、長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明.【答案】解：（1）ABC是等腰直角三角形。如圖（1）在矩形ABED中，因?yàn)辄c(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD,所以AD=DC=CE=EB,D=E=90.RtADCRtBEC.AC=BC, 1=2=45.ACB=90.ABC是等腰直角三角形。（2）DE=AD+BE.如圖（2），在RtADC和RtBEC中，1=CAD=90, 1+2=90.CAD=2.又AC=BC, ADC=CEB=90

7、,RtADCRtCEB.DC=BE,CE=AD.DC+CE= BE+AD,即DE=AD+BE.（3）DE=BE-AD.如圖（3），在RtADC和RtCEB中，1+CAD=90, 1+2=90，CAD=2.又ADC=CBE=90,AC=CB, RtADCRtCBE.DC=BE,CE=AD.DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.1ABCDE圖12MNABCDE圖212ABCDEMN圖3127如圖1，在中，為邊上一點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作，與相交于點(diǎn)，已知.（1）求證：；（2）是否為矩形？請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，為中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到（點(diǎn)、分別是的兩邊與、延長(zhǎng)線的交點(diǎn)

8、）.猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖1ABDCEP圖2ABDCEPMNF【答案】(1)證明：在ABC和AEP中ABC=AEP，BAC=EAP ACB=APE在ABC中，AB=BCACB=BAC EPA=EAP(2) 答：APCD是矩形四邊形APCD是平行四邊形 AC=2EA, PD=2EP 由（1）知 EPA=EAP EA=EP則 AC=PDAPCD是矩形(3) 答： EM=EN EA=EP EPA=90 EAM=180-EPA=180-(90- )=90+ 由（2）知CPB=90,F是BC的中點(diǎn)， FP=FBFPB=ABC= EPN=EPA+APN=EPA+FPB=90- +=9

9、0+ EAM=EPN AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到MEN AEP=MEN AEP- AEN=MEN-AEN 即 MEA=NEP EAMEPN EM=EN8在RtABC中，BAC=90，B=30，線段AD是BC邊上的中線，如圖，將ADC沿直線BC平移，使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，得到FCE，如圖，再將FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，連接AF、DE。（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ACE=150時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形ADEF能形成那些特殊四邊形？請(qǐng)說明理由.ABCDEF圖 圖ABDCFEABCD備用圖 ABCD備用圖【答案】分析：（1）由題意分析可知此問需分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E和

10、點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)；當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，總是存在ACCE，DCCE由圖形的對(duì)稱性可知，將會(huì)出現(xiàn)兩種對(duì)角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，較易證明解：（1）在圖中，BAC90，B30，ACEBACB120如圖，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)時(shí)，由于ACE1150，15012030，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)時(shí)，由于ACB180BACB60，DCE2ACE2ACB1506090，180DCE290，旋轉(zhuǎn)角為30或90（2）四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形證法一：BAC90，B30，ACBC又AD是BC邊上的中線，ADDCBCAC，ADC為正三角形AB

11、CD圖EF當(dāng)60時(shí)，如圖，ACE12060180CACECDCF，四邊形ADEF為平行四邊形，又AEDE，四邊形ADEF為矩形當(dāng)60時(shí)，ACF120，DCE3606060ACF120顯然DEAFACCF，CDCE，2FACACF2CDEDCE180ACFDCE3606060240FACCDE60，DAFADE12060180，AFDE又DEAF，ADEF，四邊形ADEF為等腰梯形證法二：ACDF，CDCE，2FACACF2CDEDCE180ACFDCE3606060240，F(xiàn)ACCDE60DAFADE12060180，AFDE當(dāng)60時(shí)，ACFDCE120，又ACCF，DCCE，ACFDCEAF

12、DE，四邊形ADEF為平行四邊形，BAC90，B30，ACBC又AD是BC邊上的中線，ADDCBCAC，ADC為正三角形即CAD60ACF中，CAF30，DAFCAFCAD90，四邊形ADEF為矩形當(dāng)60時(shí)，ACF120，DCE3606060ACF120顯然DEAF又AFDE，四邊形ADEF為梯形，又ADEF，四邊形ADEF為等腰梯形9如圖，已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，E、F分別在OA、OC上，且OA4，OE2，將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE1F1，的位置，連接AE1、CF1（1）求

13、證：AOE1OCF1；（2）將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OECF，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由ABCFOxEE1F1y【答案】（1）證明：四邊形OABC為正方形，OCOA，三角板OEF是等腰直角三角形，OE1OF1，又三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE1F1的位置時(shí)，AOE1COF1，OAE1OCF1；（2）存在，OEOF，過點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并且與OF垂直，又當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，則點(diǎn)F與OF垂直的直線必是O的切線，又點(diǎn)C為O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C與O相切的直線只有2條，不妨設(shè)為CF1和CF2，此時(shí)，E點(diǎn)分別在E1和

14、E2點(diǎn)，滿足CF1OE1，CF2OE2，點(diǎn)切點(diǎn)F1在第二象限時(shí)，點(diǎn)E1在第一象限，在RtCF2O中，OC4，OF12，cosCOF1，COF160，AOE160，點(diǎn)E1的橫坐標(biāo)為2cos601，點(diǎn)E1的縱坐標(biāo)為2sin60，E1的坐標(biāo)為（1，），當(dāng)切點(diǎn)F2在第一象限時(shí)，點(diǎn)E2在第四象限，同理可求E2（1，），三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得OECF，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為E1（1， 或者E2（1，）10如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到，連接、. 求證：； 當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小；當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說明理由； 當(dāng)

15、的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).EA DB CNM【答案】解：ABE是等邊三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMCM的值最小. 如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，F(xiàn)EA DB CNMAMBMCM的值最小. 理由如下：連接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等邊三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).過E點(diǎn)作EFBC交CB的延

16、長(zhǎng)線于F，EBF906030.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去負(fù)值）.正方形的邊長(zhǎng)為.11如圖1，已知ABC=90，ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，EBF= ，猜想QFC= ；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想QFC的度數(shù)，并加以證明；（3）已知線段AB=，設(shè)BP=，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式圖1ACBEQFP圖2ABEQPFC【答案】解:

17、 圖1ACBEQFP（1） 30 = 60不妨設(shè)BP, 如圖1所示BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60+EAP圖2ABEQPFCBAP=EAQ 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ AEQ=ABP=90BEF=60(事實(shí)上當(dāng)BP時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）(3)在圖1中，過點(diǎn)F作FGBE于點(diǎn)GABE是等邊三角形 BE=AB=，由（1）得30在RtBGF中， BF= EF=2 ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF過點(diǎn)Q作QHBC，垂足為H在RtQHF中，（x0）即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：12我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形.可以利用這一結(jié)論解決問題.如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將軸所在的直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)、，已知點(diǎn)、.（1）直接判斷并填寫：不論取何值，四邊形的形狀一定是 ;（2）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，四邊形是矩形，試求、和的值；觀察猜想：對(duì)中的值，能使四邊形為矩形的點(diǎn)共有幾個(gè)？(不必說理)（3）試探究：四邊形能不能是菱形？若能, 直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo), 若不能, 說明理由.【答案】解：（1）平行四邊形（3分）（2）點(diǎn)在的圖象上，（4分）過作，則在中，