一元函數(shù)積分學(xué)(定積分概念性質(zhì))

1、中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組,3.2 定積分,高等數(shù)學(xué)A,3.2.1 曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 3.2.2 定積分的概念 3.2.3 定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)中值定理,第3章 一元函數(shù)積分學(xué),3.2 定積分,定積分的概念與性質(zhì),3.2.1 曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,3.2.2 定積分的概念,3.2.3 定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)中值定理,定積分的概念習(xí)例1-3,定積分的性質(zhì)習(xí)例4-8,定積分的幾何意義,本節(jié)內(nèi)容小結(jié),實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積,思考方法: 利用“矩形面積=底高,一、曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊

2、梯形面積,四個(gè)小矩形,九個(gè)小矩形,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,播放,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三

3、角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊三角形面積的關(guān)系,曲邊梯形如圖所示,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,全過(guò)程為：分割、近似求

4、和、取極限,實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上 速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì) 分過(guò)程求得路程的精確值,1）分割,2）求和,3）取極限,路程的精確值,注意,上述兩例的共同點(diǎn),1) 所求量與一個(gè)函數(shù)及區(qū)間有關(guān),2) 變與不變的矛盾,3) 處理方法一樣: 分割、近似求和、取極限,4) 結(jié)果一樣: 都是同一形式的和式的極限,1.定義,二、 定積分的概念、定積分的幾何意義,記為,積分上限,積分下限,積分和,注意,如果存在, 它就是一個(gè)確定的數(shù)值,如Dirichlet函數(shù)的討論,若定積分存在, 則可用特殊的區(qū)間分法

5、和點(diǎn)的取法 來(lái)計(jì)算定積分,7)定積分的存在性有以下兩個(gè)定理(不加證明,定理1,定理2,8)定積分是一個(gè)構(gòu)造性的定義,可利用定義求一些簡(jiǎn)單 函數(shù)的定積分;同時(shí)可利用定義求n項(xiàng)和的極限,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,2.定積分的幾何意義,幾何意義,例1,例2,例3,3.定積分的概念習(xí)例,解,例 1,例2,解,例3,解,x,y,o,1,2,證,此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況,性質(zhì)1,三、定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)中值定理,定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性,證,性質(zhì)2,補(bǔ)充：不論 的相對(duì)位置如何, 上式總成立,例 若,定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性,則,性質(zhì)3,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,性質(zhì)5的推論1,證,1,證,說(shuō)明： 可積性是顯然的,性質(zhì)5的推論2,2,證,此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍,性質(zhì)6,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（定積分中值定理,積分中值公式,使,即,積分中值公式的幾何解釋,例 6,例 7,例 8,定積分的性質(zhì)習(xí)例,解,令,于是,解,例 6,解,例 7,解,注意