高中數(shù)學人教版選修1-2同課異構(gòu)教學課件：1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 精講優(yōu)練課型

1、第一章統(tǒng)計案例 1.1回歸分析的基本思想及 其初步應(yīng)用,自主預習】 1.回歸分析 (1)概念：回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行 統(tǒng)計分析的一種常用方法. (2)步驟：畫_求_用回歸方程進行 _,散點圖,回歸方程,預報,2.線性回歸模型 (1)在線性回歸方程 = + x中， =_ =_， =_，其中 =_， =_， ( ， )稱為變量_，回歸 直線過樣本點的中心,樣本點的中心,2)線性回歸模型y=bx+a+e，其中e稱為_， 自變量x稱為_變量，因變量y稱為_變量,隨機誤差,解釋,預報,3.刻畫回歸效果的方式,殘差,樣本,編號,身高數(shù)據(jù),體重估計值,越窄,越小,解釋,預報,即時小測】 1.

2、對于兩個變量x，y，若當x取一定值時，y的取值 具有一定的隨機性，x，y之間的這種非確定性關(guān)系 叫做() A.函數(shù)關(guān)系B.線性相關(guān) C.相關(guān)關(guān)系D.回歸分析 【解析】選C.根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義知選C,2.散點圖在回歸分析過程中的作用是() A.統(tǒng)計個體個數(shù) B.比較個體數(shù)據(jù)的大小 C.研究個體分類 D.粗略判斷變量是否線性相關(guān) 【解析】選D.根據(jù)散點圖的意義及作用知選D,3.在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是() A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2=0.98 B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2=0.80 C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2=0.50 D

3、.模型4的相關(guān)指數(shù)R2=0.25,解析】選A.因為回歸模型的相關(guān)指數(shù)R2的值越大，擬合效果越好,4.已知回歸方程 =2x+1，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是(2， 4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，則殘差平方和等于 _. 【解析】(4.9-5)2+(7.1-7)2+(9.1-9)2=0.03. 答案：0.03,知識探究】 探究點1線性回歸分析 1.相關(guān)關(guān)系是確定性關(guān)系嗎？ 提示：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性的關(guān)系,2.具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其散點圖具有什么特征？ 提示：散點圖中的點大部分分布在一個帶形區(qū)域內(nèi).即分布在某條直線的附近,歸納總結(jié)】 對回歸分析的三點說明 (1)回歸分析的前提是兩個變量

4、之間具有相關(guān)關(guān)系. (2)對兩個變量之間數(shù)量變化進行一般關(guān)系的測定，確定一個相應(yīng)的數(shù)學表達式，即線性回歸方程，達到由一個已知量推測或控制另一個變量的值的目標，是統(tǒng)計的一個重要方法,3)線性回歸方程是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的一個確定性的函數(shù)關(guān)系，是用來對未知變量進行預測的，為了預測的效果更好，減小誤差，應(yīng)在求線性回歸方程時盡量多地選取樣本，選擇代表性較強的樣本，使得預測值盡量地接近真實值,特別提醒：在對兩個變量進行線性回歸分析時，要首先結(jié)合觀察數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系后，再進行線性回歸分析,探究點2非線性回歸分析 1.如何評價回歸模型擬合效果的優(yōu)劣？ 提示：計算相關(guān)指數(shù)R2的值.R

5、2越接近于1效果就越好. 2.對于非線性回歸模型，如何處理？ 提示：對于非線性回歸模型可轉(zhuǎn)化為線性回歸模型來研究,歸納總結(jié)】 1.數(shù)據(jù)擬合效果的比較 對于給定的樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，兩個含有未知參數(shù)的模型,1) 和 (2) 其中a和b都是未知參數(shù)，可以 按如下的步驟來比較它們的擬合效果,分別建立對應(yīng)于兩個模型的回歸方程 =f(x， ) 與 =g(x， )，其中 和 分別是參數(shù)a和b的估計值. 分別計算模型(1)和模型(2)的R12，R22. 若R12R22，則模型(1)的擬合效果比模型(2)好；若 R12R22，則模型(1)的擬合效果不如模型(2,2.常見的幾種

6、變形形式 (1)冪函數(shù)曲線y=axb. 兩邊取對數(shù)變形為lny=lna+blnx，令y=lny. x=lnx，a=lna，從而得到y(tǒng)=a+bx,2)指數(shù)函數(shù)曲線y=aeb x. 兩邊取對數(shù)變形為lny=lna+bx，令y=lny，a=lna，從而得到y(tǒng)=a+bx,3)負指數(shù)函數(shù)曲線y= 兩邊取對數(shù)變形為lny=lna+ ，令y=lny， x= ，a=lna，得y=a+bx. (4)對數(shù)函數(shù)曲線y=a+blnx. 令x=lnx，得y=a+bx,類型一線性回歸模型 【典例】1.(2016東營高二檢測)有下列說法：線 性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線方程，刻畫 這些樣本點之間的關(guān)系的數(shù)學方法；利

7、用樣本點的 散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性,相關(guān)表示；通過線性回歸方程 及其回歸系 數(shù) ，可以估計和預報變量的取值和變化趨勢；因 為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程， 所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗.其中正確說法的個數(shù) 是() A.1B.2C.3D.4,2.(2014湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) 得到的回歸方程為 ，則(,3.某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： (1)畫出散點圖. (2)求y關(guān)于x的回歸方程,解題探究】1.典例1中，給定兩個變量的一組樣本點數(shù)據(jù)，都能進行線性回歸分析嗎？ 提示：不是，只有當它們具有線性相關(guān)關(guān)系

8、時，才能進行線性回歸分析，否則沒有意義,2.典例2中，回歸直線方程中， ， 的幾何意義是什 么？ 提示： 是回歸直線的斜率. 是回歸直線在y軸上的 截距,3.典例3中，畫散點圖的目的是什么？如何求關(guān)于x的回歸直線方程？ 提示：畫散點圖的目的是分析變量x，y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系；利用最小二乘法求y關(guān)于x的回歸直線方程,解析】1.選C.反映的是最小二乘法思想，是正確 的；反映的是散點圖的作用，是正確的；反映的 是求線性回歸方程 的目的，也是正確的； 不正確，在求回歸方程之前，必須進行相關(guān)性檢驗， 以體現(xiàn)變量的相關(guān)關(guān)系.故有3個正確說法,2.選A.由散點圖及 ， 的意義知A正確. 3.(1)散點

9、圖如圖所示,2)列出下表，并用科學計算器進行有關(guān)計算,于是可得 =50-6.55=17.5. 于是所求的回歸方程是 =6.5x+17.5,方法技巧】 1.求線性回歸方程的三個步驟 (1)算：根據(jù)數(shù)據(jù)計算 (2)代：代入公式求 ， 的具體數(shù)值. (3)求：由上面的計算結(jié)果求方程,2.求線性回歸方程的關(guān)鍵點 相關(guān)性的驗證：求線性回歸方程前必須判斷兩個變量是否線性相關(guān)，如果兩個變量本身不具備相關(guān)關(guān)系，或者它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，那么即使求出回歸方程也是毫無意義的,特別提醒：回歸直線一定過樣本點的中心( ， )， 這在很多問題的求解中起著很重要的作用,變式訓練】已知一個回歸直線方程 =1.5x+45

10、， xi1，5，7，13，19，則 =() A.53.5B.55.5C.58.5D.60.5,解析】選C.因為回歸直線過樣本點的中心( )， 又 所以 =1.5 +45=1.59+45=58.5,類型二線性回歸分析 【典例】為研究質(zhì)量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如表所示,1)作出散點圖，并求線性回歸方程. (2)求出R2. (3)進行殘差分析. 【解題探究】本例中如何進行殘差分析？ 提示：通過殘差表或殘差圖進行殘差分析,解析】(1)散點圖如圖所示,因為 (5+10+15+20+25+30)=17.5， (7.25+8.12+8.95+9.9

11、0+10.9+11.8) 9.487， =2275， =1076.2. 計算得 0.183， 6.285， 所以所求線性回歸方程為 =6.285+0.183x,2)列表如下,所以 所以 所以回歸模型的擬合效果較好,3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與質(zhì)量成線性關(guān)系,延伸探究】1.在條件不變的情況下，畫出殘差圖. 【解析】如圖所示,2.當x=35時，估計y

12、的值. 【解析】當x=35時， =6.285+0.18335=12.69,方法技巧】殘差分析的思路 (1)要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否 可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù). (2)通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷 原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這種分析工作稱為殘 差分析，可以借助殘差圖來進行觀察,補償訓練】對變量x，y進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(,解析】選A.用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適.帶狀區(qū)域的寬度越窄，擬合精度越高.故選A,類型三非線性回歸分析 【典例】電容器充電

13、后，電壓達到100V，然后開始放電，由經(jīng)驗知道，此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式U=Aebt(b0)表示，現(xiàn)測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表,試求電壓U對時間t的回歸方程.(提示：對公式兩邊取自然對數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題,解題探究】本例中如何對等式“U=Aebt”變形，使其符合線性回歸分析？ 提示：對U=Aebt兩邊取對數(shù)得lnU=lnA+bt，令y=lnU，a=lnA，x=t，則y=a+bx，進而借助線性回歸分析求解，最后回代便可,解析】對U=Aebt兩邊取對數(shù)得lnU=lnA+bt，令y=lnU，a=lnA，x=t，則y=a+bx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表,根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散

14、點圖，如圖所示,從圖中可以看出，y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，由 表中數(shù)據(jù)求得 =5， 3.045，進而可以求得 -0.313， =4.61，所以y對x的線性回歸方程為 y=4.61-0.313x. 由y=lnU，得U=ey，U=e4.61-0.313x，因此電壓U對時間t 的回歸方程為U=e4.61-0.313t,方法技巧】求非線性回歸方程的步驟 (1)確定變量，作出散點圖. (2)根據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù). (3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程,4)分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果. (5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性

15、回歸方程,變式訓練】若將函數(shù)y=axb轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)u=c+bv，則所作的變換是() A.u=lny，v=lna，c=lnx B.u=lnx，v=lny，c=lna C.u=lna，v=lnx，c=lny D.u=lny，v=lnx，c=lna,解析】選D.對y=axb兩邊取對數(shù)，得lny=lna+blnx. 令u=lny，v=lnx，c=lna，得u=c+bv,補償訓練】(2016南京高二檢測)A地六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y與年次x的試驗數(shù)據(jù)如表所示,由經(jīng)驗知，年次x與利潤總額y(單位：億元)有近似如下的關(guān)系：y=abxe0，其中a，b為正數(shù)，求y關(guān)于x的回歸方程,解析】對y=abxe0兩邊

16、取自然對數(shù)得lny=lnae0+xlnb，令z=lny，則z與x的數(shù)據(jù)如表： 由z=lnae0+xlnb及最小二乘法公式得： lnb0.0477，lnae02.378， 即 =2.378+0.0477x，故 =10.81.05x,自我糾錯求回歸方程 【典例】在一化學反應(yīng)過程中，某化學物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了如表所示的8組數(shù)據(jù)，試建立y與x的回歸方程,失誤案例,分析解題過程，找出錯誤之處，并寫出正確答案. 提示：錯誤的根本原因是解題前沒有審好題，原題求的是回歸方程，并不是回歸直線方程，因此應(yīng)首先進行相關(guān)性檢驗，然后再求回歸方程，不能盲目地求回歸直線方程，正確解答過程如下,解析】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點圖，如圖所示,根據(jù)樣本點的分布情況，可選用指數(shù)型函數(shù)模