202X版高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：8.7橢圓(二)（蘇教版·數(shù)學(xué)理）

1、第七節(jié) 橢圓(二,三年3考 高考指數(shù),1.橢圓的第二定義,第二定義,焦半徑,準(zhǔn)線方程,通徑,左焦半徑|MF1|=a+ex0,上焦半徑|MF2|=a-ey0,右焦半徑|MF2|=a-ex0,下焦半徑|MF1|=a+ey0,1)已知橢圓 上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P 到右準(zhǔn)線的距離為_(kāi). 【解析】由已知易得P到橢圓右焦點(diǎn)的距離為10-3=7， 答案,即時(shí)應(yīng)用,2)設(shè)P是橢圓 上的一點(diǎn)， F是橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的右焦 點(diǎn)，且 則點(diǎn)P到該橢圓左準(zhǔn)線的 距離為_(kāi),解析】由題設(shè)易知M是PF的中點(diǎn)，且OMPF， 由 知，|PF|=2|MF|=2 =2. 又易知該橢圓的離心率 再由橢圓的第二定

2、義得，點(diǎn)P到橢圓左準(zhǔn)線的距離 d 答案,2.弦長(zhǎng)公式 設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則 = (k為直線斜率,即時(shí)應(yīng)用】 (1)過(guò)橢圓 的左焦點(diǎn)且傾斜角為45的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|=_. 【解析】由已知可得：a2=4,b2=3,c2=4-3=1 橢圓的左焦點(diǎn)為F1(-1,0)，則直線方程為：y=x+1，設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則有： 得:7x2+8x-8=0.故x1+x2=- ,x1x2=-,答案,解析】設(shè)直線l的方程為y=x+t，代入 消去y得 由題意得=(2t)2-5(t2-1)0,即0t25. 弦長(zhǎng) 答案,2)斜率為1的直線l與

3、橢圓 相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為_(kāi),3.中點(diǎn)問(wèn)題 橢圓 中，以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為 k，則 (O為原點(diǎn),即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：對(duì)于橢圓 (ab0),F1，F(xiàn)2為其左、右焦 點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)落在橢圓外、橢圓上、橢圓內(nèi)時(shí)，|PF1|+|PF2| 與2a有怎樣的大小關(guān)系？與方程有怎樣的關(guān)系？ 提示:當(dāng)點(diǎn)P落在橢圓外時(shí)，|PF1|+|PF2|2a, 當(dāng)點(diǎn)P落在橢圓上時(shí)，|PF1|+|PF2|=2a, 當(dāng)點(diǎn)P落在橢圓內(nèi)時(shí)，|PF1|+|PF2|2a,2)如果橢圓 的一條弦被點(diǎn)A(4，2)平分，那么這條弦所在的直線方程是_. 【解析】設(shè)弦的端點(diǎn)為C(x1,y1)

4、，D(x2,y2),則,將x1+x2=8,y1+y2=4代入上式得 所以所求方程為 y-2=- (x-4),即x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0,橢圓中的最值與范圍問(wèn)題 【方法點(diǎn)睛】 1.求范圍問(wèn)題的常用方法 (1)把已知條件表達(dá)出來(lái)，尋找不等關(guān)系. (2)建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域,2.尋找不等關(guān)系的常用方法有 (1)方程有解，判別式大于等于零； (2)隱含的字母的取值范圍； (3)不等式法； (4)三角函數(shù)的有界性； (5)三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 3.橢圓中的距離問(wèn)題 橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最小距離和最大距離

5、，且最大距離為a+c,最小距離為a-c,例1】(2012廣州模擬)(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 滿足 =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范 圍是_. (2)如圖，已知橢圓C: (ab0)的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分 別為A,F，右準(zhǔn)線為m.圓D：x2+y2+x-3y-2=0,若圓D過(guò)A,F兩點(diǎn)，求橢圓C的方程； 若直線m上不存在點(diǎn)Q，使AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍. 【解題指南】(1)由 可得出MF1MF2，又點(diǎn)M總在 橢圓內(nèi)部，由此可建立不等式找出a,c的關(guān)系，求得e的范圍. (2)確定A、F點(diǎn)的坐標(biāo)a,cb方程； 由AFQ不可為等腰三角形|FK|(K為m與x軸的交點(diǎn))

6、 |FA|a,c的不等式e的不等式e的范圍,規(guī)范解答】(1) MF1MF2. 點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，以c為半徑的圓上， 點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，c2c2, 又e0, 答案,2)圓x2+y2+x-3y-2=0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,0)，F(xiàn)(1,0)， 故a=2,c=1，所以 所以橢圓C的方程是： 設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)是K，依題意|FK|FA|， 即 2e2+e-10，解得0e,互動(dòng)探究】在本例中(2)的條件下，若直線m與x軸的交點(diǎn)為 K，將直線m繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得直線l，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過(guò) P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的最小值. 【解析】直線l的方程是x-y-4=0， 圓D的圓

7、心是(- )，半徑是 ， 設(shè)MN與PD相交于H， 則H是MN的中點(diǎn)，且PMMD,MN|=2|MH|= = 當(dāng)且僅當(dāng)|PD|最小時(shí)，|MN|有最小值， |PD|最小值即是點(diǎn)D到直線l的距離， 所以MN的最小值是,反思感悟】在例(1)中，由向量 作為突破口， 得到M點(diǎn)的軌跡，由此條件以及M點(diǎn)的位置關(guān)系建立不等式， 在解析幾何中，與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的情況可有如下情形： (1)給出 等于已知A是BC中點(diǎn)； (2)給出以下情形之一： 存在實(shí)數(shù),使 若存在實(shí)數(shù),且+=1,使 等于已知A,B,C三點(diǎn)共線,3)給出 或給出 即已知MAMB,即AMB是直角, 給出 =m0,等于已知AMB是銳角或0角,變式備選

8、】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，-1)，焦點(diǎn)在x軸上， 若右焦點(diǎn)到直線x-y+ =0的距離為3. (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)橢圓與直線y=kx+m(k0)相交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍,解析】(1)右焦點(diǎn)(c,0)到直線x-y+ =0的距離 d 得c= ， 又b=1,則a2=b2+c2=1+2=3, (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)， 由(1)得橢圓方程為 把直線方程y=kx+m(k0)代入橢圓方程得： (3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0, =36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)0,即：3k2-m2+10 且x1+x2= x

9、1x2= . 由|AM|=|AN|得|AM|2=|AN|2， 即x12+(y1+1)2=x22+(y2+1)2 即x12-x22=(y2+y1+2)(y2-y1) =k(x2+x1)+2m+2k(x2-x1)(x1x2), 整理得3k2=2m-1，代入得：m2-2m0, 解得0m2,橢圓中的定值問(wèn)題 【方法點(diǎn)睛】解決有關(guān)橢圓中的定值問(wèn)題的策略 (1)由于定點(diǎn)、定值是變化中的不變量，引進(jìn)參數(shù)表述這些量，不變的量就是與參數(shù)無(wú)關(guān)的量，通過(guò)研究何時(shí)變化的量與參數(shù)無(wú)關(guān)，找到定點(diǎn)或定值的方法叫做參數(shù)法，其解題的關(guān)鍵是選擇合適的參數(shù)表示變化的量. (2)當(dāng)要解決動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)確定直線的條件建立

10、直線系方程，通過(guò)該直線過(guò)定點(diǎn)所滿足的條件確定所要求的定點(diǎn)坐標(biāo),例2】已知橢圓 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、 F2，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B,且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形. (1)求橢圓方程； (2)若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MDCD， 連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)P.證明： 為定值； (3)在(2)的條件下，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得 以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP,MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,解題指南】(1)由已知得：a=2,b=c，從而可求出a,b得橢圓 方程. (2)設(shè)參數(shù)，想法把已知條件表達(dá)出來(lái)，把所求的表達(dá)出來(lái)， 通過(guò)

11、減元化為與參數(shù)無(wú)關(guān)的定值即可. (3)假設(shè)存在Q的坐標(biāo)為Q(m,0)，由MQDP列出m的方程，然后轉(zhuǎn)化為此方程是否有解的問(wèn)題,規(guī)范解答】(1)a=2，b=c，a2=b2+c2,b2=2, 橢圓方程為 =1. (2)C(-2,0)，D(2,0),設(shè)M(2,y0)，P(x1,y1)， 則 =(x1,y1), =(2,y0). 直線CM： 即 代入橢圓x2+2y2=4得,(定值). (3)設(shè)存在Q(m,0)滿足條件，則MQDP. =(m-2,-y0)， 則由 得 從而得m=0.存在Q(0,0)滿足條件,反思感悟】在(1)中，要確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已經(jīng)明確焦點(diǎn)的位置，即在本小題中要想求方程式，關(guān)鍵是確

12、定a,b. 在(2)中要證明 是定值，最關(guān)鍵的是通過(guò)所求的已知量明確表達(dá)出 的坐標(biāo)即可驗(yàn)證,變式訓(xùn)練】(2012南通模擬)圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點(diǎn)P(x0,y0)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0). (1)試用x0,y0,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF,2)已知“若點(diǎn)P(x0,y0)是圓C：x2+y2=R2上的任意一點(diǎn) (x0y00)，MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸 于點(diǎn)E(xE,0

13、)和點(diǎn)F(xF,0)，則xExF=R2”.類比這一結(jié)論，我們 猜想：“若曲線C的方程為 (ab0)(如圖)，則xExF 也是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)的定值”，請(qǐng)你對(duì)該猜想給出證明,解析】(1)因?yàn)镸N是垂直于x軸的一條垂軸弦，所以N(m,-n)， 則lMP： 令y=0,則 同理可得： (2)由(1)可知： M,P在曲線C: 上,則 (定值). xExF也是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)的定值,直線與橢圓的位置關(guān)系 【方法點(diǎn)睛】 1.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 將直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立，通過(guò)討論此方程組的實(shí)數(shù)解的組數(shù)來(lái)確定，即用消元后的關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式的符號(hào)確定： (1)當(dāng)0時(shí)，直線

14、與橢圓相交； (2)當(dāng)=0時(shí)，直線與橢圓相切； (3)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離,2.直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1)、B(x2，y2),則 (k為直線斜率). 3.直線與橢圓相交時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法 (1)涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”，設(shè)而不求,利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng),2)涉及求平行弦中點(diǎn)的軌跡、求過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)的軌跡和被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求； (3)將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化. 【提醒】利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式,例3】(2011北京高

15、考)已知橢圓G: (ab0)的離心 率為 ，右焦點(diǎn)為( 0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩 點(diǎn)，以AB為底邊作等腰PAB，頂點(diǎn)為P(-3,2). (1)求橢圓G的方程； (2)求PAB的面積. 【解題指南】(1)利用a,b,c的關(guān)系及離心率求出a,b，代入標(biāo)準(zhǔn) 方程； (2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而 不求，整體代入,規(guī)范解答】(1)由已知得c= 解得 又b2=a2-c2=4，所以橢圓G的方程為 (2)設(shè)直線l的方程為y=x+m，由 得， 4x2+6mx+3m2-12=0 不妨設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1x2)，AB中點(diǎn)為E(x0,

16、y0)，則,因?yàn)锳B是等腰PAB的底邊，所以PEAB. 所以PE的斜率 解得m=2. 此時(shí)方程為4x2+12x=0，解得x1=-3,x2=0， 所以y1=-1,y2=2.所以|AB|= 此時(shí)，點(diǎn)P(-3,2)到直線AB：x-y+2=0的距離 所以PAB的面積,反思感悟】1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，求a、b的值，但一定要注意a、b、c三者之間的關(guān)系； 2.本題的第二問(wèn)求三角形的面積，其關(guān)鍵是確定三角形的底與高；本題的另一關(guān)鍵點(diǎn)是如何利用等腰三角形這一條件確定直線方程,變式訓(xùn)練】已知橢圓 (ab0)的焦距為 ，離心 率為 . (1)求橢圓方程； (2)設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)B(0,b)，斜率為

17、k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交 x軸于點(diǎn)E，且|BD|、|BE|、|DE|成等比數(shù)列，求k2的值,解析】(1)由已知 解得a=2， 所以b2=a2-c2=1， 橢圓的方程為 (2)由(1)得過(guò)B點(diǎn)的直線為y=kx+1， 由 得 所以 依題意k0，k,因?yàn)閨BD|、|BE|、|DE|成等比數(shù)列， 所以|BE|2=|BD|DE|， 所以b2=(1-yD)|yD|，即(1-yD)|yD|=1， 當(dāng)yD0時(shí)，yD2-yD+1=0，無(wú)解， 當(dāng)yD0時(shí)，yD2-yD-1=0，解得 所以 解得 所以，當(dāng)|BD|、|BE|、|DE|成等比數(shù)列時(shí),滿分指導(dǎo)】直線與橢圓綜合問(wèn)題的規(guī)范解答 【典例】(16分)(201

18、1江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，M、N分別是橢圓 的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢 圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為 C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k,1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值； (2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； (3)對(duì)任意k0，求證：PAPB,解題指南】本題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系，解決本題的 關(guān)鍵是聯(lián)立方程結(jié)合已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. 【規(guī)范解答】(1)由題意知，a=2,b= ，故M(-2,0),N(0,- ). 所以線段MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,- )，由于直線PA平分線段MN， 故直線PA過(guò)線段MN的中

19、點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 4分,2)直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得 解得x= ，因此P( ),A(- ), 于是C( ,0),直線AC的斜率為 所以直線AB的方程為 ，8分 因此 10分,3)設(shè)P(x1,y1)，B(x2,y2),則x10,x20,x1x2， A(-x1,-y1),C(x1,0).設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1,k2.因?yàn)镃在 直線AB上，所以 從而 因此k1k=-1，所以PAPB. 16分,閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議,1.(2012連云港模擬)已知圓 O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)， 曲線C是以AB為

20、長(zhǎng)軸，離心率為 的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P 是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過(guò)原點(diǎn)O 作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，求證：直線PQ與圓O相切； (3)試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A，B重合)，直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)因?yàn)閍= ,e= ,所以c=1, 則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,2)因?yàn)镻(1，1)，所以kPF= ，所以kOQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x 又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點(diǎn)Q(-2，4) 所以kPQ=-1，又kOP=1， 所以kOPkPQ=-1，即OPPQ， 故直線PQ與圓O相切,3)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A，B重合)，直線PQ與圓O保持相切. 證明：設(shè)P(x0,y0)(x01)，則y02=2-x02， 所以 所以直線OQ的方程為 所以點(diǎn)Q(-