相似三角形的課例分析

1、相似三角形的課例分析亳州七中李繼磊一、背景介紹教師在有效課堂教學(xué)中，更多的應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)和合作者，當(dāng)學(xué)生陷入困惑時適 時搭建“腳手架”，在整個教學(xué)過程中一直與學(xué)生保持平等關(guān)系，讓學(xué)生在平等、尊重、信 任、理解和寬容氛用中受到激勵和鼓舞，得到指導(dǎo)和建議。同時近年來，“公開課”引起了 人們不少的非議，有人甚至認(rèn)為公開課中有許多的作秀”的成分，有不少的功利因素，應(yīng) 當(dāng)廢止而筆者認(rèn)為：“公開課”作為一種常見的教研活動形式是功不可殲的，而且它還 會繼續(xù)發(fā)揮其獨(dú)特的作用。不過，我們應(yīng)該以新的理念重新審視公開課教學(xué)，總結(jié)經(jīng)驗，吸 取教訓(xùn)，使它有嶄新的“公眾形象”。本文是筆者在教學(xué)過程中的一則初三數(shù)學(xué)復(fù)

2、習(xí)公開課 的案例及其分析。二、情景描述這節(jié)課按我的預(yù)先設(shè)汁是復(fù)習(xí)全等三角形和相似三角形，精選了 5道例題，其中一道例題為:若等腰三角形頂角A二108 , BC=a, AB二b, BD平分ZB交AC與D,貝9 AD二-（這道題沒有給出圖形）課堂上，學(xué)生A給出了下述解法：在BC上截取BE二BA,連結(jié)DE （圖1）V ZABD 二 ZDBE, BD = BDAABDAEBDA ZBAD 二ZBED 二 108VAB=AC, A ZABC =ZC 二36V ZCED 二72 , :. ZCED =ZCDE 二72/ CD 二 CE =a-b,AAD 二AC-CD 二b- （a-b） =2b-a教師：除

3、了這種方法外，還有另外方法嗎？我開始引導(dǎo)學(xué)生，除了在較長線上截取之外, 能否把短的線段延長呢？經(jīng)這以點撥，學(xué)生的思維馬上活躍起來。學(xué)生B：我還有一種方法，延長BA到F （圖1）,使BF二BC,連結(jié)DF,貝IVABDFABDC/.CD 二FD, ZC =ZF 二36*. ZBAC =108 , /. ZDAF 二72A ZADF 二ZDAF 二72ADF 二 AF 二 a-bAD -b- (a-b) =2b-a我的教學(xué)目的就是利用角平分線構(gòu)造全等三角形，通過此例的兩種證法，可以說達(dá)到了 教學(xué)目的。當(dāng)我準(zhǔn)備將例題2時，沒有想到突然有一位學(xué)生C舉手。是讓學(xué)生說呢，還是不 管他按計劃講下而一道題呢？下

4、面坐著那么多的聽課老師，又是學(xué)校的一堂公開課。正當(dāng)我 猶豫不決時，教學(xué)感覺提醒我，“課堂要以學(xué)生為本，以學(xué)生為主體”，我示意讓學(xué)生C 講。學(xué)生C：如圖2,過點A做AEBC,交BD的延長線與E點，則ZE二ZCBD。V ZABE 二ZACBE, /. ZE =ZABEA AB 二 AE 二 b整個證明過程沒有一點錯誤，但同一道題有兩種不同的結(jié)果，這也超岀了我的預(yù)料。我 說：“兩個方法都沒有錯，但結(jié)果卻不一樣，這是怎么回事？ ”學(xué)生D說：既然兩個方法都正確，那么AABC的邊a和b應(yīng)該有關(guān)系。教師：應(yīng)該有怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生D：只需證2b-a = 即可。教師：我們來化簡一下,得b2=a2-ab.我們找岀

5、了 a和b的關(guān)系。趁學(xué)生的興趣正濃時，我預(yù)感到上述結(jié)論還有別的證法，于是我接著說：“我們還有沒 有別的方法來證明這個結(jié)論呢？ ”考慮到問題相對復(fù)雜，我先讓學(xué)生自主探索，再進(jìn)行合作交流，同時開展小組之間競爭。 小組成員共同努力，相互合作，教師則觀察各組的活動，對小組所遇到的困惑感及時引導(dǎo)、 鼓勵，對差一點的小組直接參與合作，整體把握各組的進(jìn)展情況。交流的氣氛是積極的，不 久學(xué)生得岀了結(jié)論：學(xué)生E：在BC上截取BE二BA,連結(jié)AE。TAB 二AC, ZBAC 二 108.ZB =ZC 二 36 VBE =BA 二b, A ZBAE =72/. EA =EC =a-b/. ZEAC =ZB =36A

6、BC 相似AEAC學(xué)生F：我還有另一種證法，就是延長CA,截取CF二BC,連結(jié)BF,可證ZF二ZFBC二720。從 而可得 FABAFBCO教師：這兩位同學(xué)想出了很好的證明方法，我們應(yīng)該學(xué)習(xí)他們的求新精神。我們總結(jié)一下形如 的證明方法。把式子化為b2二a (a-b)，然后構(gòu)造出一對適當(dāng)?shù)南嗨迫?角形，即可得證。我想借此機(jī)會把這道題再探掘一下，讓學(xué)生對這道題有更深的印象。教師：同學(xué)們，借助上述結(jié)論你能求出cos36a的值嗎？請同學(xué)們討論一下。學(xué)生G：如圖5,作AM丄BC于H,a.由上述結(jié)論b2=a2-ab ,得 a2-ab-b2-0下課以后，學(xué)生們意猶未盡，有一個學(xué)生跟我說他可以求出sin36的

7、值。三、案例分析縱觀整節(jié)課，雖然我沒有完成事先預(yù)怎的教學(xué)計劃，但是我和我的學(xué)生在這卩課上都有 較大的收獲。學(xué)生從中學(xué)習(xí)了提出問題、探究問題和解決問題的方法。對這節(jié)課我有下面幾 點反思：1、公開課不一泄要按照自己預(yù)先設(shè)宜好的環(huán)節(jié)節(jié)節(jié)推進(jìn)上成花架子課，通過這節(jié)課的 實踐，自己認(rèn)識到公開課要上真實課，不上虛假課：要上實在課，不上花架子課：要上明白 課，不上盲目課：要上全”課，不上“獨(dú)”課；要上活力課，不上死板課：要上教學(xué)研究 課，不上樣板模仿課。有一個比較敏感的問題是：執(zhí)教公開課的教師應(yīng)該如何對待最后的結(jié) 果？我覺的一堂好的公開課應(yīng)該是以學(xué)生能力發(fā)展、知識提高為檢驗標(biāo)準(zhǔn)的。2、課堂應(yīng)該是學(xué)生的天地，

8、任何教學(xué)活動只有學(xué)生這個主體的積極參與才能發(fā)生作用。 充分相信學(xué)生，其實就是對教療主體一一學(xué)生的充分尊重,我們教學(xué)對象是一個個活生生的、 發(fā)展中的人，因此這種信任和尊重，英實是師生關(guān)系平等的體現(xiàn)，而教師教應(yīng)該放在為學(xué) 生學(xué)服務(wù)的地位。3、課堂上要使學(xué)生主動學(xué)習(xí)必須營造一種民主、平等、和諧的課堂氣氛，使學(xué)生肯于 思考，樂于參與。良好的師生關(guān)系有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提高。教學(xué)中建立良好的師生關(guān)系, 教師尊重學(xué)生、關(guān)心學(xué)生、熱愛學(xué)生，學(xué)生反過來也會給教師以相應(yīng)的情感回報，會更深深 地?zé)釔劢處?，敢于和善于在教師而前發(fā)表自己的看法，在學(xué)習(xí)上表現(xiàn)更積極主動的探索精神。 總之，新課程提出：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是

9、發(fā)展的主體。在教學(xué)中，倡導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué) 知識的形成與應(yīng)用過程，是符合新課程的理念的。數(shù)學(xué)教學(xué)過程化的關(guān)鍵是正確把握教學(xué)中 的一些兩難問題。只有善于思考，勇于探索，并持之以恒，才能不斷提高自我的教學(xué)水平。相似三角形課例亳州七中李繼磊一、教材分析相似三角形是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教材北師大版八年級下冊第四章第五節(jié)的 內(nèi)容，在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似多邊形，知道了相似多邊形的本質(zhì)特征，這為過渡到本 肖的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用.本卩課內(nèi)容是由一般到特殊引出相似三角形的概念，并應(yīng)用這一槪 念解決一些具體問題，在本章的學(xué)習(xí)中占重要地位，同時對以后學(xué)習(xí)相似三角形性質(zhì)、探索 相似三角形等內(nèi)容起奠基作用，也為學(xué)

10、生今后在學(xué)習(xí)和生活中更好的運(yùn)用數(shù)學(xué)做準(zhǔn)備.二、教學(xué)目標(biāo)(1) 知識與技能使學(xué)生了解兩個三角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例的三角形是相似三角形，并通過一些具 體情境的應(yīng)用深化對相似三角形的理解和認(rèn)識.(2) 過程與方法通過教學(xué)滲透類比的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生理解、認(rèn)識事物的能力及運(yùn)用所學(xué)知識解決實CC的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生體會際問題的能力.(3) 情感態(tài)度與通過相似三角形 數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 和信心.三、教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：深入理解認(rèn)識相似三角形的概念.教學(xué)難點：相似三角形左義的正確運(yùn)用.四、教學(xué)策略1采用復(fù)習(xí)法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力：采

11、用嘗試指導(dǎo)法，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú) 立思考的能力及語言表達(dá)能力.充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，使學(xué)生在輕松愉快的氣氛中掌握 知識.2. 讓學(xué)生充分發(fā)表自己的見解，給學(xué)生一左的時間和空間自主探索每一個問題，而不是 急于告訴學(xué)生結(jié)論.3. 課后習(xí)題，適當(dāng)讓學(xué)生通過模仿例題加以解決，提髙學(xué)生解決實際問題的能力，這主 要由于學(xué)生剛剛?cè)腴T，多進(jìn)行模仿，習(xí)慣以后，再做與例題不一樣的習(xí)題，可以提高運(yùn)用知 識能力，以開闊學(xué)生的思路.五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的相似多邊形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊各有什么關(guān)系？生：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.師：相似多邊形的形狀、大小又怎樣呢？生：形狀相同，大小不等.（學(xué)生

12、回答后，我立即岀示形狀相同、大小不等的特殊的三角板發(fā)給每個小組.）師：請同學(xué)們觀察、比較角、邊，你會發(fā)現(xiàn)什么？（學(xué)生通過測量得到對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.）師：這樣的兩個三角形叫相似三角形.（板T課題）（二）合作學(xué)習(xí)，探究新知1. 相似三角形的定義及表示方法（學(xué)生根據(jù)觀察和體驗的過程，歸納泄義，提高語言表達(dá)能力）師：你能根據(jù)我們學(xué)習(xí)的相似多邊定義來左義相似三角形嗎？生：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.師：你能根據(jù)圖形找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊嗎？生：ZA和ZA、ZB和ZB、ZC和ZC分別是對應(yīng)角：AB和A B、AC和A C、 BC和B C分別是對應(yīng)邊.師：你能根據(jù)立義寫出對應(yīng)角和對應(yīng)

13、邊的關(guān)系嗎？生：ZA=ZAZ 、ZB=ZBr 、ZC=ZCZ : AB： A B二AC:A C二BC:B C （或: AB： AC： BC二A B ： A C ： B C）.師：若AB： A B二k,那么k叫相似比.（為了使學(xué)生認(rèn)識泄義所揭示的相似三角形的本質(zhì)屬性，教師打?qū)缢伎碱}.）師：如圖，ABCs/ADE,那么哪些角是對應(yīng)角，哪些邊是對應(yīng)邊?對應(yīng)角有什么關(guān)系？ 對應(yīng)邊呢？生：ZADE和ZB、ZA和ZA、ZAEC和ZC是對應(yīng)角，AD和AB、AE和AC、DE和BC是 對應(yīng)邊.師：下面我們一起研究特殊的三角形是否相似.2. 議一議兩個全等三角形一立相似嗎?為什么？兩個直角三角形一左相似嗎?為什么

14、？兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？兩個等腰三角形一泄相似嗎?為什么？兩個等邊三角形一左相似嗎?為什么？（學(xué)生分組討論，給學(xué)生思考空間.）生1：全等三角形一左相似，因為對應(yīng)邊的比為1，對應(yīng)角相等.生2：兩個宜角三角形不一泄相似.（他綏出一副三角板演示）生3：兩個等腰直角三角形一左相似，因為對應(yīng)角相等，每個等腰直角三角形的三邊比都為1： 1：生4：兩個等腰三角形不一定相似.（他畫出一個銳角等腰三角形和一個飩角等腰三角 形）生5：兩個等邊三角形一立相似.對應(yīng)角相等，都等于60度，每個三角形三邊的比為1.師：同學(xué)們回答的都很好，對相似三角形的泄義理解的深刻，對于不相似的三角形，能 夠用圖形表示，

15、這是數(shù)學(xué)中一種說明方法，叫舉反例，我們以后還會深入研究，下而我們總 結(jié)一下，哪些特殊的三角形一定相似呢？生：1. 全等的三角形.2. 等腰直角三角形.3. 等邊三角形.師：同學(xué)們回答的很好，下而請同學(xué)們完成一組練習(xí)題.（三）練一練1. 在下面的兩組圖中，各有兩個相似三角形，試確定x、y、m、n的值.（培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形，運(yùn)用知識的意識，學(xué)生口答.）2. 有一塊呈現(xiàn)三角形形狀的草坪，其中一邊的長是20m,在這個草坪的圖紙上，這條 邊長5cm,其他兩邊的長都是3.5cm,求該草坪其他兩邊的實際長度.（學(xué)生筆答，一名學(xué)生板演，教師利用投影儀反饋.）師：解這題的依據(jù)是什么？13) 生：圖紙上的圖形與實際

16、圖形是相似的.（每一類問題都有客觀存在的解題方法，學(xué)生只有掌握它的解決方法，就可以學(xué)會解這 一類問題.）3. 如圖，已知：ABCs/ADE,AE二30cm,EC=30cm,BC=70cm, ZBAC=45 , ZACB二40 .求:（DZAED和ZADE的大??；（2） DE的長.（通過練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生能運(yùn)用相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)正確汁算. 自己先做一做，然后交流.）師：從這題中看出，求線段長和角的度數(shù)我們可以借助三角形的相似來求解.我將上題 的圖形變換一下，請問學(xué)們解岀此題.4. 如圖，已知 ABCAAED, AE二50cm, AD二60cm, BChOcm, ZBAC二45

17、 , ZACB二40 . 求：（1）ZAED和ZADE的大??；（2）求DE的長.（圖形稍做變換，因此對應(yīng)關(guān)系也改變了，讓學(xué)生認(rèn)識到幾何圖形的變化無窮，但解題 方法是不變的，這樣多題一解是學(xué)習(xí)幾何的一種方法）想一想在練習(xí)3的條件下，圖中有哪些線段成比例？圖中有互相平行的線段嗎？（先想一想，后小組討論，在活動中感悟知識的生成，教師在參與活動的同時引導(dǎo).）（四）總結(jié)反思，拓展升華1. 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？2. 在運(yùn)用相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例時應(yīng)注意什么？3. 有哪些特殊的三角形是相似三角形?（學(xué)生自由回答，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)力）教師補(bǔ)充：相似三角形的概念既是性質(zhì)又是判龍，運(yùn)用性

18、質(zhì)時對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的 位置上.我們又多了一種求線段長和角的度數(shù)的方法，而這種方法是我們以后解題常用的 方法.（五）布置作業(yè)教材116頁習(xí)題4.6第1、2題.六、教學(xué)后記在教學(xué)中我努力嘗試把課堂還給學(xué)生，做到以學(xué)生為主，教師只是起引導(dǎo)作用，盡力 體現(xiàn)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式.這節(jié)課我認(rèn)為基本做到了以下幾點：1. 為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)、自主操作、自主活動的機(jī)會新課開始，學(xué)生通過測量、觀 察得出三角形是相似的，調(diào)動了學(xué)生探索新知的興趣，還設(shè)汁議一議讓學(xué)生充分地討論，使 每一個學(xué)生都參與教學(xué)，體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人.2. 學(xué)生根據(jù)相似多邊形的圧義來定義相似三角形，提髙學(xué)生的槪括能力，從而學(xué)生認(rèn)識 到相似三角形與相似多邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)每章每肖不是孤立的，而是有一定