全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用

1、二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,一、全微分的定義,定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y,可表示成,其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，則稱函數(shù),稱為函數(shù),在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微,處的全增量,則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微,2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,1) 函數(shù)可微,函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微,由微分定義,得,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)可微,即,定理1(必要條件,若函數(shù) z =

2、 f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微 ,則該,函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù),同樣可證,證: 由全增量公式,必存在,且有,得到對 x 的偏增量,因此有,反例: 函數(shù),易知,但,因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微,注意: 定理1 的逆定理不成立 .即,偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微,定理2 (充分條件,證,若函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分,所以函數(shù),在點(diǎn),可微,注意到,故有,推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題,例如, 三元函數(shù),習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,于是,記作,稱為偏微分.故有下述疊加原理,的全微分為,例1 計(jì)算函數(shù),在點(diǎn)(2,1)處的全微分,解,例2 計(jì)算函數(shù),的全微分,解,可知

3、當(dāng) 及 較小時,有近似等式,二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,1. 近似計(jì)算,由全微分定義,可用于近似計(jì)算; 誤差分析,可用于近似計(jì)算,解: 已知,即受壓后圓柱體體積減少了,例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,半徑由 20cm 增大到20.05cm ,高度由100cm 減少到 99cm ,求此圓柱體體積的近似改變量,則,例4.計(jì)算 的近似值,解: 設(shè) ,則,取,則,分別表示 x , y , z 的絕對誤差界,則,2. 誤差估計(jì),利用,令,z 的絕對誤差界約為,z 的相對誤差界約為,特別注意,類似可以推廣到三元及三元以上的情形,乘除后的結(jié)果相對誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù),例5. 利用公式,求計(jì)算面積時的絕對誤差與相對誤差,解,故絕對誤差約為,又,所以 S 的相對誤差約為,計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測得,例6. 在直流電路中,測得電壓 U = 24 伏,相對誤差為,解: 由歐姆定律可知,歐,所以 R 的相對誤差約為,0.3 + 0.5,R 的絕對誤差約為,0.8,0.3,定律計(jì)算電阻 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差,測得電流 I = 6安, 相對誤差為 0.5,0.032 ( 歐,