因式分解16種方法

1、因式分解的16種方法因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。注意三原則1 分解要徹底2 最后結(jié)果只有小括號(hào)3 最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：） 分解因式技巧1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧掌握：等式左邊必須是多項(xiàng)式；分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)； 分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要

2、找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮?；痉椒ㄌ峁蚴椒ǜ黜?xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：第一

3、步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。 口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2 +變成2(+)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。平方

4、差公式：=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2ab注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。立方和公式： =(a+b)( -ab+)； 立方差公式： =(a-b)( +ab+)；完全立方公式：3b3a =(ab)公式：+-3abc=(a+b+c)( + -ab-bc-ca)例如：+4ab+4 =(a+2b) 。 分組分解法分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，我們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)

5、+b(x+y) =(a+b)(x+y)我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說(shuō)明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。2. x-+x-1解法：=( x-)+(x-1)= (x-1)+ (x-1)=(x-1)( +1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕

6、松解決。3. -x-y-y解法：=(-y)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a-b=(a+b)(a-b)，然后相合解決。十字相乘法這種方法有兩種情況。+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 這類(lèi)二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) k+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)圖示如下：a d 例如：

7、因?yàn)? -3 c d 7 2 -37=-21，12=2，且2-21=-19， 所以7-19x-6=(7x+2)(x-3)十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中裂項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。這鐘方法的實(shí)質(zhì)是分組分解法。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+

8、b)(c-a)(a+b)配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如：+3x-40=+3x+2.25-42.25=(x+8)(x-5)應(yīng)用因式定理對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a例如：f(x)= +5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，+5x+6=(x+2)(x+3)注意：1、對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若X=q/p（p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零，則q為常

9、數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；2、對(duì)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，則有a為c/b約數(shù)換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。 注意:換元后勿忘還元.例如在分解(+x+1)( +x+2)-12時(shí)，可以令y=+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y+2-12=y+3y-10=(y+5)(y-2)=(+x+5)( +x-2)=(+x+5)(x+2)(x-1)求根法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x，x3，xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-

10、xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時(shí)，令2x4 +7x3-2x-13x+6=0，則通過(guò)綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)圖象法令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 ,xn ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)與方法相比，能避開(kāi)解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解x3 +2-5x-6時(shí)，可以令y=x3; +2 -5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2 則x3+2-5x

11、-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。特殊值法將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫(xiě)成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9+23x+15時(shí)，令x=2，則x3 +9+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=357 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值， 則x3+9+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如

12、此。待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例如在分解x4-x3-5-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。于是設(shè)x4-x3-5-6x-4=(+ax+b)( +cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d) +(ad+bc)x+bd 由此可得 a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4解得a=1，b=1，c=-2，d=-4則x4-x3-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類(lèi)，類(lèi)似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次

13、六項(xiàng)式，啟始的式子如下:ax+bxy+cy+dx+ey+fx、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來(lái)說(shuō)明如何使用。例：分解因式：x+5xy+6y+8x+18y+12分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解： 原式=(x+2y+2)(x+3y+6)雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖中x+5xy+6y=(x+2y)(x+3y)；先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖中6y+18y+12=(2y+2)(3y+6)；再按另一個(gè)字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出錯(cuò)。 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟如果多項(xiàng)式的各

14、項(xiàng)有公因式，那么先提公因式； 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解；分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。也可以用一句話(huà)來(lái)概括：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”幾道例題1分解因式(1+y) -2x (1+y)+x (1-y) 解：原式=(1+y) +2(1+y)x (1-y)+x (1-y) -2(1+y)x (1-y)-2x (1+y)（補(bǔ)項(xiàng)）=(1+y)+x (1-y) -2(1+y)x (1-y)-2x (1+y)（完全平方）=(1+y)+x (1-y

15、) -(2x) =(1+y)+x (1-y)+2x(1+y)+x (1-y)-2x=(x-xy+2x+y+1)(x-xy-2x+y+1)=(x+1) -y(x-1)(x-1) -y(x-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33：解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5xy (x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5xy+4y4)=(x+3y)(x-4y)(x-y)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)當(dāng)y=0時(shí)，原式=x5不等

16、于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。3.ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c+a+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：-c+a+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0(a-c)(a+2b+c)=0a、b、c是ABC的三條邊，a2bc0ac0，即ac，ABC為等腰三角形。4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。解：-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-

17、6xny(n-1)=-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1) 四個(gè)注意初中的數(shù)學(xué)主要是分代數(shù)和幾何兩大部分，兩者在中考中所占的比例，代數(shù)略大于幾何代數(shù)主要有以下幾點(diǎn)：1.有理數(shù)的運(yùn)算，主要講有理數(shù)的三級(jí)運(yùn)算（加減乘除和乘方開(kāi)方）在這里要注意數(shù)字和字母的符號(hào)意識(shí)，就是，不要受小學(xué)數(shù)字的影響，一看見(jiàn)字母就不會(huì)做題了。2. 整式的三級(jí)運(yùn)算，注意符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，還有就是因式分解，這和整式的乘法是互換的，注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和變形用。3. 方程，會(huì)一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四種方程的解法和應(yīng)用，記住，方程是一種方法，是一種解題的手段。4. 函數(shù)，會(huì)識(shí)別一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像，記住他們的特征，要會(huì)根據(jù)條件來(lái)應(yīng)用。尤其要注意二次函數(shù)，這是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。應(yīng)用題里會(huì)拿它來(lái)出一道難題的 幾何主要有以下幾點(diǎn)：1.識(shí)別各種平面圖形和立體圖形，這你應(yīng)該非常熟悉。2.圖