2020年高考理科數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計(jì)》題型歸納與訓(xùn)練_第1頁(yè)
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1、 2020年高考理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 古典概型與幾何概型例1、某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈,則至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 .【答案】【解析】因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為秒.所以這名行人至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為.例2、市政府為調(diào)查市民對(duì)本市某項(xiàng)調(diào)控措施的態(tài)度,隨機(jī)抽取了名市民,統(tǒng)計(jì)了他們的月收入頻率分布和對(duì)該項(xiàng)措施的贊成人數(shù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:月收入(單位:百元)頻數(shù)贊成人數(shù)(1)用樣本估計(jì)總體的思想比較該市月收入低于(百元)和不低于(百元)的兩類人群在該項(xiàng)措施的態(tài)度上有何不同;(2)現(xiàn)從樣本中月收

2、入在和的市民中各隨機(jī)抽取一個(gè)人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成的概率【答案】(1)詳見解析;(2).【解析】(1)由表知,樣本中月收入低于(百元)的共有人,其中持贊成態(tài)度的共有人,故贊成人數(shù)的頻率為,月收入不低于(百元)的共有人,其中持贊成態(tài)度的共有人,故贊成人數(shù)的頻率為,根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想可知月收入不低于(百元)的人群對(duì)該措施持贊成態(tài)度的比月收入低于(百元)的人群持贊成態(tài)度的比例要高(2) 將月收入在內(nèi),不贊成的人記為,贊成的人記為,將月收入在內(nèi),不贊成的人記為,贊成的人記為從月收入在和內(nèi)的人中各隨機(jī)抽取人,基本事件總數(shù),其中事件“抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊

3、成一個(gè)不贊成”包含的基本事件有共個(gè),抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成的概率.【易錯(cuò)點(diǎn)】求解古典概型問題的關(guān)鍵:先求出基本事件的總數(shù),再確定所求目標(biāo)事件包含基本事件的個(gè)數(shù),結(jié)合古典概型概率公式求解一般涉及“至多”“至少”等事件的概率計(jì)算問題時(shí),可以考慮其對(duì)立事件的概率,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算【思維點(diǎn)撥】1. 求復(fù)雜互斥事件概率的方法一是直接法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算;二是間接法,先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式,即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解,應(yīng)用此公式時(shí),一定要分清事件的對(duì)立事件到底是什么事件,不能重復(fù)或遺漏特別是對(duì)于含“至多”“至

4、少”等字眼的題目,用第二種方法往往顯得比較簡(jiǎn)便2.求古典概型的概率的基本步驟:算出所有基本事件的個(gè)數(shù);求出事件包含的基本事件個(gè)數(shù);代入公式,求出;幾何概型的概率是幾何度量之比,主要使用面積、體積之比與長(zhǎng)度之比.題型二 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例例1、某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成組:并整理得到如下頻率分布直方圖:()從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于的概率;()已知樣本中分?jǐn)?shù)小于的學(xué)生有人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);()已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男女生人數(shù)相等試估計(jì)總體中

5、男生和女生人數(shù)的比例【答案】();();().【解析】()根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為.()根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為,分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為.()由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于的學(xué)生人數(shù)為,所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男生人數(shù)為.所以樣本中的男生人數(shù)為,女生人數(shù)為,男生和女生人數(shù)的比例為,所以根據(jù)分層抽樣的原理,總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為.【易錯(cuò)點(diǎn)】求解統(tǒng)計(jì)圖表問題,重要的是認(rèn)真觀察圖表,發(fā)現(xiàn)有用信息和數(shù)據(jù)對(duì)于頻率分布直方圖,應(yīng)注意圖中的每一個(gè)小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率,所有小矩形的面積和為,當(dāng)小矩

6、形等高時(shí),說(shuō)明頻率相等,計(jì)算時(shí)不要漏掉其中一個(gè)【思維點(diǎn)撥】1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)是從總體中逐個(gè)抽取適用范圍:總體中的個(gè)體較少2系統(tǒng)抽樣特點(diǎn)是將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取適用范圍:總體中的個(gè)體數(shù)較多3分層抽樣特點(diǎn)是將總體分成幾層,分層進(jìn)行抽取適用范圍:總體由差異明顯的幾部分組成4利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)易出錯(cuò),應(yīng)注意區(qū)分這三者在頻率分布直方圖中:(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的;(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以

7、小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和5.求回歸直線方程的關(guān)鍵正確理解計(jì)算的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系,若具有線性相關(guān)關(guān)系,則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值6.獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵根據(jù)列聯(lián)表準(zhǔn)確計(jì)算,若列聯(lián)表沒有列出來(lái),要先列出此表的觀測(cè)值越大,對(duì)應(yīng)假設(shè)事件成立的概率越小,不成立的概率越大題型三 概率、隨機(jī)變量及其分布例1、“過(guò)大年,吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了包某種品牌的速凍水餃,檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),(1)求所抽取的包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

8、區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;將頻率視為概率,若某人從某超市購(gòu)買了包這種品牌的速凍水餃,記這包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望附:計(jì)算得所抽查的這包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;若,則, 【答案】(1) (2) (3)的分布列為;【解析】(1)所抽取的包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為(2)服從正態(tài)分布,且, ,落在內(nèi)的概率是根據(jù)題意得,; ; ; ; 的分布列為例2、為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:)根據(jù)長(zhǎng)期生

9、產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查()試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的個(gè)零件的尺寸:經(jīng)計(jì)算得,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到)附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.【答案】(1);(

10、2)需要;的估計(jì)值為,的估計(jì)值為.【解析】(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為,從而零件的尺寸在之外的概率為,故因此.的數(shù)學(xué)期望為. (2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有,發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的. ()由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均.因此的估計(jì)值為,剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差

11、為,因此的估計(jì)值為.【易錯(cuò)點(diǎn)】1正確閱讀理解,弄清題意:與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的應(yīng)用問題經(jīng)常以實(shí)際生活為背景,且常考常新,而解決問題的關(guān)鍵是理解題意,弄清本質(zhì),將問題轉(zhuǎn)化為離散型隨機(jī)變量分布列求解問題,如本題第(1)問就是利用正態(tài)分布求出,進(jìn)而求出.2注意利用第(1)問的結(jié)果:在題設(shè)條件下,如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上,要可以直接用,有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無(wú)法解決,如本題即是在第(1)問的基礎(chǔ)上利用小概率問題,說(shuō)明監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性3注意規(guī)范答題:解題時(shí)要寫準(zhǔn)每一小題的解題過(guò)程,尤其是解題得分點(diǎn)要準(zhǔn)確、規(guī)范,需要文字表達(dá)的,不要惜墨,但也不能過(guò)于啰嗦,恰到位置就好,本題就需要

12、用文字表達(dá),準(zhǔn)確說(shuō)明是解題關(guān)鍵【思維點(diǎn)撥】1.條件概率的兩種求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件包含的基本事件數(shù),再求事件所包含的基本事件數(shù),得.2.判斷相互獨(dú)立事件的三種常用方法:(1)利用定義,事件相互獨(dú)立.(2)利用性質(zhì),與相互獨(dú)立,則與與,也都相互獨(dú)立.(3)具體背景下,有放回地摸球,每次摸球的結(jié)果是相互獨(dú)立的.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí),不放回抽樣也可近似看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).3. 求離散型隨機(jī)變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出取各個(gè)值的概率.4. 利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程,但需要注意檢驗(yàn)該概率模型是否滿足公

13、式的三個(gè)條件:(1)在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù);(2)次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示次試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生了次的概率.5. 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的基本方法有:(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機(jī)變量的均值、方差,求的線性函數(shù)的均值、方差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解,即,(為常數(shù)).(3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布,可直接利用它們的均值、方差公式求解,即若服從兩點(diǎn)分布,則,;若,則,.【鞏固訓(xùn)練】題型一 古典概型與幾何概型1.已知,則函數(shù)在區(qū)間上為增

14、函數(shù)的概率是( ). . . .【答案】【解析】當(dāng)時(shí),情況為符合要求的只有一種;當(dāng)時(shí),則討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸要滿足題意則產(chǎn)生的情況表示:,8種情況滿足的只有4種;綜上所述得:使得函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)的概率為:.2.在區(qū)間上任取一數(shù),則的概率是( ) . 【答案】【解析】由題設(shè)可得,即;所以,則由幾何概型的概率公式.故應(yīng)選.3.某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動(dòng):對(duì)首次消費(fèi)的顧客,按元/次收費(fèi),并注冊(cè)成為會(huì)員,對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠,標(biāo)準(zhǔn)如下表:消費(fèi)次數(shù)第次第次第次第次第次及以上收費(fèi)比例該公司從注冊(cè)的會(huì)員中,隨機(jī)抽取了位進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:消費(fèi)次數(shù)第次第次第次第次第次及以上頻數(shù)假

15、設(shè)汽車美容一次,公司成本為元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率;(2)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次,求這兩次消費(fèi)中,公司獲得的平均利潤(rùn);(3)該公司要從這位里至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出人,再?gòu)倪@人中抽出人發(fā)放紀(jì)念品,求抽出的人中恰有人消費(fèi)兩次的概率【答案】(1) 0.4;(2) 45;(3).【解析】(1)位會(huì)員中,至少消費(fèi)兩次的會(huì)員有位,所以估計(jì)一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率為.(2)該會(huì)員第次消費(fèi)時(shí),公司獲得的利潤(rùn)為第次消費(fèi)時(shí),公司獲得的利潤(rùn)為,所以,公司獲得的平均利潤(rùn)為.(3)因?yàn)?,所以用分層抽法抽出的人中,消費(fèi)次的有人,分別為,消費(fèi)次的有人,

16、分別設(shè)為,消費(fèi)次和次及以上的各有人,分別設(shè)為從中抽出人,抽到的有,共種;去掉后,抽到的有共種;去掉后,抽到的有:,共種,總的抽取方法有,其中恰有人消費(fèi)兩次的抽取方法有,所以,抽出的兩人中恰有人消費(fèi)兩次的概率為.考向二 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1.為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗注射疫苗合計(jì)現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為()求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),的值;()繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖,并判斷疫苗是否有效?()能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效?0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射附:【答案

17、】(),;()詳見解析;()至少有的把握認(rèn)為疫苗有效.【解析】()設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物”為事件A,由已知得,所以,()未注射疫苗發(fā)病率為,注射疫苗發(fā)病率為 發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率 0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射0.660.25()所以至少有的把握認(rèn)為疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司為推廣線下分店,計(jì)劃在市的區(qū)開設(shè)分店為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù),該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格記表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù), 表示這個(gè)分店

18、的年收入之和(個(gè))(百萬(wàn)元)()該公司已經(jīng)過(guò)初步判斷,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;()假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤(rùn)(單位:百萬(wàn)元)與之間的關(guān)系為,請(qǐng)結(jié)合()中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店,才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大?參考公式:, , 【答案】(1);(2)公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)個(gè)分店,才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大【解析】(1),關(guān)于的線性回歸方程.(2) ,區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn) ,時(shí), 取得最大值,故該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)個(gè)分店,才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大3. 某商場(chǎng)對(duì)商品天的日銷售量(件)與時(shí)間(天)的銷售情況進(jìn)行整理,得到如下數(shù)據(jù),經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,

19、日銷售量(件)與時(shí)間(天)之間具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)間(天)日銷售量(件)(1)請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程.(2)已知商品天內(nèi)的銷售價(jià)格(元)與時(shí)間t(天)的關(guān)系為根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)為何值時(shí),商品的日銷售額最大參考公式:,.【答案】(1);(2)預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí),商品的日銷售額最大,最大值為元【解析】(1)根據(jù)題意,所以回歸系數(shù)為,故所求的線性回歸方程為.(2) 由題意得日銷售額為當(dāng)時(shí),所以當(dāng)當(dāng)時(shí),所以當(dāng)綜上所述,預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí),商品的日銷售額最大,最大值為元.題型三 概率、隨機(jī)變量及其分布1.在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有名男志愿者和名女志愿者,從中隨機(jī)抽取人接受甲種心理暗示,另人接受乙種心理暗示.(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的頻率。(II)用X表示接受乙種心理暗

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