2020年高考理科數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計(jì)》題型歸納與訓(xùn)練

1、 2020年高考理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 古典概型與幾何概型例1、某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 .【答案】【解析】因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為秒.所以這名行人至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為.例2、市政府為調(diào)查市民對(duì)本市某項(xiàng)調(diào)控措施的態(tài)度，隨機(jī)抽取了名市民，統(tǒng)計(jì)了他們的月收入頻率分布和對(duì)該項(xiàng)措施的贊成人數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：月收入（單位：百元）頻數(shù)贊成人數(shù)(1)用樣本估計(jì)總體的思想比較該市月收入低于(百元)和不低于(百元)的兩類人群在該項(xiàng)措施的態(tài)度上有何不同；(2)現(xiàn)從樣本中月收

2、入在和的市民中各隨機(jī)抽取一個(gè)人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成的概率【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】(1)由表知，樣本中月收入低于(百元)的共有人，其中持贊成態(tài)度的共有人，故贊成人數(shù)的頻率為，月收入不低于(百元)的共有人，其中持贊成態(tài)度的共有人，故贊成人數(shù)的頻率為，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想可知月收入不低于(百元)的人群對(duì)該措施持贊成態(tài)度的比月收入低于(百元)的人群持贊成態(tài)度的比例要高(2) 將月收入在內(nèi)，不贊成的人記為，贊成的人記為，將月收入在內(nèi)，不贊成的人記為，贊成的人記為從月收入在和內(nèi)的人中各隨機(jī)抽取人，基本事件總數(shù)，其中事件“抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊

3、成一個(gè)不贊成”包含的基本事件有共個(gè)，抽取的兩個(gè)人恰好對(duì)該措施一個(gè)贊成一個(gè)不贊成的概率.【易錯(cuò)點(diǎn)】求解古典概型問題的關(guān)鍵：先求出基本事件的總數(shù)，再確定所求目標(biāo)事件包含基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解一般涉及“至多”“至少”等事件的概率計(jì)算問題時(shí)，可以考慮其對(duì)立事件的概率，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算【思維點(diǎn)撥】1. 求復(fù)雜互斥事件概率的方法一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時(shí)，一定要分清事件的對(duì)立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏特別是對(duì)于含“至多”“至

4、少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡(jiǎn)便2.求古典概型的概率的基本步驟:算出所有基本事件的個(gè)數(shù)；求出事件包含的基本事件個(gè)數(shù)；代入公式，求出；幾何概型的概率是幾何度量之比,主要使用面積、體積之比與長(zhǎng)度之比.題型二 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例例1、某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成組：并整理得到如下頻率分布直方圖：（）從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于的概率；（）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于的學(xué)生有人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男女生人數(shù)相等試估計(jì)總體中

5、男生和女生人數(shù)的比例【答案】（）；（）；（）.【解析】（）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為.（）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為.（）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于的學(xué)生人數(shù)為，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男生人數(shù)為.所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為，所以根據(jù)分層抽樣的原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為.【易錯(cuò)點(diǎn)】求解統(tǒng)計(jì)圖表問題，重要的是認(rèn)真觀察圖表，發(fā)現(xiàn)有用信息和數(shù)據(jù)對(duì)于頻率分布直方圖，應(yīng)注意圖中的每一個(gè)小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為，當(dāng)小矩

6、形等高時(shí)，說(shuō)明頻率相等，計(jì)算時(shí)不要漏掉其中一個(gè)【思維點(diǎn)撥】1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)是從總體中逐個(gè)抽取適用范圍：總體中的個(gè)體較少2系統(tǒng)抽樣特點(diǎn)是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取適用范圍：總體中的個(gè)體數(shù)較多3分層抽樣特點(diǎn)是將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取適用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成4利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)易出錯(cuò)，應(yīng)注意區(qū)分這三者在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以

7、小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和5.求回歸直線方程的關(guān)鍵正確理解計(jì)算的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值6.獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵根據(jù)列聯(lián)表準(zhǔn)確計(jì)算，若列聯(lián)表沒有列出來(lái)，要先列出此表的觀測(cè)值越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件成立的概率越小，不成立的概率越大題型三 概率、隨機(jī)變量及其分布例1、“過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗年春節(jié)前夕， 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，（1）求所抽取的包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組

8、區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在內(nèi)的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購(gòu)買了包這種品牌的速凍水餃，記這包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：計(jì)算得所抽查的這包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；若，則， 【答案】(1) (2) （3）的分布列為；【解析】（1）所抽取的包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為（2）服從正態(tài)分布，且， ，落在內(nèi)的概率是根據(jù)題意得，； ； ； ； 的分布列為例2、為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：)根據(jù)長(zhǎng)期生

9、產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查()試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的個(gè)零件的尺寸：經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到)附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則,.【答案】（1）；（

10、2）需要；的估計(jì)值為，的估計(jì)值為.【解析】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為，從而零件的尺寸在之外的概率為，故因此.的數(shù)學(xué)期望為. (2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有，一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的. ()由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均.因此的估計(jì)值為，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差

11、為，因此的估計(jì)值為.【易錯(cuò)點(diǎn)】1正確閱讀理解，弄清題意：與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的應(yīng)用問題經(jīng)常以實(shí)際生活為背景，且常考常新，而解決問題的關(guān)鍵是理解題意，弄清本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為離散型隨機(jī)變量分布列求解問題，如本題第(1)問就是利用正態(tài)分布求出，進(jìn)而求出.2注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，要可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無(wú)法解決，如本題即是在第(1)問的基礎(chǔ)上利用小概率問題，說(shuō)明監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性3注意規(guī)范答題：解題時(shí)要寫準(zhǔn)每一小題的解題過(guò)程，尤其是解題得分點(diǎn)要準(zhǔn)確、規(guī)范，需要文字表達(dá)的，不要惜墨，但也不能過(guò)于啰嗦，恰到位置就好，本題就需要

12、用文字表達(dá)，準(zhǔn)確說(shuō)明是解題關(guān)鍵【思維點(diǎn)撥】1.條件概率的兩種求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件包含的基本事件數(shù),再求事件所包含的基本事件數(shù),得.2.判斷相互獨(dú)立事件的三種常用方法:(1)利用定義,事件相互獨(dú)立.（2）利用性質(zhì),與相互獨(dú)立,則與與,也都相互獨(dú)立.(3)具體背景下,有放回地摸球,每次摸球的結(jié)果是相互獨(dú)立的.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí),不放回抽樣也可近似看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).3. 求離散型隨機(jī)變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出取各個(gè)值的概率.4. 利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程,但需要注意檢驗(yàn)該概率模型是否滿足公

13、式的三個(gè)條件:(1)在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù);(2)次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示次試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生了次的概率.5. 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的基本方法有:(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機(jī)變量的均值、方差,求的線性函數(shù)的均值、方差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解,即,(為常數(shù)).(3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布,可直接利用它們的均值、方差公式求解,即若服從兩點(diǎn)分布,則,;若，則，.【鞏固訓(xùn)練】題型一 古典概型與幾何概型1.已知，則函數(shù)在區(qū)間上為增

14、函數(shù)的概率是（ ）. . . .【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，情況為符合要求的只有一種；當(dāng)時(shí)，則討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸要滿足題意則產(chǎn)生的情況表示：，8種情況滿足的只有4種;綜上所述得：使得函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)的概率為：.2.在區(qū)間上任取一數(shù)，則的概率是（ ） . 【答案】【解析】由題設(shè)可得,即;所以,則由幾何概型的概率公式.故應(yīng)選.3.某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對(duì)首次消費(fèi)的顧客，按元/次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下表：消費(fèi)次數(shù)第次第次第次第次第次及以上收費(fèi)比例該公司從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：消費(fèi)次數(shù)第次第次第次第次第次及以上頻數(shù)假

15、設(shè)汽車美容一次，公司成本為元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率；(2)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；(3)該公司要從這位里至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出人，再?gòu)倪@人中抽出人發(fā)放紀(jì)念品，求抽出的人中恰有人消費(fèi)兩次的概率【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）.【解析】(1)位會(huì)員中，至少消費(fèi)兩次的會(huì)員有位，所以估計(jì)一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率為.(2)該會(huì)員第次消費(fèi)時(shí)，公司獲得的利潤(rùn)為第次消費(fèi)時(shí)，公司獲得的利潤(rùn)為，所以，公司獲得的平均利潤(rùn)為.（3）因?yàn)?，所以用分層抽法抽出的人中，消費(fèi)次的有人，分別為，消費(fèi)次的有人，

16、分別設(shè)為,消費(fèi)次和次及以上的各有人，分別設(shè)為從中抽出人，抽到的有，共種；去掉后，抽到的有共種；去掉后，抽到的有：，共種，總的抽取方法有，其中恰有人消費(fèi)兩次的抽取方法有，所以，抽出的兩人中恰有人消費(fèi)兩次的概率為.考向二 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1.為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗注射疫苗合計(jì)現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為（）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),的值；（）繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖,并判斷疫苗是否有效？（）能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射附：【答案

17、】（）,；（）詳見解析；（）至少有的把握認(rèn)為疫苗有效.【解析】（）設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物”為事件A,由已知得,所以,（）未注射疫苗發(fā)病率為,注射疫苗發(fā)病率為 發(fā)病率的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率 0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射0.660.25（）所以至少有的把握認(rèn)為疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司為推廣線下分店，計(jì)劃在市的區(qū)開設(shè)分店為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格記表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)， 表示這個(gè)分店

18、的年收入之和（個(gè)）（百萬(wàn)元）（）該公司已經(jīng)過(guò)初步判斷，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（）假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）與之間的關(guān)系為，請(qǐng)結(jié)合（）中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店，才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大？參考公式：， ， 【答案】（1）；（2）公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)個(gè)分店，才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大【解析】（1），關(guān)于的線性回歸方程.（2） ，區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn) ，時(shí)， 取得最大值，故該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)個(gè)分店，才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大3. 某商場(chǎng)對(duì)商品天的日銷售量(件)與時(shí)間(天)的銷售情況進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，

19、日銷售量(件)與時(shí)間(天)之間具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)間(天)日銷售量(件)(1)請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程.(2)已知商品天內(nèi)的銷售價(jià)格(元)與時(shí)間t(天)的關(guān)系為根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)為何值時(shí)，商品的日銷售額最大參考公式：，.【答案】(1)；(2)預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，商品的日銷售額最大，最大值為元【解析】(1)根據(jù)題意，所以回歸系數(shù)為，故所求的線性回歸方程為.（2） 由題意得日銷售額為當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)綜上所述，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，商品的日銷售額最大，最大值為元.題型三 概率、隨機(jī)變量及其分布1.在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有名男志愿者和名女志愿者，從中隨機(jī)抽取人接受甲種心理暗示，另人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗