第11講一元二次方程的應(yīng)用-教案

1、 第11講 一元二次方程的應(yīng)用 溫故知新解下列關(guān)于方程：(1) (2) (3)x 2-2x=-1【解答】 ：（1） （2）無實數(shù)解 （3） 課堂導(dǎo)入1、初一學(xué)過一元一次方程的應(yīng)用，實際上是據(jù)實際題意，設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程求解，從而得到問題的解決但有的實際問題，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，這就是我們本節(jié)課所研究的問題-一元二次方程的應(yīng)用。2、從列方程解應(yīng)用題的方法來說，列出的一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出方程、解方程、判斷根是否適合題意、作出正確的答案列出一元二次方程解應(yīng)用問題3、列方程解應(yīng)用問題的步驟：審題；找相等關(guān)系；設(shè)

2、未知數(shù)；列方程；解方程；答。知識要點一 一元二次方程數(shù)字問題1、兩位數(shù)表示：十位數(shù)字 10 + 個位數(shù)字2、三位數(shù)字：百位數(shù)字 100 + 十位數(shù)字 10 +個位數(shù)字3、三個連續(xù)偶數(shù)：三個連續(xù)整數(shù)： 典例分析例1有兩個連續(xù)整數(shù)，它們的平方和為25，求這兩個數(shù)。【解答】設(shè)這兩個連續(xù)整數(shù)的第一個數(shù)位x，另一個數(shù)為（x+1），根據(jù)題意列方程得，x2+（x+1）2=25，解得x1=-4，x2=3，當(dāng)x=-4時，x+1=-3；當(dāng)x=3時，x+1=4；答：這兩個連續(xù)整數(shù)是-4、-3或3、4舉一反三1、一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是6，把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的

3、積是1008，求這個兩位數(shù)【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為（6-x），根據(jù)題意可知，10（6-x）+x10x+（6-x）=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，6-x=4，或6-x=2，10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，答：這個兩位數(shù)是42或24知識要點二一元二次方程的面積問題1、矩形面積= 長 寬2、三角形面積 = 3、梯形面積= （上底 + 下底） 高4、圓的面積= 為半徑）典例分析例1有一塊長方形的鋁皮，長24cm、寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高【解答】解：設(shè)盒子高

4、是xcm列方程得（24-2x）（18-2x）=0.52418，解得x=3或x=18（不合題意，舍去）答：盒子高是3cm例2如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍一個矩形場地怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?能否使所圍矩形場地的面積為810m2，為什么?【解答】解：設(shè)所圍矩形ABCD的長AB為x米，則寬AD為米依題意，得 即，解此方程，得 墻的長度不超過45m，不合題意，應(yīng)舍去當(dāng)時，所以，當(dāng)所圍矩形的長為30m、寬為25m時，能使矩形的面積為750m 不能因為由得 又(80)2411620=800，上述方程沒有實數(shù)根因此，不能使所圍矩形場地的面積為810m2舉一反三1

5、、如圖，在一塊長為32m，寬為20m長方形的土地上修筑兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地要使耕地的面積是540m2，求小路寬的寬度【解答】解：設(shè)道路的寬為x米依題意得：（32-x）（20-x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合題意舍去）答：道路寬為2m2.如圖，在ABC中，B=90，AB=6厘米，BC=8厘米點P從A點開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動（到達(dá)點B即停止運動），點Q從B點開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動（到達(dá)點C即停止運動）（1）如果P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PBQ的面積等于ABC的三分之一？（2）如果P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，

6、而且動點P從A點出發(fā)，沿AB移動（到達(dá)點B即停止運動），動點Q從B出發(fā)，沿BC移動（到達(dá)點C即停止運動），幾秒鐘后，P、Q相距6厘米？【解答】解：（1）設(shè)t秒后，PBQ的面積等于是ABC的三分之一，根據(jù)題意得：2t（6t）=68，解得：t=2或4答：2秒或4秒后，PBQ的面積等于是ABC的三分之一（2）設(shè)x秒時，P、Q相距6厘米，根據(jù)題意得：（6x）2+（2x）2=36，解得：x=0（舍去）或x=答：秒時，P、Q相距6厘米3.如圖，有長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小

7、門（1）設(shè)花圃的寬AB為x米，請你用含x的代數(shù)式表示BC的長（243x）米；（2）若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的寬【解答】解：（1）BC=22+23x=243x故答案為（243x）；（2）x（243x）=45，化簡得：x28x+15=0，解得：x1=5，x2=3當(dāng)x=5時，243x=914，符合要求；當(dāng)x=3時，243x=1514，不符合要求，舍去答：花圃的寬為5米知識要點三 一元二次方程的利潤問題1、每件利潤=售價 - 進(jìn)價總利潤=每件利潤 銷售量利潤率 = 利潤 = 進(jìn)價 利潤率售價 = 進(jìn)價 典例分析例1某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元為了擴(kuò)大銷

8、售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設(shè)計方案【解答】：設(shè)每天利潤為w元，每件襯衫降價x元，根據(jù)題意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250（1）當(dāng)w=1200時，-2x2+60x+800=1200， 解之得x1=10，x2=20 根據(jù)題意要盡快減少庫存，所以應(yīng)降價20元答：每件襯衫應(yīng)降價20元（2）解：商場每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250

9、 當(dāng)x=15時，商場盈利最多，共1250元答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天盈利最多舉一反三1某商場將進(jìn)價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺，商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元？【解答】解：設(shè)每臺冰箱應(yīng)降價x元 ,那么(8+4) (2400x2000)=4800 所以(x - 200)(x - 100)=0 x = 100或200 所以每臺冰箱應(yīng)降價100或200元. 2.西瓜經(jīng)營戶以2元/千

10、克的價格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經(jīng)營戶決定降價銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經(jīng)營戶要想每天盈利2O0元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元?【解答】解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元根據(jù)題意，得： 解得：0.2，0.3 答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2或0.3元。知識要點四 一元二次方程的其他問題1、平均變化率問題 增長率（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實際產(chǎn)量（2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量增長率（3）實際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）2、相互問題（傳播、循環(huán)） 典例

11、分析例1.某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？【解答】解：設(shè)平均每月的增長率為x，據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200 （1+x）2=1.44 1+x=1.2x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）取x=0.2=20例2.（1）參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人參加聚會?【解答】解：設(shè)有n人，（n-6）（n+5）=0， n=6或n=-5（舍去） 參加這次聚會有6人(2) 某初三畢業(yè)班的每一個同學(xué)都把自己的照片向全班其他的同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了3080張照片如果該班有x名同學(xué)，根據(jù)

12、題意可列出方程為?【解答】解：全班有x名學(xué)生，那么每名學(xué)生送照片x-1張；全班應(yīng)該送照片x（x-1），則可列方程為：x（x-1）=3080舉一反三1、有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感（1）求每一輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患上流感？【解答】解：（1）設(shè)平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x=169x1=12或x2=-14（舍去）答：平均一人傳染12人（2）經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為：169+12169=2197（人），答：經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為2197人2、某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出

13、同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少小分支？【解答】分析:由題意設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，每個小分支又長出x個分支，則又長出個分支，則共有+x+1個分支，即可列方程求得x的值解答：解：設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，根據(jù)題意列方程得：+x+1=91，解得：x=9或x=-10（不合題意，應(yīng)舍去）；x=9；答：每支支干長出9個小分支3.要組織一場籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,即每兩隊之間都賽一場,計劃安排28場比賽,應(yīng)邀請多少個球隊參加比賽?【解答】解：設(shè)邀請x個球隊參加比賽，依題意得1+2+3+x-1=15， 即x2-x-30=0，x=6或x=-5（不合

14、題意，舍去）答：應(yīng)邀請6個球隊參加比賽學(xué)霸說者注意以下幾個問題：（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x（2）認(rèn)真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到等詞語的關(guān)系（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開規(guī)律：設(shè)某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)值為a（1+x），增長兩次后的產(chǎn)值為a（1+x）2 ，增長n次后的產(chǎn)值為S=a（1+x）裸裸的殘酷的掠奪，激起了當(dāng)?shù)赝林褡孱B強(qiáng)的反抗。 課堂闖關(guān)初出茅廬1如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m

15、2，設(shè)與墻垂直的一邊長為xm（已標(biāo)注在圖中），則可以列出關(guān)于x的方程是（）Ax（262x）=80 Bx（242x）=80 C（x1）（262x）=80Dx（252x）=80【解答】解：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（262x）m，根據(jù)題意得：x（262x）=80故選A2某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（）A560（1+x）2=315 B560（1x）2=315C560（12x）2=315 D560（1x2）=315【解答】解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得

16、：560（1x）2=315，故選：B3有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）Ax（x1）=45 Bx（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x+1）=45【解答】解：有x支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，共比賽場數(shù)為x（x1），共比賽了45場，x（x1）=45，故選A4某公司今年銷售一種產(chǎn)品，一月份獲得利潤10萬元，由于產(chǎn)品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元，已知2月份和3月份利潤的月增長率相同設(shè)2，3月份利潤的月增長率為x，那么x滿足的方程為（）A10（1+x）2=36.4 B10+10（1+x）2=36.4C10+1

17、0（1+x）+10（1+2x）=36.4 D10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4【解答】解：設(shè)二、三月份的月增長率是x，依題意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故選D5餐桌桌面是長為160cm，寬為100cm的長方形，媽媽準(zhǔn)備設(shè)計一塊桌布，面積是桌面的2倍，且使四周垂下的邊等寬若設(shè)垂下的桌布寬為xcm，則所列方程為（）A（160+x）（100+x）=1601002 B（160+2x）（100+2x）=1601002C（160+x）（100+x）=160100 D2（160x+100x）=160100【解答】解：依題意得：桌布面積為：1601002，桌面的長為：16

18、0+2x，寬為：100+2x，則面積為=（160+2x）（100+2x）=2160100故選B6某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么方程是50+50（1+x）+50（1+x）2=196【解答】解：七月份生產(chǎn)零件50萬個，設(shè)該廠八九月份平均每月的增長率為x，八月份的產(chǎn)量為50（1+x）萬個，九月份的產(chǎn)量為50（1+x）2萬個，50+50（1+x）+50（1+x）2=196，故答案為：50+50（1+x）+50（1+x）2=1967如圖，在長70m，寬40m的長方形花園中，欲修寬度相等的觀賞路（如陰影部分所示），要使觀賞路面積占總面積

19、的，則路寬x應(yīng)滿足的方程是（703x）（402x）=4070（1）【解答】解：設(shè)路寬為xm，由題意得，（703x）（402x）=4070（1）故答案為：（703x）（402x）=4070（1）8參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，有5人參加聚會【解答】解：設(shè)有 x人參加聚會，根據(jù)題意列方程得，=10，解得x1=5，x2=4（不合題意，舍去）；答：有 5人參加聚會故答案為：5優(yōu)學(xué)學(xué)霸1如圖所示，某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃用32米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的矩形草坪ABCD求該矩形草坪BC邊的長【解答】解：設(shè)BC邊的長為x米，則AB=CD=米，根據(jù)題意得：x=

20、120，解得：x1=12，x2=20，2016，x2=20不合題意，舍去，答：矩形草坪BC邊的長為12米2龍華天虹商場以120元/件的價格購進(jìn)一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件另外，每周的房租等固定成本共3000元該商場要想每周盈利8000元，應(yīng)將每件上衣的售價降低多少元？【解答】解：設(shè)每件上衣應(yīng)降價x元，則每件利潤為（80x）元，列方程得：（80x）（100+x）3000=8000，解得：x1=30，x2=25因為為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存，所以x=30答：應(yīng)將

21、每件上衣的售價降低30元 自我挑戰(zhàn)1某超市一月份的營業(yè)額為100萬元，三月份的營業(yè)額為144萬元，如果每月比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，則平均每月的增長率為（）A10% B15% C20% D25%【解答】解：設(shè)增長率為x，根據(jù)題意得100（1+x）2=144，解得x=2.2（不合題意舍去），x=0.2所以每月的增長率應(yīng)為20%故選C2要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，則x滿足的關(guān)系式為（）Ax（x+1）=28Bx（x1）=28 Cx（x+1）=28 Dx（x1）=28【解答】解：每支球隊都需要與

22、其他球隊賽（x1）場，但2隊之間只有1場比賽，所以可列方程為：x（x1）=47故選：B3用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的長方形，a的值不可能為（）A20 B40 C100 D120【解答】解：設(shè)圍成面積為acm2的長方形的長為xcm，則寬為（402x）cm，依題意，得x（402x）=a，整理，得x220x+a=0，=4004a0，解得a100，故選：D4某市2013年生產(chǎn)總值（GDP）比2012年增長了12%，由于受到國際金融危機(jī)的影響，預(yù)計今年比2013年增長7%若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的關(guān)系是（）A12%+7%=x% B（1+12%）（1+7%）=2（1

23、+x%）C12%+7%=2x% D（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【解答】解：設(shè)2012年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為1，2013年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2012年增長了12%，2013年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為1+12%；2014年比2013年增長7%，2014年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為（1+12%）（1+7%），這兩年GDP年平均增長率為x%，2014年的國內(nèi)生產(chǎn)總值也可表示為：（1+x%）2，可列方程為：（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2故選D5某廠改進(jìn)工藝降低了某種產(chǎn)品的成本，兩個月內(nèi)從每件產(chǎn)品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率為（）A15% B20% C5% D25%【解答】解：

24、如果設(shè)平均每月降低率為x，根據(jù)題意可得250（1x）2=160，x1=0.2，x2=1.8（不合題意，舍去）故選B6如圖，在一塊矩形的荒地上修建兩條互相垂直且寬度相同的小路，使剩余面積是原矩形面積的一半，具體尺寸如圖所示求小路的寬是多少？設(shè)小路的寬是xm，根據(jù)題意可列方程為（30x）（20x）=3020【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有（30x）（20x）=3020故答案為：（30x）（20x）=30207一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m如果梯子的頂端下滑1m，梯子的底端滑動xm，可得方程（6+x）2+（81）2=102【解答】解：設(shè)梯子的底端滑動xm=6，（6+x）2+（81）2=102故答案為：（6+x）2+（81）2=1028某印刷廠1月份印刷了60冊書籍，2月和3月份印刷書籍的冊數(shù)按相同增長率x增長，第3月份印刷了書籍達(dá)到200萬冊為求出x，可列出方程60+60（1+x）+60（1+x）2=200【解答】解：如果設(shè)2，3月份平均每月的增長率是x，那么可以用x表示2，3月份的印刷書籍分別是60（1+x）、60（1+